中学数学中的化归方法222 - 图文

本科毕业论文（设计）

题

目 中学数学中的化归方法

学生姓名 系 名 专业年级 指导教师 单 位 辅导教师 单 位

陈业年 学 号 2006051218

数学与计算机信息工程系 数学与应用数学06本2 黄涤新

职 称 百色学院

黄涤新

职 称 百色学院

副教授 副教授

完成日期

2010

年

5

月

28

日

材 料 目 录

百色学院本科毕业论文（设计）任务书（指导教师用）

百色学院本科毕业论文（设计）开题报告（学生用）

百色学院本科毕业论文（设计）中期自查表（学生用）

论文：中学数学中的化归方法

百色学院本科毕业论文（设计）诚信保证书

百色学院本科毕业论文（设计）任务书（指导教师用）

题目名称 中学数学中的化归方法 学生姓名 指导教师姓名 陈业年 黄涤新 所学专业 数学与应用数学 班 级 数应本06（2）班 所学专业 数学 职 称 副教授 完成期限 2010年5月28日 1. 毕业论文（设计）主要内容或主要技术指标 化归方法是一个应用十分广泛的数学思想方法，本文围绕着化归的含义，化归要遵循和谐化原则，简单化原则,直观化原则,特殊化原则等;化归方法在数学教学中的应用主要有化未知为已知，化数为形，化实际问题为数学问题等三个方面。利用化归方法学习新知识,利用化归方法原则理清知识结构,利用化归方法指导解题。更深层次上揭示知识的内部联系，提高他们分析问题和解决问题的能力 2.毕业论文（设计）基本要求 论文能力要求：训练学生搜集资料、查阅资料、整合资料的能力；训练学生专业写作的能力；训练学生适当的所学运用知识的能力。 论文格式要求：论文撰写格式符合规范，结构严谨，逻辑性强，语言准确，图表完整 论文内容要求：对写作的内容要有深入的了解，对论文所涉及的相关知识有一定的了解 论文写作态度要求：踏踏实实、勤奋、努力地阅读资料，认认真真地独立写作 3.毕业论文（设计）进度安排 1. 2009.10.20---2010.2.28 查阅资料，收集整理资料 2. 2010.3.1----2010.3.30 撰写论文写作提纲，并确定论文主题框架 3. 2010.4.1----2010.4.30 撰写论文。并提交论文初稿 4.2010.5.1----2010.5.25 修改论文初稿，并最终定稿 指导教师签名： 黄涤新 2010 年 5 月 27 日

