2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试题(全国I卷)真题

2010年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修II)

本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I 卷1至2页。第Ⅱ卷3 至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷

注意事项：

1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

。 3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式

()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=

如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径

()()()P A B P A P B = 球的体积公式

如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334

V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径

()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=…

一．选择题

(1)复数3223i i

+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i

【答案】A

【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧. 【解析】32(32)(23)694623(23)(23)13

i i i i i i i i i +++++-===--+. (2)记cos(80)k -?=,那么tan100?=

B.

C.

D.

【答案】B

【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦

切互化这一转化思想的应用.

【解析】222

sin801cos801cos(80)1k

=-=--=-,所以tan100tan80

?=-

2

sin801

.

cos80

k

-

=-=-

(3)若变量,x y满足约束条件

1,

0,

20,

y

x y

x y

≤

?

?

+≥

?

?--≤

?

则2

z x y

=-的最大值为

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

（4）已知各项均为正数的等比数列{

n

a}，

123

a a a=5，

789

a a a=10，则

456

a a a= (A) 242

【答案】A

【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.

【解析】由等比数列的性质知3

1231322

()5

a a a a a a a

===，

3

7897988

()

a a a a a a a

===10,所以

1

3

28

50

a a=,

所以

1

333

6

456465528

()()(50)52

a a a a a a a a a

=====

(5)35

3

(1(1)

x x

+-的展开式中x的系数是

(A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

A B C D

A 1

B 1

C 1

D 1

O

(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有

(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种

(7)正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23323

D 6【答案】D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 1D 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.

（8）设a=3log 2,b=In2,c=1

25-,则

A a【答案】C

【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.

【解析】 a=3log 2=

21log 3, b=In2=21log e ,而22log 3log 1e >>,所以a

25-5

2252log 4log 3>=>,所以c

到x 轴的距离为 (A) 32 (B)62 (C) 3 (D) 6

【答案】B

【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.

【解析】不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得

21000||[()]12a PF e x a ex x c =--=+=+，2

2000||[)]21a PF e x ex a x c

=-=-=-.由余弦定理得

cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-,即cos 060222000022(22)2(12)(21)

x x x x =+-,

解得205

2x =,所以2200312

y x =-=，故P 到x 轴的距离为06||2y = （10）已知函数F(x)=|lgx|,若0

(A)(22,)+∞ (B)[22,)+∞ (C)(3,)+∞ (D)[3,)+∞

（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为

(A) 42- (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+

【答案】D

【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.

【解析】如图所示：设PA=PB=x (0)x >,∠APO=α,则∠APB=2α，

21x +，2sin 1x α=+ ||||cos 2PA PB PA PB α?=?=22(12sin )x α-=222(1)1x x x -+=42

21x x x -+，令PA PB y ?=，则42

21

x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x 是实数，所以 2[(1)]41()0y y ?=-+-??-≥，2610y y ++≥，解得32y ≤--或322y ≥-+.故min ()322PA PB ?=-+.此时21x =-（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为

P

A B

O

(A)

3

(B)

3

(C)

(D)

3

【答案】B

【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.

【解析】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为h,则有

ABCD 112 22

323

V h h

=????=

四面体,当直径通过AB与CD的中点时

,

max

h=

故max

V=

绝密★启用前

2010年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修II)

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域

内作答，在试题卷上作答无效

．．．．．．．．．。

3。第Ⅱ卷共l0小题，共90分。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． (注意：在试题卷上作答无效)

(13)

1

x≤的解集是 .

【答案】[0,2]

【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致.

解析:原不等式等价于

22

21(1),

10

x x

x

?+≤+

?

+≥

?

解得0≤x≤2.

(14)已知α为第三象限的角，

3

cos2

5

α=-,则tan(2)

4

π

α

+= .

12

x =

y=1 x

y

a

O

12

x =-

41

4

a y -=

2y x x a

=-+(15)直线1y =与曲线2

y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 .

【答案】(1,5)4

【命题意图】本小题主要考查函数的图像与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思想.

【解析】如图，在同一直角坐标系内画出直线1y =与曲线

2y x x a =-+,观图可知，

a 的取值必须满足1

,4114

a a >??

?-

23

【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.

【解析】如图，22||BF b c a =+=, 作1DD y ⊥轴于点D 1,则由BF 2FD =，得

1||||2||||3OF BF DD BD ==,所以133

||||22

DD OF c ==,

即32

D c x =,由椭圆的第二定义得2233||()22a c c FD e a c a =-=-

x

O y

B

F

1D

D

又由

||2||BF FD =,得2

32c c a a

=-,整理得22320c a ac -+=. 两边都除以2a ,得2

320e e +-=,解得1()e =-舍去，或23

e =. 三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

(17)(本小题满分10分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．) 已知ABC 的内角A ，B 及其对边a ，b 满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．

【命题意图】本题主要考查正弦定理及特殊角的三角函数值，以及考查逻辑思维能力、运算

能力，同时转化与化归的思想、方程思想．

【点评】解斜三角形实际属于三角函数的范畴，以三角函数的考查有五种基本题型：考查纯三角函数、考查三角函数与平面向量的交汇、解斜三角形、解斜三角形与向量的交汇、三角变换及求值与解斜三角形的交汇，每年对这方面的考查往往是轮番出现，备考注意这几个方面的强化训练．

(18)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．)．

投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审， 则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评 审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录 用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3． 各专家独立评审．

(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(II)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望．

【答案】解：

(Ⅰ)记 A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；

B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；

C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审；

EX=?=.

