2013年高中物理竞赛训练题1 运动学部分

2013年高中物理竞赛训练题1 运动学部分

一． 知识点 二． 习题训练

1.轰炸机在h高处以v0沿水平方向飞行，水平距离为L处有一目标。(1)飞机投弹要击中目标，L应为多大？(2)在目标左侧有一高射炮，以初速v1发射炮弹。若炮离目标距离D，为要击中炸弹，v1的最小值为多少？(投弹和开炮是同一时间)。

2.灯挂在离地板高h、天花板下H-h处。灯泡爆破，所有碎片以同样大小的初速度v0朝各个方向飞去，求碎片落到地面上的半径R。(可认为碎片与天花板的碰撞是弹性的，与地面是完全非弹性的。) 若H =5m，v0=10m/s，g = 10m/s2,求h为多少时，R有最大值并求出该最大值。

3.一质量为ｍ的小球自离斜面上Ａ处高为ｈ的地方自由落下。若斜面光滑，小

球在斜面上跳动时依次与斜面的碰撞都是完全弹性的，欲使小球恰能掉进斜面上距Ａ点为ｓ的Ｂ处小孔中，则球下落高度ｈ应满足的条件是什么？（斜面倾角θ为已知）

4.速度v0与水平方向成角α抛出石块，石块沿某一轨道飞行。如果蚊子以大小恒定的速率v0沿同一轨道飞行。问蚊子飞到最大高度一半处具有多大加速度？空气阻力不计。

5.快艇系在湖面很大的湖的岸边（湖岸线可以认为是直线），突然快艇被风吹脱，风沿着快艇以恒定的速度ｖ０＝２．５ｋｍ／ｈ沿与湖岸成 α＝１５０的角飘去。你若沿湖岸以速度ｖ１＝４ｋｍ／ｈ行走或在水中以速度ｖ２＝２ｋｍ／ｈ游去（1人能否赶上快艇？（2）要人能赶上快艇，快艇速度最多为多大？（两种解法）

6.如图所示，合页构件由两菱形组成，边长分别为２L和L，若顶点Ａ以匀加速度ａ水平向右运动，当BC垂直于OC时，A点速度恰为v，求此时节点Ｂ和节点C的加速度各为多大?

7.一根长为l的薄板靠在竖直的墙上。某时刻受一扰动而倒下，试确定一平面曲线 f (x,y) = 0，要求该曲线每时每刻与板相切。(地面水平)。

9.一三角板两直角边分别长a、b。开始时斜面靠在y轴上，板面垂直于墙，然后A、B分别沿y轴和x轴运动。求斜边完全与x 轴重合时，C点所经的路程。yAaCbOBx 10.一只船以4m/s的速度船头向正东行驶，海水以3m/s的速度向正南流，雨点以10m/s的收尾速度竖直下落。求船中人看到雨点的速度

11。一滑块p放在粗糙的水平面上，伸直的水平绳与轨道的夹角为θ，手拉绳的另一端以均匀速度v0沿轨道运动，求这时p的速度和加速度。

12. 如下图，v1、v2、α已知，求交点的v0.

13．两个半径为R的圆环，一个静止，另一个以速度v0自左向右穿过。求如图的θ角位置（两圆交点的切线恰好过对方圆心）时，交点A的速度和加速度。

14.

(1)炸弹飞行时间由v0t=L可得t?2hg2hg L?v0?(2)在地面参照系中，炮弹和炸弹做的都是曲线运动，不易研究．我们可以取炸弹为参照物，只要炮弹的合速度指向飞机即可．在炸弹参照系中，不用考虑g，炮弹有一水平向左的速度v0和v1，要v0和v1的合速度沿BA方向，而且又要v1最小，显然要v1垂直于BA，此时v1?v0?sin??v0hh??L?D?22?v0h?2h??v0??2h?D?g?2(3)若v0?g/(2h)?(h2?D2)/D则只能在炸弹刚落地时，炮弹恰好击中它，此时v1最小。在地面系中炸弹平抛t?2h/g?(2v1?sin?)/g2*v1取这个最小值的条件是炸弹尚未落地，即炮弹的飞行时间要小于炸弹飞行时间t?h??L?D?22炮弹斜抛可解得??????????g2hD?2v1?sin??cos?/gv1??2v0?cos??h??L?D?22v0?L?D??2hgg/(2h)?h?D222h?Dv0h将L代人，即： v0?g2h?h?DD22?v???0??v???0?22h?D????2hD?g最后vmin?h??v0?22h??D?g?222h?D????2hD?g

(1)假设碎片不会碰顶，应有?1242222 4gt?(v0?gh)t?h?R122配方?2(v0?gh)?0 4g2??t2?v?g2??2(v220?2gh)?R?g2可见，当t2?2(v0?gh)时， g2

此时

以上假设要求即(2)若h不满足上述要求，则以θ角飞出的碎片将撞击天花板，飞行轨迹发生变化．此时，抛得最远的碎片应该是未撞击天花板而最高点恰好和天花板相切的碎片．这时有解：蚊子作匀速率运动，因此只有法向加速度a①石子飞行高度H?v220sin?2g在Ｈ/ 2 处的速度：vx=v0cosα vy= gH飞行方向θ= tan?1vytan?v可得tg?= x2②g的法向分量an = g cosθ这就是石子此时的法向加速度，因此有v22gcos??x?vyv220cos??gH???可以得到ρ

