高考数学第二章 函数与导数第7课时 指数函数、对数函数及幂函数
更新时间:2023-03-08 04:35:07 阅读量: 高中教育 文档下载
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第二章 函数与导数第7课时 指数函数、对数函数及幂函数
(1)
第三章 (对应学生用书(文)、(理)20~21页)
考情分析 ① 幂的运算是解决与指数函数有关问题的基础,要引起重视. ② 对数式和指数式的相互转化,应用对数运算性质及换底公式灵活地求值、化简是研究指、对数函数的前题,高考的涉及面比较广. 考点新知 ① 理解指数和指数函数的概念,会进行根式与分数指数幂的互化,掌握有理指数幂的性质和运算法则,并能运用它们进行化简和求值. ② 理解对数的概念,熟练地进行指数式和对数式的互化,掌握对数的性质和对数运算法则,并能运用它们进行化简和求值. ,
1. (必修1P63习题2改编)用分数指数幂表示下列各式(a>0,b>0): 32(1) a=________;(2) aaa=________;
23
(3) ?3?·ab=________.
?a?
2773
答案:(1) a3 (2) a8 (3) a6b2
2. (必修1P80习题6改编)计算:(lg5)+lg2×lg50=________. 答案:1
2
解析:原式=(lg5)+lg2×(1+lg5)=lg5(lg2+lg5)+lg2=1.
3. (必修1P80习题12改编)已知lg6=a,lg12=b,则用a、b表示lg24=________. 答案:2b-a
144
解析:lg24=lg=2lg12-lg6=2b-a.
6
3
3
4. (必修1P63习题6改编)若a+a=3,则a2-a-=______.
2
-1
2
答案:±4
3111
3112-1-1
解析:a2-a-=(a2-a-)(a+a+1).∵ (a2-a-)=a+a-2=1,∴ (a2-
2221
a-)=±1,∴ 原式=(±1)×(3+1)=±4. 2
?1?a?1?b
5. 已知实数a、b满足等式??=??,下列五个关系式:
?2??3?
① 0<b<a;② a<b<0;③ 0<a<b;④ b<a<0;⑤ a=b. 其中所有不可能成立的关系式为________.(填序号) 答案:③④
blg2ab解析:条件中的等式?2=3?alg2=blg3.若a≠0,则?∈(0,1).
alg3(1)当a>0时,有a>b>0,即关系式①成立,而③不可能成立; (2)当a<0时,则b<0,b>a,即关系式②成立,而④不可能成立; 若a=0,则b=0,故关系式⑤可能成立.
1. 根式
(1) 根式的概念 根式的概念 如果a=x,那么x叫做a的n次实数方根 当n为奇数时,正数的n次实数方根是一个正数,负数的n次实数方根是一个负数 当n为偶数时,正数的n次实数方根有两个,它们互为相反数 (2) 两个重要公式 a(n为奇数),??nn
?① a=? ?a(a≥0),?|a|=(n为偶数);??-a(a<0)??nnn
② (a)=a(注意a必须使a有意义). 2. 有理指数幂
(1) 分数指数幂的表示
m
nm*
① 正数的正分数指数幂是an=a(a>0,m、n∈N,n>1); m11*
② 正数的负分数指数幂是a-==(a>0,m、n∈N,n>1);
nmnmaan
③ 0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义.
(2) 有理指数幂的运算性质
sts+t
① aa=a(a>0,t、s∈Q);
stst
② (a)=a(a>0,t、s∈Q);
ttt
③ (ab)=ab(a>0,b>0,t∈Q). 3. 对数的概念 (1) 对数的定义
b
如果a=N,那么就称b是以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
n符号表示 na 备注 n>1且n∈N 0的n次实数方根是0 负数没有偶次方根 *n±a (2) 几种常见对数
对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 特点 底数为a(a>0且a≠1) 底数为10 底数为e 记法 logaN lgN lnN 4. 对数的性质与运算法则 (1) 对数的性质
N
① alogaN=N;② logaa=N(a>0且a≠1). (2) 对数的重要公式
logaN1
① 换底公式:logbN=(a、b均大于零且不等于1);② logab=. logablogba(3) 对数的运算法则
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 ① loga(MN)=logaM+logaN; M
② loga=logaM-logaN;
N③ logaM=nlogaM(n∈R); nn
④ logamM=logaM.
m[备课札记]
n
题型1 指数幂的运算
例1 化简下列各式(其中各字母均为正数): 1?7?00.25436
(1) 1.5-×?-?+8×2+(2×3)-3?6?21
11-1
(a3·b)-·a-·b3
22
(2) ;
65
a·b41
?a3-8a3b3b?3
(3) ÷??×a.
22?1-2a?3
4b3+2ab+a3
?2?3; ?3???
2
?2??2?23
解:(1) 原式=??3+24×24+2×3-??3=2+108=110.
?3??3?
1111a-·b2·a-·b332
(2) 原式=
15a6·b61111151=a---·b+-=. 326236a
111
1a3(a-8b)a3a3(a-8b)11
(3) 原式=××a3=×a3×a3=a.
111111a-8b
22
(2b3)+2b3a3+(a3)a3-2b3备选变式(教师专享) 化简下列各式:
1
21-2-?1?+3433-?1?3;
(1) 1253+???27?
?2???12151-1-2-3
(2) a3·b·(-3a-b)÷(4a3·b)2.
