数学奥林匹克初中训练题_119_

数学能力竞赛决赛

34中等数学

数学奥林匹克初中训练题(119)

第一试

一、选择题(每小题7分,共42分)1.已知实数a、b、c满足abc≠0,a≠1,b≠1,c≠1,且　a+b+c=2008,

=1.

1-a1-b1-c

222

则a+b+c+8(1-a)(1-b)(1-(A)3336.如图2,

(B)334

O1

与

(C)335(D)336

O1

、

O2外切于点

P,

O2的半径分别

的值为(　　).

(A)22B)2+4()2+(D)2006+

22.如1△ABC的内、外角平分线交于点D.若AC>BC,则2CD-BC与AC的大小关系为(　　).

图1

(A)2CD-BC>AC(B)2CD-BC<AC

(C)2CD-BC=AC　　(D)不确定3.梯形ABCD中,AD∥BC,AD=1,BC=CD=3.分别过点A、B、C作BC、CD、AB的垂线,三线共点.则这个梯形的面积是(　　).

(A)　(B)2　(C)3　(D)4

54

4.在1,2,…,1000这1000个正整数中,依次随机取两个数p、q(p、q可以相等),

设先取出的数为p.则大于的概率为

q4

(　　).

(A)01875(B)0175(C)01625(D)0155.已知n!=1×2×

…×n(nN+).把2009分为12个正整数a1,a2,…,a12(a1≤a2≤…≤a12)的和,且使a1!a2!…a12!最小.则此时a1+a12的值为(　　).

为2、1,O1A为O2的

切线,AB为O2

直径1B分别交1、O2+(　　).

图2

　(B2　(C11　(D33333二、填空题(每小题7分,共28分)(A21.设M=(a-2b)+

2b-5b+2a+42

(M、b均为整数,a≤b).在a、b变动下,当M

最小时,a-b.

2.正方形ABCD的边长为1,Q、R为边AB的三等分点(AQ>BQ),DQ与CR交于点E.设过E、A、C三点的圆交DE于点P.则DP.

3.设实数x、y满足

x+

2

242

3

22

xy+

42

y+

2

3

xy=8,

24

x+y=40.

则x+y=.4.设关于x的方程

3222

(a-b)x+(a-3ab+2b)x+a+b=0的根都是整数,a-b也是整数.则b最小为

.

4

第二试

(20分)设函数y=x-1的顶点M一、

关于直线y=mx(m≠0)的对称点为A.平移此抛物线,使其顶点移动至点A.设平移后抛

2

数学能力竞赛决赛

2009年第7期35

物线交y轴于点B(0,a).求a的最大值.

(25分)如图3,△ABC中,AB=

AC,二、

F为边BC上一点,BF、CF的中垂线分别交AB、AC于点D、E,F关于直线DE的对称点为

图3

F′.若F′在AB

的中垂线上,试证:CF′=DE+BF′.

(25分)如果一个自然数的k次方末三、

k

三位数都是a(a、k为大于1的自然数),则称其为“新兴数”.问:在1,2,…,2009中有几个新兴数?并证明你的结论.

分线,所以

,

ADC=90°-

22

AB

C.ABC>

BAC.

又AC>BC,则故

ADC=90°-

ABC

BAC=DAC.2

因此,CD>AC>BC.则2CD-B

C-AC

=(CD-BC)+(CD-AC)>

0.所以,2CD

-BC>AC.3

.B.

90

°,C≠B.<90°-

参考案

试

一令1a=x,1-b=y,1-c=z.则x++z=2005,4=

1-a1-b1-c+=.1-a1-b1-cxyz

①

B

,于是,B=90°(如图5).

此时三垂线交于点B.作DEBC于点E.易得

AB=

-(BC-AD)

2

2

A、D

图5

=5.

故S梯形ABCD4.C.

(1+3)=25.2

将式①两边平方得

2222

2005=x+y+z+2xy+2yz2zx

222

+=x+y+z+2x

y

z

注意到

>Ζ4p>3q.q4

=x+y+z+8xyz

222

=(1-a)+(1-b)+(1-c)+8(1-a)(1-b)(1-c)222

=a+b+c-2(a+b+c)+8(1-a)(1-b)(1-c)+3.222

故a+b+c+8(1-a)(1-b

)(1-c)

2

=2005+2×2008-3

22

=(2005+1

)+2

=2006+2.2.A.

如图

4,联结AD,

222

延长BA至点F.

因为BD、CD分别为ABC、ACE的角平分线,易知AD为FAC的角平

图4

考虑如下两个集合:A={4×1,4×2,…,4×1000},B={3×1,3×2,…,3×1000}.问题转化为:在A、B中各取一数pA、pB使pA>pB.若在A中取比750×4更大的数,由于4×751>3×1000,此时,在B中无论怎样取都有pA>pB,共

(1000-751+1)×1000=250000种取法.

若在A中取比751×4小的数,则按除3后的余数分类:

如果在A中取4(3k+1)形数,因为4(3k+1)>12k+3=3(4k+1),所以,在B中最大可取12k+3.

数学能力竞赛决赛

36中等数学

=4k+1个数.3

同理,如果pA为4(3k+2)形数,有4k+2种取法;如果pA为4(3k+3)形数,有4k+

3种取法.(其中k从0到-1=249.)