(3)因为所以在不碰顶时，h越大R越大．h可取的最大值是此时下面再考虑碎片碰顶的情况求极值，可得当h = 3.75m时R有极大值所以最后的结果是当h=3．75m时，R有最大值12．99m以后每碰一次，都比前一次增加2?x?a20sin?x?t?4vg因此n 次碰撞下行的总距离S?x1??x1??x???x1?2?x??..????x1??n?1??x?? ?nxn?n?1?1???1?2?...??n?1????x ?nx1?2?x2 ?2n?n?1?v0sin?g又?v20?2gh ?h?S4n?n?1?sin? ?n?N?解：取如图所示的x-y坐标，小球第一次弹起的速度为v0ax= g sinθ, av0x= v0 sinθ,y = -gcosθv0y= v0cosθ相邻两次与斜面的碰撞之间的时间?t= 2voyv0a?2v0cos?ygcos??2g小球在x方向上作匀加速运动，第一次弹起的距离2x1?vox?t?124v0sin?2a?t?g

由以上三式可解得：

原解①：设人先在岸上跑t1，再在水中游t3（如图）,如果t3

22222232222代入v0、v1、v2、α，可有：2.85t1?6.9t1t2?2.25t2?02可因式分解成（t1-2.04t2）(t1-0.386t2) ≤0因t2>0 ，故当0.49t1

原解②：用矢量图解：从O点开始，过了t1秒，人到A点，艇到B点。将人在水中的速度沿OB和AB两个方向分解，并使其沿OB方向的分量v2'恰好等于v0，那么人和艇在OB方向上相对静止，靠v2\人就一定能追上艇。(关键是上述分解能否进行)在下图中?OAB∽?AED故有AEv2'?OAOB?v1v0∵要求v2'?v0∴有AE=v1(定值) 再看β角，显然，v0越大，β越大，但β太大了，v2就可能够不到EC，因此，要求v2能够上EC的最大的β角。在直角?AEC中，由于v1v2?42，故βmax=30o α=60o-15o=45o故v2'（即v0）的最大值为：vmax?v0cos45??2?2?2.8km/h

又解：

利用费马原理可知。最省时的追赶路线是可得α=300。在位移Δ中用正弦定律由v1t1sin450v1v2?sin90sin?0?2(t?t1)sin150可得t=3t1vmtαv2(t-t1)代入v1t1sin450?vmt32可得v1t1vm?22m/s?2.83m/s只要船速v0

vc?C点的速度沿CB方向：?23v0aaaC点的切向加速度//和?向x方向投影之和等于，3C点的向心加速度: a??vcCO可求出a//。?????????ac?a??a//?22?vAa?a????9L3?9?2?设某一时刻，A、B两端的速度分别为vA和vB,那么有??因为要求曲线处处与杆相切，则杆上该切点C的速度方向一定是沿杆方向的．设C点离A端的距离为a，x、y方向的分速度分别为vA和vy，那么应该有由有?因此该曲线的参数方程为?曲线的直角坐标方程

(1)任意时刻，A、B、C、O四点共圆，因此有?COB??CAB??

φ是一个定值，即C点始终在y=tanφ·x 直线上运动．(2)由关联速度可知，C点的速度vC和B点的速度vB沿BC的分量必须相等．同理，vC和vA沿AC的分量也必须相等．因此，当BC也垂直于x轴时，vC=O．这个位置就是C点由向上运动转而向下运动的转折点．所以C点经过的总路程S?2(a?b?a)?(a?b)?2a?b?(a?b)22221.列式????V雨人?V雨地?V地水?V水人??V水人??V人水??V地水??V水地A

2。作图：如右图,3。计算BD?DC2?BC2?3?4222?5m/s2AD?AB2?BD2?10?5?55m/sV雨人?55m/s方向可用∠BDC和∠ADB来表示

解：由于水平面很粗糙，不沿绳方向的速度很快就被摩擦力消耗，因此P的速度一定沿绳的方向．那么P的速度v?v0?cos?现取Q为参照系．因为Q无加速度，所以P在Q系中的加???速度等于P在地面系中的加速度aP?at?an在Q系中，P有一个垂直于PQ的速度

???vPQ?vP地?v地Qan?v1l2v1?v0?sin??v0?sin?l22

at??v0?v1?t?v0??sin??t?v0?t?sin???????sin?????t

???sin?cos???cos?sin???sin??因为△θ很小，所以cosΔθ=1，sinΔθ=Δθ，因此at?v0cos?????t?v0l2?sin?cos?以上的at，对自学过高等数学的同学，很容易通过求导得出．因此444?v0??sin?v022ap???sin?cos??22ll??12?v0l2sin?

解1：在△AA＇O中算出OA＇在△OBB＇中算出OB’（=A＇O＇）在△Ａ′ＯＯ＇中算出ＯＯ＇速度叠加法解２：令1不动，交点在1上的速度v2A=v2/sinα;不动，交点在2上的速度v1A=v1/sinα?令2??v0?v1A?v2Av0?22v1?v2?2v1v2cos?/sin?

解：A沿圆环运动，其x方向分量vx?12v0

∴vA?v02sin?又A在水平方向匀速运动ax = 0,可将a分解在切向at和法向an，有：an?vAR2?v0224Rsin?ancos??atsin??0a?ansin??v0234Rsin?( 也可用微元法求vA)

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