四边形有限元网格生成方法关键技术

Delaunay 三角网的生成算法研究

深圳职业技术学院学报

2004年第3期 Journal of Shenzhen Polytechnic 　 No.3, 2004

四边形有限元网格生成方法关键技术

郭晓霞，孙卫和

（深圳职业技术学院　机电工程学院，广东深圳　５１８０５５）　

摘 要：本文对四边形网格生成法中的边界偏移、最优分割线确定等关键技术作了改进。在该方法中，用户只需指定区域的边界以及边界上的单元尺寸，就可以生成疏密自然过渡的四边形网格。它可与二维刚塑性有限元程序集成为具有网格自动重分功能的有限元模拟系统。利用系统对火车车轮预成形过程进行了模拟，结果表明该网格生成法通用性强，自动化程度高。

关键词：有限元；四边形网格；网格自动划分

中图分类号：TG302 文献标识码：A 文章编号：1672－0318（2004）03－0026－04

有限元是工程界应用最为广泛的一种数值模拟方法。在有限元法中，首先需要把分析域离散为一系列单元。另外，在大变形工艺的模拟过程中，网格也常常需经多次重新划分，因此，通用性强、自动程度高且能产生高质量单元的网格生成法对有限元模拟来说非常重要。它不仅关系到有限元模拟是否能成功地进行到底，而且对模拟的精度也有很大的影响。

目前，典型的四边形网格生成法[1]有：映射法、波前法、基于栅格法等。但映射法只能生成结构化的网格，且需要人工事先将被划分区域分割为一系列可映射的子区域，自动化程度相对低；基于栅格法所生成的网格与选择的初始网格及其取向有关，且网格边界单元质量较差；波前法中具有代表性的为Paving[2]法，该方法涉及的技术较多，程序实现难度较大。本文提出的四边形网格生成法的基本原理已在前期的论文[3]中阐述，现对其中的一些关键技术作进一步改进，使该方法更加完善，程序的运行速度更快。

分割。首先把区域的初始边界离散为一系列点，构成一个逆时针方向的环，然后再对环所封闭的区域进行迭代地划分，直至所有的环都为六节点环或四节点环，最后把六节点环划分为2个，3个或4个四边形单元。 １．１　　边界离散　

被划分区域的边界是由多条线段（直线、圆弧、样条曲线等）组成，边界单元的尺寸信息就可以记录在边界线段的端点信息中，这些信息不仅用于边界节点的生成，而且还用于网格中内部节点的生成。另外，由于理想的四边形单元为正方形，所以单元尺寸只需给出一个。边界节点的确定方法有很多，如等分、等比和线性离散等，其中线性离散可使边界节点疏密自然过渡。具体步骤如下：