百色学院本科毕业论文（设计）开题报告（学生用）

学号 2006051218 学生姓名 陈业年 黄涤新 系 名 职称 专业数学与应用数学 指导教师 年级 论文（设计）题目 中学数学中的化归方法 数学与计算机信息工程系 副教授 1. 本论题国内外研究动态及研究意义： 研究动态： 1.董香梅 徐娟珍在《化归方法在数学中的应用》把待解决或未解决的问题通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得原问题，并通过例子来说明化归方法的应用。 2.崔瑜 孙悦在《化归方法在数学中的应用》举例了几种常见的化归方法，并用例子来说明总结化归方法的几种转化原则。 3.张泰明 在《浅论化归思想方法及其在数学教学中的应用》本文侧重于对于化归方法的教学论述,并且举例说明简单化原则、熟悉化原则、具体化原则、和谐化原则等化归方法在数学学习中的应用。 4.李兴萍 在《归思想方法在数学解题中的应用》阐述数学有许多灵活的解法，化归思想方法是解决数学问题的常用方法之一，并对此方法进行论述、归纳、总结，来解决一些数学的实际问题，来帮助学生更好的学习。 5. 赵建雄 在《浅谈化归思想方法在中学数学教学解题中的应用》中把未知问题转化 为已知问题,把陌生问题转化为熟悉问题、把繁杂问题转化为简单问题。并说明转化,不是无目的活动,问题的内部结构和相互之间的联系,决定了处理这一问题的方式、方法。也充分揭示问题间的内部联系、分析问题、创造条件、实现转化是化归的关键。 6.逻辑学之父亚里士多德在《工具论》中阐述化归方法是一种逻辑思想，它借助逻辑这个工具将一个生疏、复杂的问题转化为熟知、简单的问题来处理。 研究意义： 化归方法是数学解决问题的一般方法,是被广泛使用着的一种用来研究数学问题,解决数学问题的重要方法,是中学数学基本思想方法之一。化归要遵循和谐化原则，简单化原则,直观化原则,特殊化原则等;化归方法在数学教学中的应用主要有化未知为已知，化数为形，化实际问题为数学问题等三个方面。利用化归方法学习新知识,利用化归方法原则理清知识结构,利用化归方法指导解题。事物的普遍联系和矛盾的对立统一,相互转化性为化归方法提供了哲学基础,数学内部的逻辑联系为化归提供了可能。化归思想方法把未知问题化归为已知问题、把复杂问题化归为简单问题、把非常规问题化归为常规问题，从而使得问题获得解决的。学生有了化归的思想，就能从更深层次上揭示知识的内部联系，提高他们分析问题和解决问题的能力。 2.毕业论文（设计)研究内容、拟解决的主要问题： （1）化归方法的含义 （2）化归方法的解题原则 （3）化归方法的应用 （4）化归方法的局限性及教学意义 3.毕业论文（设计)研究方法、步骤及措施： 1）准备材料及积累阶段（2010年1月20——2010年2月2） 本阶段的主要任务是收集和学习相关的参考文献资料。主要研究化归方法在教学中的应用及意义,以化归方法作为关键字搜索资料. （2）分析材料及整合阶段（2010年2月3日——2010年4月2日） 该阶段的主要工作就是以本研究的目标为向导，结合论文的结构框架及问题提纲，对前一阶段所收集到的材料进行分析、筛选和整合归类，初步构思论文的整体思路。并上交开题报告。 （3）建立论文构思及定初稿阶段（2010年4月8——2010年5月5） 本阶段的首要任务是完成论文的皱形，并进一步充实资料，与指导老师一起讨论内容，书写中期自检表。利用前面两阶段的材料精华，结合自己的构思把初稿定下来。 （4）修改论文及完成阶段（2010年5月5——2010年5月15） 书写论文，并交第一稿。 （5）进一步修改，完成阶段（2010年5月15日-----2010年5月25） 根据指导老师的修改，进一步完善。 （6）收尾工作，打印装订（2010年5月26----2010年6月3） 4.主要参考文献： [1] 崔瑜.孙悦.化归方法在数学问题中的应用[J]，解题技巧与方法，2009,(6). [2] 谢锦同. 初中数学“化归”方法的活用[J],中国科教创新导刊，2010,(1). [3] 董香梅. 徐娟珍,化归方法在数学中的应用[J],江苏常州技师学院，2008(1). [4] 张泰明. 浅论化归思想方法及其在数学教学中的应用[J],科技资讯，2007(10). [5]李兴萍. 化归思想方法在数学解题中的应用[J],甘肃兰州，2009,(10). [6]叶立军.化归思维在数学解题中的应用及其教学对策[J],杭州师范学院学报 2003,(4). [7] 赵建雄.浅谈化归思想方法在中学数学教学解题中的应用[J],甘肃科技纵横，2007,(6). [8］王子兴．数学方法论问题解决的理论[A].上海：中南大学出版社，1999,(9)． 是否可以进入论文（设计）研究： 是否可以进入论文（设计）研究： 指导教师签名： 系主任签名： 年 月 日 年 月 日

x2?8x?20?x2?1?5,

22即B(4,2) ?x?4???0?2??22?x?0???0?1??5映射为证明动点5．建立

A(0,1) M(x,0) ?x,0?到点?4,2?，?0,1?的距离之和大于等于

平面直角坐标系并作出点A?0,1?,B?4,2?,M?x,0?以及B点关于x轴的对称点B?4,?2?。因为MB?MB，所以MA?MB?MA?MB'''B’(4,-2) 图2 当MA?MB最小时，点A,M,B'应在一直线上，其最小值即线段AB'之长，得

?0?4?2?????1???2?2 ?51.3“化归”与其他方法的有效结合

化归思想只是丰富多彩的数学思想中的一种,化归的过程,化归思想的应用,一般

离不开其他思想方法的有机配合。

例5求证f?n??n3?3n2?2n?6,n?z能被6整除

分析:原式可变形为f?n??n?n?1??n?2??6，表明f?n?是三个连续整数之积与6的和。因而本题可转化为问题(1):三个连续整数之积能被6整除。如果我们对问题(1)的证明方法已经掌握那么原问题便可由此获证:如果我们对问题(1)的证法仍未知那么由于6?2?3而2与3又互质，因而问题(1)又可转化为问题(2):三个连续整数之积既能被2整除又能被3整除从而原问题得解。