625ab解:(1)33;(2)-2. 4ab题型2 对数的运算
例2 求下列各式的值.
1
(1) log535+2log1 2-log5-log514;
50
2111
(2) log2×log3×log5.
2589
1
35×503
解:(1) 原式=log5+2log122=log55-1=2.
14
2
111lglglg2589-2lg5-3lg2-2lg3
(2) 原式=××=××=-12.
lg2lg3lg5lg2lg3lg5变式训练
15
(1) 计算:lg-lg+lg12.5-log89·log278;
28(2) 已知log189=a,18=5,用a、b表示log3645.
b
1311
12lg9lg82lg31
解:(1) 原式=lg×12.5-·=1-=. (2) 由题意,得b=log185,
5lg8lg273lg338
??????
log1845log189+log185a+b
故log3645===. log1836log18324-log1892-a
题型3 指数与对数的混合运算
xyz
例3 已知实数x、y、z满足3=4=6>1. 212
(1) 求证:+=;
xyz
(2) 试比较3x、4y、6z的大小.
xyz
(1) 证明:令k =3=4=6>1,则x=log3k,y=log4k,z=log6k,
111212
于是=logk3,=logk4,=logk6,从而+=2logk3+logk4=logk3+logk4=logk36
xyzxy=2logk6,等式成立.
(2) 解:由于k>1,故x、y、z >0.
3lgk
3
3x3log3klg33lg4lg4lg64====4=<1; 4y4log4k4lgk4lg3lg3lg81
lg42lgk
2
4y2log4klg42lg6lg6lg36====3=<1, 6z3log6k3lgk3lg4lg4lg64
lg6故3x<4y<6z.
备选变式(教师专享)
2-2
若xlog34=1,求x-x的值.
2+2解:由xlog34=1,知4=3, ∴
2-2x-x2+2
3x
-3x
x
3x
-3x
=
(2x-2-x)(22x+2-2x+1)
2+2
x
-x
=
(2-1)(2+2
2x
2+1
2x2x-2x
+1)
=
?1?(3-1)?3++1??3?13
=. 3+16
1. (2013·四川)计算:lg5+lg20=________. 答案:1
解析:lg5+lg20=lg(5×20)=lg10=1.
??1?x
???,x≥4,
2. (2013·长春调研)已知函数f(x)=??2?则f(2+log23)=________.
??f(x+1),
1
答案: 24
?1?解析:由3<2+log23<4,得3+log23>4,所以f(2+log23)=f(3+log23)=???2??1?=???2?
log2
24
3+log23
1=. 24
3. (2013·新课标)已知a=log36,b=log510,c=log714,则a、b、c的大小关系为________.
答案:a>b>c
解析:a=log36=1+log32,b=1+log52,c=1+log72,由于log32>log52>log72,所以a>b>c.
a+babc
4. (2013·温州二模)已知2=3=6,若∈(k,k+1),则整数k的值是________.
c答案:4
a+blog2tlog3tabc
解析:设2=3=6=t,则a=log2t,b=log3t,c=log6t,所以=+=
clog6tlog6tlogt6logt6a+b
+=log26+log36=2+log23+log32.因为2 1. 设a=lge,b=(lge),c=lge,则a、b、c的大小关系是________. 答案:a>c>b 解析:本题考查对数函数的增减性,由1>lge>0,知a>b.又c=lge,作商比较知c>b,故a>c>b. 2. 已知三数x+log272,x+log92,x+log32成等比数列,则公比为________. 答案:3 解析:∵ 三数x+log272,x+log92,x+log32成等比数列, 2 ?1??1?∴ (x+log92)=(x+log272)(x+log32),即?x+log32?=?x+log32?(x+log32),解?2??3? 2 2 1x+log32 得x=-log32,∴ 公比q==3. 41 x+log322 3. 设a>1,若对任意的x∈[a,2a],都有y∈[a,a]满足方程logax+logay=3,则a的取值范围是________. 答案:a≥2 解析:∵ a>1,x∈[a,2a], ∴ logax∈[1,1+loga2]. 2 又由y∈[a,a],得 logay∈[1,2], ∵ logay=3-logax, 2 ∴ 3-logax∈[1,2], ∴ logax∈[1,2], ∴ 1+loga2≤2,loga2≤1,即a≥2. 1??1??4. 已知m、n为正整数,a>0且a≠1,且logam+loga?1+?+loga?1+?+…+ ?m??m+1?1??loga?1+?=logam+logan,求m、n的值. ?m+n-1? ?m+1?+log?m+2?+…+log?m+n?= 解:左边=logam+loga??a??a?? ?m??m+1??m+n-1??m+1·m+2·…·m+n? loga?m· mm+1m+n-1??? =loga(m+n), ∴ 已知等式可化为loga(m+n)=logam+logan=logamn. 比较真数得m+n=mn,即(m-1)(n-1)=1. ???m-1=1,?m=2,?∵ m、n为正整数,∴ 解得? ?n-1=1,?n=2.?? 1. 根式与分数指数幂的实质是相同的,通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算,从而可以简化计算过程. 2. 对数运算法则是在化同底的情况下进行的,在对含有字母的对数式化简时必须保证恒等变形. 3. 在解决指数、对数问题时,指数式与对数式的互化起着重要作用. 请使用课时训练(B)第7课时(见活页). [备课札记]
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