期望40.4 1.6

【命题意图】本题主要考查等可能性事件、互斥事件、独立事件、相互独立试验、分布列、数学期望等知识,以及运用概率知识解决实际问题的能力,考查分类与整合思想、化归与转化思想.

（19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效

．．．．．．．．．）

如图，四棱锥S-ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB//DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC .

（Ⅰ）证明：SE=2EB；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小.

故BK ⊥平面EDC,,SBC BK DE DE ⊥与平面内的两条相交直线BK 、BC 都垂直. SBC,DE EC,DE SB DE ⊥⊥⊥平面

226,SB SD DB + 3

SD DB DE SB ==, 22626EB DB DE SE SB EB =

-==-=所以，2SE EB =.

(Ⅱ) 由225,1,2,,SA SD AD AB SE EB AB SA =+===⊥知

22121,AD=133AE SA AB ????=+= ? ?????

又. 故ADE ?为等腰三角形.

取ED 中点F,连接AF ,则226,3AF DE AF AD DF ⊥=

-=. 连接FG ，则//,FG EC FG DE ⊥.

所以，AFG ∠是二面角A

DE C --的平面角.

连接AG,AG=2,2263

FG DG DF =-=, 2221cos 22

AF FG AG AFG AF FG +-∠==-, 所以，二面角A DE C --的大小为120°.

解法二：

由,m DE m DC ⊥⊥,得

0m DE ⊥=，0m DC ⊥=

故 20,20111x y z y λλλλλ

++==+++. 令2x =，则(2,0,)m λ=-.

由平面DEC SBC ⊥平面得,0,20,2m n m n λλ⊥=-==. 故2SE EB =.

(Ⅱ) 由（Ⅰ）知222,,333E ?? ???,取DE 中点F ，则111,,333F ?? ???,211,,333FA ??=-- ???, 故0FA DE =,由此得FA DE ⊥.

又242(,,)333EC =--,故0,EC DE =由此得EC DE ⊥,

向量FA 与EC 的夹角等于二面角A DE C --的平面角.

于是 1cos(,)2FA EC

FA EC FA EC ==-, 所以，二面角A DE C --的大小为120°.

【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，二面角等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.

(20)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.

（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围；

（Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ .

【答案】

（Ⅰ）11()ln 1ln x f x x x x λ

+'=+-=+， ()ln 1xf x x x '=+,

题设2()1xf x x ax '≤++等价于ln x x a -≤.

令()ln g x x x =-，则1()1g x x '=

- 当01x ＜＜，'()0g x ＞；当1x ≥时，'()0g x ≤，1x =是()g x 的最大值点，

()(1)1g x g =-≤

综上，a 的取值范围是[)1,-+∞.

(Ⅱ)有（Ⅰ）知，()(1)1g x g =-≤即ln 10x x -+≤.

当01x ＜＜时，()(1)ln 1ln (ln 1)0f x x x x x x x x =+-+=+-+≤；

当1x ≥时，

()ln (ln 1)f x x x x x =+-+

1ln (ln 1)x x x x

=++

- 11ln (ln 1)x x x x

=--+ 0≥ 所以(1)()0x f x -≥

【命题意图】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想.

（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .

（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上；

（Ⅱ）设89

FA FB =，求BDK ?的内切圆M 的方程 .

所以点(1,0)F 在直线BD 上

（Ⅱ）由①知，

21212(1)(1)42x x my my m +=-+-=-

1212(1)(1) 1.x x my my =--=

因为 11(1,),FA x y =-22(1,)FB x y =-，

212121212(1)(1)()1484FA FB x x y y x x x x m ?=--+=-+++=-

故 28849m -=

， 解得 43

m =± 所以l 的方程为

3430,3430x y x y ++=-+=

又由①知 2214(4)4473

y y m -=±-?=±

【命题意图】本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想..

（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 已知数列{}n a 中，1111,n n

a a c a +==- .

（Ⅰ）设51,22n n c b a ==-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 .

【答案】

用数学归纳法证明：当2c >时1n n a a +<. （ⅰ）当1n =时，2111a c a a =->，命题成立； （ⅱ）设当n k =时，1k k a a +<，则当1n k =+时， 21111k k k k

a c c a a a +++=->-=. 故由（ⅰ），（ⅱ）知当2c >时1n n a a +<.

当2c >时，令24c c α+-=，由111n n n n n

a a c a a a α++<+=<得. 当1023

c <≤时，3n a α<≤，

当103

c >时，3α>，且1n a α≤<， 于是111()()3n n n n a a a a αααα+-=

-≤-， 11(1)3n n

a αα+-≤

-. 当31log 3

n αα->-时，113,3n n a a αα++-<->. 因此103c >不符合要求. 所以c 的取值范围是1023

?? ???

，.

【命题意图】本小题主要考查数列的通项公式、等比数列的定义、递推数列、不等式等基础知识和基本技能，同时考查分析、归纳、探究和推理论证问题的能力,在解题过程中也渗透了对函数与方程思想、化归与转化思想的考查.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/keul.html