以上五个例的形式及求解过程并不相同，但其思考方法都是通过转化或再转化，将待解决的问题归结为一个已经解决的问题，或者归结为一个较易解决的问题，甚至为人们所熟知的常识问题.最终使原问题得解这种将未知转化为已知的方法称之为化归方法[3]。

2 化归方法的基本原则 2.1和谐化原则

和谐化是数学内在美的主要内容之一。因此,我们在解题过程中,可根据数学问题

的条件或结论以及数、式、形等的结构特征,利用和谐美去思考问题,获得解题信息,

4

从而确立解题的总体思路,以达到以美的作用[4]。

?1???例1已知2????arcsin??sin??,求证????arctan?tan??其中?,?均为锐

?1???角, ???1?cos??????0

分析:已知条件中出现2???及?,而结论中出现???及?,因此采用

2???????????及?????????进行变换。

例2 :若

sin?????sin?????求证cos??cot??cot??????cot????? ?sin?sin?分析:该题的条件和结论中函数名称不统一角度布置也不合理.根据和谐化原则首先将原问题转化:若sin?????sin??sin?????sin?,

求证cot??cot??????cot??cot?????。其次条件中的函数是”弦“结论中的函数是“切“.也显得不和谐.故将结论中的“切“转化为“弦“.即证明:

sin???????sin???????该式是不难由条件获得的[3]。 ?sin?sin?????sin?sin?????例3 ：在⊿ABC中,证明acos2CA1?ccos2??a?b?c? 222分析：等式右边是关于三角形的边的关系式，而左边是关于三角形的边与角的关系式，由半角公式可得cos2C1?cosCA1?cosA?,cos2?，再根据余弦定理，可将左2222边化为边的关系，使问题得到证明。 2.2简单化原则

简单化就是将复杂问题化归为简单问题,将原问题中比较复杂的形式,关系结构,通过化归,将其变为比较简单的形式,关系结构。

例4：求函数f?x??3sin?x?20???sin?x?80??的最大值。

分析：该题若运用公式展开相当繁琐，难以求出结果。若把?x?80??转化为

??x?20???60??,则非常容易。

??????13sin?x?20????， x?20?60解：∵f?x??3sin?x?20???sin????? 5

∴f?x?max?13。

例5 实系数一元二次方程z2?2pz?q?0?p?0?有两个虚根z1、z2，设z1、z2在复平面内的对应点是R、Q求以R、Q为焦点，且经过原点的椭圆的长轴长。

分析:这是一道涉及到代数、解析几何内容的综合题。它可分解转化为如下几个简单问题。(1)方程问题.因为方程z2?2pz?q?0有两个虚根z1、z2，所以，即q?p2?0且z1?z2?q，z1、z2为共轭复数； (2)复数问题.因为??4p2?4q?0z1、z2互为共轭复数,所以z1?z2，z1z2?z2?q，且有, OR?Z1,OQ?Z2;(3)几何问题.由椭圆定义知长轴长2a?z1?z2?2q。

例6 解不等式2x?1?x?2

分析:这是一个带有二次根式的无理不等式。它相对于一次、二次不等式来说显然

t2?1是较为复杂的问题按照简单化原则可设t?2x?1?t?0?,x?.则，这时原不等式

22??就可以为一元二次不等式t2?2t?3?0.

分割法，能清晰地了解待处理问题内部的各种制约关系，从而找到一个解决问题的方法．这种化归方法是“化大为小”，“化繁为简”转化思想的体现．

例7 设f?x??1?logx3,g?x??2logx2，试比较f?x?与g?x?的大小． 分析：我们采用求差比较法，若令M?M?1?lxo?g3f??x??g，x则?x4?3?x?。M的零点是定义域为x?0且x≠1，因此以1?2lo?gx2logx?34??4与为分点，将?0,???分为三段便可分割讨论M的符号了。 32.3直观化原则

化归的方向一般应由抽象到具体，即分析问题和解决问题时，应着力将问题向较

具体的问题转化，以使其中的数量关系更易把握，如尽可能将抽象的式用具体的形来表示，将抽象的语言描述用具体的式或形来表示，以使问题中的概念以及概念之间的相互关系具体明确，一句话，将比较抽象的问题转化为较直观的问题来解决[3]。

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例8 已知x2?y2?1，求x2?2xy?y2的最大值.

