江苏省高邮中学2007届高三模拟考试

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数学试卷 2007-4-21

4?R3； 32221?2x1?x?x2?x???xn?x?（其中x一组数据x1,x2,?,xn的方差s????n?参考公式：球的体积公式V球????n?k???为这组数据的平均数）；

kk独立重复试验概率公式Pn?k??Cnp?1?p?.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，

1．设集合U = R，集合M = {x| x > 0}, N = {x | x2 ≥x}，则下列关系中正确的是 （ ）

M?N?M B．M?N?M C．A．(CUM)?(CUN)?? D．(CUN)?M?M

??2.已知m?R,向量a?(m,1),若a?2,则m?

A. 1 B.

3 C. ?1 D. ?3 2 B、 C，若关于x的方程x?xtanA?tanB?2?0有一个根为1，3． ?ABC内角分别是A、则?ABC一定是( )

A．等腰直角三角形． B．直角三角形． C．等腰三角形． D．等边三角形．

x2y2??1上的一点且位在第一象限。若F1、F2为此双曲线的两个焦点，4. 设P为双曲线

916且|PF1| ：|PF2| = 3 ：1，则?F1PF2的周长等于 ( )

A. 22 B. 16 C. 14 D. 12

5.如果将函数y＝sin2x＋3cos2x的图象按向量a平移后所得的图象关于y轴对称，那么向量a

可以是 ( )

A．(－，0) B．(，0) C．(－，0) D．(，0)

6612126. 设l，m，n是空间三条直线，?，?是空间两个平面，则下列选项中正确的是（ ）

A．当n⊥?时，“n⊥?”是“?∥?”成立的充要条件

B．当m ? ?且n是l在?内的射影时，“m⊥n，”是“l⊥m”的充分不必要条件 C． 当m ? ?时，“m⊥?”是“???”必要不充分条件

D．当m ? ?，且n ? ?时，“n∥?”是“m∥n”的既不充分也不必要条件

2n7．若(x?)的展开式中含x的项为第6项，设(1?3x)n?a0?a1x?a2x2???anxn则

????1x a1?a2???an的值为

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（ ）

A．－225 B．－32 C．32 D．255

8.已知偶函数y?f(x)(x?R),满足f(2?x)?f(x)且x?[0,1]时f(x)?x2则方程

f(x)?log7|x|的解的个数为 （ ）

A．6 B．7 C．12 D．14

9. 有两个同心圆，在外圆周上有相异6个点，内圆周上有相异3个点，由这9个点决定的直线至

少有（ ）

A. 36条 B. 33条 C. 21条 D. 18条

10．意大利数学家斐波那契（L.Fibonacci）在他的1228年版的《算经》一书中记述了有

趣的兔

子问题：假定每对成年兔子每月能生一对小兔子，而每对小兔子过了一个月就长成了成

年兔子，

如果不发生死亡，那么由一对成年兔子开始，一年后成年兔子的对数为 ( )

A．55 B．89 C．144 D． 233 二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 11. 一个社会调查机构就某地居民的月收入

频率/组距调查了10 000人，并根据所得数据画了样本

0.0005的频率分布直方图（如右图）．为了分析居民

0.0004的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要

从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作 0.0003进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入 0.0002段应抽出 人． 0.0001月收入（元）

?x?y?2?0?22212.不等式组?x?y?2?0,所确定的平面区域记为D.若圆O:x?y?r上的所有点都

?2x?y?2?0?在区域D上，则圆O的面积的最大值是

13．过点（1，1）作曲线y=x的切线，则切线方程为 . 14．已知函数f(x)??3

1000150020002500300035004000?|x?1|(x?1),且不等式f(x)?a的解集是???,?2??[0,2]，则

??x?3(x?1),实数a的值是 .

?15. 三棱锥S?ABC中, ?SBA??SCA?90, △ABC是斜边

AB?a的等腰直角三角形, 则以下结论中: ① 异面直线SB与AC?所成的角为90; ② 直线SB?平面ABC; ③ 面SBC?面SAC;

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④ 点C到平面SAB的距离是1. 其中正确结论的序号是 _______________ . 2ann?116．已知n次多项式P(x)?ax?ax???an?1x?an，如果在一种计算中，计算n01kx0(k?2,3,4,?,n)的值需k-1次乘法。计算p3(x0)的值共需9次运算（6次乘法，3次加法）那么计算Pn(x0)的值共需________次运算。

三. 解答题: 本大题有5小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）

甲、乙两支篮球队进行比赛，已知每一场甲队获胜的概率为0.6，乙队获得的概率为0.4，每

场比赛

均要分出胜负，比赛时采用三场两胜制，即先取得两场胜利的球队胜出. （Ⅰ）求甲队以二比一获胜的概率； （Ⅱ）求乙队获胜的概率； （Ⅲ）若比赛采用五场三胜制，试问甲获胜的概率是增大还是减小，请说明理由.