1）确定边界网格单元尺寸

设A，B是边界线段的2个端点，根据线段曲率确定他们的网格尺寸dA和dB（dA≤dB）；

2）通过积分计算边界线段的长度l； 3）确定线段上插入的节点数

从点A到点 B的边界线段上的节点呈线性分布，则

１　　四边形网络生成算法的关键

技术　

算法大致可分为2部分：边界离散和区域的

ρ(x)=dA+(dA dB)xl(0≤x≤l) （1） 其中，ρ(x)为节点的单元尺寸函数，x为离散节点

与点A之间的距离。在线段上应插入的节点个数N为：

收稿日期：２００３－１１－１９　

项目来源：山西省自然科学基金资助项目（２０００１０５２）　作者简介：郭晓霞（１９７３－），女，　山西人，讲师，硕士，主要从事ＣＡＤ及数值模拟技术研究。

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28 深圳职业技术学院学报 第3卷

中的某一条重合，被测线段ij被排除，如图3c）所示。如果被测线段ij不满足上述2条件，则进行第3步的判断。

3） 判定被测线段ij与区域边界上的线段是否有除端点i和j以外的交点，如果有交点，则被测线段不可能为被划分区域的分割线，如图3d）所示。

a） 其中一个子区域的节点数为3

　　　b） 分割线ij位于被分割区域之外

　　　　　ｃ）　分割线ij与被分割区域的边界线段重合

　　　　　d） 分割线ij与被分割区域的边界线段相交

图３　　无效的区域分割线的４个特例　

１．２．２　　最优分割线的确定　

满足上述要求的分割线很多，如何从这些可能的分割线中选出最有优的分割线是算法的关键技术，它直接影响网格划分的质量和效率。最优

分割线确定时用到2个无量纲参数即角度和长度的偏差，它们分别如下定义

1）角度的偏差

对于一条理想分割线所形成的4个角θi

（i=1,2,3,4）应该等于90°，这样单元才可能成为矩形。角θ

i与直角的偏差可由下式计算： ∑4W

1= i 90 （5）

i=1

2）分割线长度的偏差

分割线应该尽可能短，因为长的分割线将把区域分割为较难划分的长条形区域。为此，先找到可完全封闭被划分区域的矩形的对角线，如图2中的虚线所示，假设其长度为d，然后计算分割线ij的长度l与d的偏差：

W2=ld （6）

当某条可能分割线所对应的2个参数W1和W2

线性相加的和：

S=c1W1+c2W2 最小时，该分割线为最优分割

线。 式中c1和c2为系数，一般c1取为0.7，c2取

为0.3。

最优分割线确定后，就可以在该线段上布点。节点的位置是根据分割线两端点的单元尺寸，利用边界离散时所用的线性离散方法确定。该方法使误差均匀地分布在整条线段上，一般可取得较好效果。计算分割线上的节点数时应考虑数量的奇偶性，即使每个子区域边界上有偶数个节点。

２　　网格自动划分实例　

算例1：图4是一个法兰件的网格划分，图4a）中网格的单元尺寸大致相等，４b）中网格的单元尺寸差别较大，在曲率大的边界上，其单元尺寸较小，在曲率相对小的边界上，其单元尺寸较大，而在被划分域内部，网格的疏密自然过度。由此表明，该网格划分方法不仅可以自动地生成高质量的四边形网格，而且还可以通过边界节点的单元尺寸控制网格的密度，

算例2：火车车轮为轴对称的，所以在模拟时可以取其中的一半进行分析，图5是火车车轮锻造预成形过程中的网格划分。该网格生成法已成功地应用于火车车轮成形过程的有限元模拟[4]。

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图５　　车轮预成形过程中的网格划分　

图４　　法兰件的网格划分　

由上述示例可见：

1）系统实现了高度自动化，用户只需给出被划分区域边界的几何信息及单元尺寸，就可以得到完全四边形的网格；

2） 系统可用于任意区域的划分，通用性较强； 3）该方法可用于有限元网格的初始划分以及网格重分。

参考文献：　

[１］　　胡恩球．有限元网格生成方法发展综述［Ｊ］．计算机辅

助设计与图形学报，１９９７（４）：３７８－３８３．　

［２］　　Blacker T D, Stephenson M B. Paving: A new approach

to automated quadrilateral mesh generation［Ｊ］．　International Journal for Numerical Methods in Engineering, １９９１，３２（４）：８１１－８４７．　

［３］　　郭晓霞．特别适用于金属成形的四边形网格划分方法

［Ｊ］．塑性工程学报，２００３（１２）：５０－５４．　［４］　　郭晓霞．火车车轮成形过程的有限元模拟［Ｊ］．锻压技

术，２００３，２８（５）：１－４．　

Key Technologies of Automatic Quadrilateral Finite

Element Mesh Qenerator

GUO Xiaoxia, SUN Weihe

（School of Mechanical and Electrical Engineering, Shenzhen Polytechnic, Shenzhen, Guangdong 518055, China）

Abstract: The paper describes the development of an automatic, 2D quadrilateral element mesh generator. The key is that the domain to be meshed is subdivided finitely until only quadrilateral elements are left. Some techniques concerning linear discretization, identifying best splitting line are improved in detail. The users need only designate the boundary of the region and preferred element size along the boundary before the mesh, quadridlateral mesh with some transition elements connecting the finer and coarser areas of mesh is generated. The present mesh generator has been integrated into the system capable of rezoning automatically with a 2D rigid-plastic FEM program. An application on railroad wheel is given.

Key words: finite element; quadrilateral mesh; automatic mesh generation

（责任编辑：王璐）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kfd1.html