解：由于x2?y2?1，则可设x?rcos?，y?rsin?,y=rsinθ(0≤r≤1)，于是

???r2cos2??2r2sin?cos??r2sin2??2r2sin?2???,易知 4??当r?1且??y ?8时x2?2xy?y2取最大值2。

B i 例9 如果复数2满足z?i?z?i?2，那z?i?1的最 小值为多少?

分析:（如图 3 ）z?i?z?i?2中z的轨迹为线段AB 则问题转化为求线段AB上一点。使它到点C(-1,-1)的距离最小易知点A为所求点。 2.4特殊化原则

C x O 1 图 3 -i A 特殊化原则是将一般问题特殊化,从特殊问题的解决中,寻找问题的解题策略[4]。

x2y2?1的焦点为F1、F2,点P为其上的动点。当F1PF2为钝角时,点例10 椭圆?94P的横坐标的取值范围是。

分析:如果采用解析法,设动点坐标,列不等式来解,计算量太大,若能抓住临界值直角这一关键,将一般情况转化为特殊情况,将钝角转化为直角,将不等式转化为方程,使复杂问题简单化。若F1PF2为直角时,点P在以F1F2为直径的圆上,联立圆和椭圆方程,求出点P的横坐标?353535,可得点P的横坐标的取值范围是?。 ?x?5553化归方法在教学中的应用 3.1化未知为已知

已知与未知是相对的，在一定条件下，未知可转化为已知，已知也可视为未知，

这种看法上的转变，往往可帮助我们找到解题的方向。

例1：已知sin??

511???，cos??????，?,???0,?，求cos?。 714?2?7

分析：该题若将?转化为???????????,再运用公式展开，则容易求解。

526???解：∵???0,?，sin??，∴cos??

772??

???∵?,???0,?，∴?????0,??

?2?又∵cos??????1153∴sin?????? 14141471479811265135226?2513 ∴cos??cos???????cos???cos??sin???sin???????????????例2已知函数f?x??asin??x????bcos??x???其中a,b,?,?都是非零实数又知f?2003???1,求f?2004?

分析：欲求f?2004?等于多少,需要找它与f?2003???1之间的联系,这个联系就是解本题的关键。因为f?x??asin??x????bcos??x???,

所以, f?2003??asin?2003?????bcos?2003??????asin??bcos???1 即asin??bcos??1,

从而f?2004??asin?2004?????bcos?2004?????asin??bcos??1

此问题可以化归为求f?200k?,k为末尾数字且k为自然数时的一般情况。当

k?2n?1,n?N时f?200k???1；当k?2n,n?N时f?200k??1。

3.2化数为形

数与形是客观事物不可分割的两个数学表象，华罗庚教授说过\数缺形时少直观，

形缺数时难入微\，基于此，很多代数问题若能转化为图形，则思路和方法可以从图形中直观地显示出来[5]。

例3：实数m为何值时，关于x的方程：7x2??m?13?x?m2?m?2?0的两个实根x1，x2满足0?x1?1?x2?2。

分析：若直接利用求根公式或根与系数的关系求解，则步履艰难；若把数的关系转化为图形（如图 4），则易求解。

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解：设7x2??m?13?x?m2?m?2?0要使方程的两根 y x1，x2满足0?x1?1?x2?2必须且只需 ?f?0??0?m2?m?2?0?m??1或m?2??2? f1?0?m?2m?8?0???????2?m?4??m2?3m?0?m?0或m?3f2?0?????所以

?2?m??1或

3?m?4x1 x2 O ,故当

m??2?,????1,方程的两根x1，x2满足0?x1?1?x2?2 3,4?时

1 2 图 4 x 例4 三棱锥O-BCD中,三条侧棱两两成30?角，在一条棱上取两个点A1,B1，使OA1=4cm, OB1=3cm,用绳由A1到B1绕一周，求所需绳的长度的最小值。

分析：将三棱锥展成平面图之后，抓住那些不变的量：两侧棱间的夹角、线段的长。

O 解：设A1B1在上,沿OB剪开后展平，（如图 5） ∵?BOB1?90?,OA1?4cm,OB1?3cm∴A1B1?5cm, 所以绳的最短长度为5cm。

A1 B1 B 3.3化实际问题为数学问题

B D C 图5 随着教育改革的不断深化，数学知识与其他相关学科及生活、生产实际的联系更

为紧密。近年来，高考对应用题也年年考查，那么将实际问题如何转化为数学问题将显得尤为重要。将实际问题转化为数学问题实际上就是建立数学模型[6]。

例5 设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为0.05，甲、丙都需要照顾的概率为0.1，乙、丙都需要照顾的概率为0.125。