18. (本小题满分14分)

已知双曲线的中心在原点O，右焦点为F（c，0），P是双曲线右支上一点，且△OFP的面积

为

6. 26?1)c2，当|OP|取得最小值时，求此双曲线的方程. 3（Ⅰ）若点P的坐标为(2,3)，求此双曲线的离心率； （Ⅱ）若OF?FP?(

19．(本小题满分14分)

F如图，已知ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，且AB＝FB＝2DE。

（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面AFC；

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EDCAB

（Ⅱ)求直线EC与平面BCF所成的角；

（Ⅲ）问在EF上是否存在一点M，使三棱锥M－ACF是正三棱锥？若存在，试确定M点的位置；若不存在，说明理由。

20. (本小题满分14分)

111已知数列?bn?中，b1?, bn?1bn?bn?2.数列?an?满足:an?7bn?2(Ⅰ)求证: an?1?2an?1?0； (Ⅱ) 求数列?an?的通项公式;

(Ⅲ) 求证：(?1)b1?(?1)2b2???(?1)nbn?1(n?N*)

21. (本小题满分16分)

(n?N?)

tPN，(t?0)和点P(1 , 0)，过点P作曲线y?f(x)的两条切线PM、

x切点分别为M、N． （Ⅰ）设MN?g(t)，试求函数g(t)的表达式；

（Ⅱ）是否存在t，使得M、N与A(0 , 1)三点共线．若存在，求出t的值；若不存在，请

已知函数f(x)?x?说明理由．

（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数n，在区间[2 , n?64]内总存在m?1个实数na1,a2,?,am，am?1，使得不等式g(a1)?g(a2)???g(am)?g(am?1)成立，求m的最大

11'1的导数为()??2)

xxx值． (提示:函数y?

江苏省高邮中学2007届高三数学模拟考试答案2007-4-21

1-10 DDBAC CDCCD

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11. 25 12.

④

4?5 13. 3x－y－2=0或3x－4y+1=0 14.1 16.

1n(n?3) 15. ①②③217．．解：（Ⅰ）甲队以二比一获胜，即前两场中甲胜1场，第三场甲获胜，其概率为

1 P. ??????????????????2分 1?C2?0.6?0.4?0.6?0.288 （Ⅱ）乙队以2：0获胜的概率为P2??0.4?0.4?0.16；

1 乙队以2：1获胜的概率为P2???C20.4?0.6?0.4?0.192

1 ∴乙队获胜的概率为P2?0.42?C2?0.4?0.6?0.4?0.16?0.192?0.352 ??6分 （Ⅲ）若三场两胜，则甲获胜的概率

21 P3?0.6?C2?0.6?0.4?0.6?0.36?0.288?0.648

或P3?1?P2?1?0.352?0.648; 若五场三胜，则甲获胜的概率

322222? P3?0.6?C3?0.6?0.4?0.6?C4?0.6?0.4?0.6

?0.216?0.2592?0.20736?0.68256. ??????????????11分 ?P3?P3?，

∴采用五场三胜制，甲获胜的概率将增大. ??????????????? 12分

x2y218. (本小题满分14分) 解：（Ⅰ）设所求的双曲线的方程为2?2?1(a?0,b?0)，

ab由

16|OF|?3?,?c?2. ??????????????????1分 22?b2?c2?a2?2?a2. ??????????????????????2分

由点P(2,3)在双曲线上，?∴离心率e?432??1,解得a?1， ??????5分 22a2?ac?2. ???????????????????????6分 ax2y2 （Ⅱ）设所求的双曲线的方程为2?2?1(a?0,b?0),P(x1,y1)，

ab则FP?(x1?c,y1). ??????????????????????? 7分 ∵△OFP的面积为

6166,?|OF||y1|?.?|y1|?. ????????8分 222c?OF?FP?(66?1)c2,?OF?FP?(x1?c)c?(?1)c2. 33第 5 页共 8 页

解得x1?6c. ??????????????????????????9分 321216c26?|OP|?x?y??2?4，????????????????10分

9c当且仅当c?3时等号成立. ????????????????????11分

2?222????1a?1a?6?2??2此时P(2,?2).（舍）. ??13分 由此得?a,解得或b?2?2??a2?b2?3?b?2??b??3?y2?1. ???????????????? 14分 则所求双曲线的方程为x?2219．（Ⅰ）连结BD、AC交于O，连结EO，FO

易证：FO⊥AC，设DE＝a,则AB＝BF＝2a,易得EO?FO?EF ?平面AEC?平面AFC

(Ⅱ)过点C作CP⊥平面AC，且使CP＝DE，连结EP，则四边形CDEP是矩形 易证，∠ECP就是EC与平面FBC所的角 可得∠ECP＝arctan2

（Ⅲ）在EF上存在满足FM＝2ME一点M，使M－ACF是正三棱锥

作法：题意知⊿ACF是正三角形，顶点M在ACF上的射影是⊿ACF的中心N

则点N一定在OF上，且FN＝2ON，在平面EOF中过N作NM∥OE交EF于点M，则该点为所求 证明略

b1120. (Ⅰ)证明: an?1?3??n??2an?1 an?1?2an?1?0???...

bn?1?2bn?22?bn?2bn分

(Ⅱ)? an?1??2an?1 ∴ an?1?22211?????????.???..5分 ??2（an?）3311又 a1???2?0 ∴ {an?}为等比数列????????????????.6分

3311nn∴ an??∴ an?（-2）（-2）? ????????????????????8分

33(Ⅲ)bn?111?2??2 ∴ (?1)nbn?2?(?1)n????????. 10分

11an(?2)n?2n??(?1)n33当n为奇数时(?1)bn?(?1)nn?12n?2n?12n?2n?111???nn?1?n?n?1 ? 12分 bn?1?1111222n?2n?1?(2n?)(2n?1?)2?2333311第 6 页共 8 页

①当n为偶数时，(?1)b1?(?1)2b2???(?1)nbn

11111??2???n?1?n?2?1 ????????13分

122221?2②当n为奇数时，(?1)b1?(?1)2b2???(?1)nbn?11111?2???n?2?n?1?2?

122222n?3111??1?1 ?2?2?111nn2?1?2?323 综上所述，(?1)b1?(?1)2b2???(?1)nbn?1?????????????????..14分 21.（Ⅰ）设M、N两点的横坐标分别为x1、x2，

? f?(x)?1?t， ---2分 x2tt ∴切线PM的方程为：y?(x1?)?(1?2)(x?x1)，

x1x1又?切线PM过点P(1,0)， ?有0?(x1?即x1?2tx1?t?0， （1）

同理，由切线PN也过点P(1,0)，得x2?2tx2?t?0．（2） 由（1）、（2），可得x1,x2是方程x?2tx?t?0的两根，??2tt)?(1?2)(1?x1)， x1x122?x1?x2??2t, （ * ）

?x1?x2??t .MN?(x1?x2)2?(x1?ttt2?x2?)2?[(x1?x2)2?4x1x2][1?(1?)]， x1x2x1x220t2?20t,

把（ * ）式代入,得MN?20t2?20t (t?0)． ---4分

（Ⅱ）当点M、N与A共线时，kMA?kNA，

ttx1??1x2??122x1?t?x1x2?t?x2x1x2＝，即＝， ?22x1?0x2?0x1x2化简，得(x2?x1)[t(x2?x1)?x1x2]?0， ---3分 ?x1?x2，?t(x2?x1)?x2x1． （3）

因此，函数g(t)的表达式为g(t)?第 7 页共 8 页

1． 21?存在t，使得点M、N与A三点共线，且 t?． ---2分

264]上为增函数， （Ⅲ）解法1：易知g(t)在区间[2,n?n64?g(2)?g(ai)?g(n?)(i?1,2,?,m?1)，

n64)． --- 1分 则m?g(2)?g(a1)?g(a2)???g(am)?m?g(n?n64)对一切的正整数n恒成立， 依题意，不等式m?g(2)?g(n?n6464m20?22?20?2 ?20(n?)2?20(n?)，

nn把（*）式代入（3），解得t?16464[(n?)2?(n?)]对一切的正整数n恒成立． ---2分 6nn641646412136?n??16， ?[(n?)2?(n?)]?， [16?16]?n6nn63136． 由于m为正整数，?m?6． ?m?3又当m?6时，存在a1?a2???am?2，am?1?16，对所有的n满足条件． 因此，m的最大值为6． --- 2分

64]的长度最小时，得到的m最大值，即是所求值． 解法2：依题意，当区间[2,n?n64?n??16，?长度最小的区间为[2,16]，

n当ai?[2,16](i?1,2,?,m?1)时，与解法1相同分析，得m?g(2)?g(16)，

即m?136． ---- 1分 3后面解题步骤与解法1相同（略）．

解得m?

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