（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为多少； （Ⅱ）计算这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率。

分析：此问题主要是利用数学中的概率知识求得结果。

解：记\机器甲需要照顾\为事件A,\机器乙需要照顾\为事件B,\机器丙需要照顾\为事件C。由题意，各台机器是否需要照顾相互之间没有影响，因此，A,B,C是相互独

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立事件。

（Ⅰ）由已知得P?A?B??P?A??P?B??0.05,

P?A?C??P?A??P?C??0.1 P?B?C??P?B??P?C??0.125 解得P?A??0.2,P?B??0.25,P?C??0.5

所以甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别为0.2，0.25，0.5。 （Ⅱ）记A的对立事件为A,B的对立事件为B,C的对立事件为C，则

PA?0.8,PB?0.75P,C??????? 0.5于是P?A?B?C??1?PA?B?C?1?PAPBPC?0.7。所以这个小时内至少有一台机器需要照顾的概率为0.7[7]。

例6 把一块钢板制成上面是半圆形，下面是矩形的零件，其周长是P，怎样设计才能使冲成的零件面积最大？并求出它的最大面积。

分析：这个实际问题可以转化成一个函数的最值问题来解决。如图6，设矩形的一边长为x,则半圆的周长为

?????????x矩形的另一边长为2O D 1??x?2P????2?x设零件的面积为S，AB??P?x???2?2?4A 则

2P????2?x1??42P?x?S??????x???x?x2482?2?2∵

C x 图 6 a????48?0∴当x??b2P?时，S有最大值，这B 2a??42PP2时AB?∴当矩形的两邻边AB与BC之比为1:2时，Smax?

??48?2?总结

化归的思想方法在培养、提高人的全面素质方面起着比数学知识更为重要的作用，中学数学解题中涉及到这方面的内容是多方面的。通过化归方法的意义,基本原则,以及实际应用,充分肯定化归方法在数学学习和研究中的重要作用。同时也应注意到,它主要是一种解决问题的方法,而不是发现问题的方法[8]。另外,应用化归方法解决数学

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问题时,还受到学生认知结构的限制以及其它数学能力的制约。可见化归方法本身存在局限性，因此在渗透化归方法的同时,应加强其他思想方法的渗透,将各种思想方法合理结合,灵活运用。加强其他数学思想的渗透变单向性思维为发散性思维,有的放矢地帮助学生多角度、多层次地思考问题;变定向性思维为发散性思维,大胆鼓励学生去分析、比较、类比和联想[4]。

总之,化归方法是一个应用十分广泛的数学思想方法,在大力提倡数学素质教育和并用其解决问题的今天,此方法及其它数学思想方法贯穿于教学过程的始终具有积极的意义。

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致谢

本设计的完成是在我们的指导老师黄涤新老师的细心指导下进行的，在每次设计遇到问题时老师不辞辛苦的讲解才使得我的设计顺利的进行。从设计的选题到资料的搜集直至最后设计的修改的整个过程中，花费了黄老师很多的宝贵时间和精力，在此向导师表示衷心地感谢！导师严谨的治学态度，开拓进取的精神和高度的责任心都将使学生受益终生！

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参考文献

[1] 崔瑜.孙悦.化归方法在数学问题中的应用[J]，解题技巧与方法，2009,(6). [2] 谢锦同. 初中数学“化归”方法的活用[J],中国科教创新导刊，2010,(1). [3] 董香梅. 徐娟珍,化归方法在数学中的应用[J],江苏常州技师学院，2008(1). [4] 张泰明. 浅论化归思想方法及其在数学教学中的应用[J],科技资讯，2007(10). [5]李兴萍. 化归思想方法在数学解题中的应用[J],甘肃兰州，2009,(10).

[6]叶立军.化归思维在数学解题中的应用及其教学对策[J],杭州师范学院学报 2003,(4).

[7] 赵建雄.浅谈化归思想方法在中学数学教学解题中的应用[J],甘肃科技纵横，2007,(6).

[8］王子兴．数学方法论问题解决的理论[A].上海：中南大学出版社，1999,(9)．

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ket2.html