3

又{1,2,…,750}中3k+1,3k+2,3k+3

形数均有=250个,此时,共有

3

4(1+2+…+249)×3+250+2×250+3×250

2

=6×250

因此,可取

所以,P为△O1AB的重心.

又AE过点P,则EP∶EA=1∶3,且E为O1B的中点.

由O1AB=90°,知EA=EB=O1E,即

EAB=EBA.

又四边形APDB为圆内接四边形,则

EAB=PDE.故PDE=ABE]PD∥AB

]△EPD

△EAB

]]PD=.EAAB233由PD,有

OD种取法.

2

因为全部取法共有1000×1000=

1000种,所以,

2

P=0.2

1000

5.C.

,,.

若两正整数m、n使m>n+1,有m! n!=(m-1)! m n!>(m-1)!(n+1)!.

又(m-1)+(n+1)=m+n,当m+n一定时,要m! n!最小,必须使m与n相等或仅相差1.

从而,a1+a2+…+a12=2009中,若a1!a2!…a12!最小,则a1,a2,…,a12中任意两数至多相差1(否则,可按上述方法调整,使和不变,m! n!…变小).

又2009=12×167+5,则当a1=a2=…=a7=167,a8=a9=…=a12=168时,a1!a2!…a12!最小

.

因此,a1+a12=335.6.D.

如图6,联结O1O2.则O1O2过点P.

联结AP并延长交O1B

图6于点E.

因为O1P∶O2P=2∶1,且O2为AB中点,

OO2

.O1=O1B=

12-O2A=22,故

2

2

1A+AB=2=BD+O1D=3x.

解得x3.

3

3,3CD=O1D-O1C-2.

3则CD+3DP3-2+33.

333二、1.-.

4

所以,O1D=2x注意到

M=a-4ab2

2b+2a-5b42

2

=(a-2b+1)+

2

2

-.22

因M为整数,所以,M最小值可能为1.若可以,此时

(a-2b+1)

2

+

2

2

-=

2

22

](2a-4b+2)+(b-2)=2.

2

又b为整数,则(b-2)为完全平方数,

故

(2a-4b+2)=1,(b-2)=1

2

2

(2a-4b+2)=2,(b-2)=0.

2

2

数学能力竞赛决赛

2009年第7期37

解方程组,且满足a≤b的解仅有

a=,b=1.

2

22

所以,a-b=-.

42.

.

10

=(

33

x+

2

2

33

y)

2

23

=8.

所以,x+y=4.

2323

令x=a,y=b.则

　　　　　　　　①

33

a+b=40.　　　　　　　　　　②由式②得

2

(a+b)[(a+b)-3ab]=40.

a+b=4,

如图7

,联结AE

、BD、

AC.易得

△EQR

]ED

]

DQ

]QD

△EDC==CD32=

QB2

将式①代入得ab=2.

3326633

故(a+b)=1600=a+b+2ab=a+b+16.

6

6

解得ab=1584,即x1584.-39.

图7

664b=,+=0,有无穷.

若a-b≠0,令(a-b)x=t,则t为整数,

2

且(a-b)t+(a-2b)t+(a+b)=0是关于t的二次方程.

由韦达定理得

t1+t2=,t1t2=.

a-ba-b故t1t2-2(t1+t2)=3.

所以,(t1-2)(t2-2)=7.不妨设t1≥t2,有

]]]

=

45°EAB+

BAC=90°.

于是,EC为直径.

设△AEC的外接圆交CD于点M,联结

EM.则EM

DC.

由对称性知ED=EC.所以,DM=CM又QD=

ED=

2

.2

2

+AD,因此,3

t1-2=7,t2-2=1

t1-2=-1,t2-2=-7.

QD=.22

.10

3

由割线定理得ED PD=DM DC.代入解得PD3.1584.

解得t1=9,t2=3或t1=1,t2=-5.

=12,=-4,a-ba-b=27=-5.a-ba-b解得13a=14b或2b=3a.

(1)若13a=14b,则a-b令

2

x+

3

2

3

xy=A,

2

33

4

42

y+x(

2

3

2

2

xy=B.

3

24

b为整数.13

则x+同理,

3

xy=A,

4

3

42

x+

2

y)=A.

22

y(

32

x+

32

2

y)=B.

32

323

32

所以,b为整数且13|b.

又(a-b)x=tbx=3或9,于是,

13

bx=39或117.

故A+B= =(

3

++

3

+32

x+

2

3

y)

2

x+

2

y

2

结合b与x为整数知bmin=-39.

数学能力竞赛决赛

38中等数学

(2)若2b=3a,同理可得bmin=-3.

综上,b最小为-39.

第二试

一、如图8,易知函数y=x-1图像的顶点为M(0,-1)

.令A(p,q).联结AM、AO.　　则AM的中点坐标为,,22

由于该点

在y=mx上,于是,

2

2

解得a,且a时,9t-6t+1=0.

44因此,t=>0满足条件.

3

此时,m=.

3

综上,a的最大值为

.4

二、辅助线如图9,令EF交CF′于点O.由中垂

线定理知

BD=DF,′=A,图8

=,

ABC=

DFB=

图9

ACB,DF∥AC.

2

2

.①

同理,EF∥AB.

因此,四边形ADFE为平行四边形,

故BAC=DFE

=FEC.又点F

与F′关于DE对称,则

DF′=DF=

DB,F′E=EF=EC,DFE=F′EF=2

DF′E=DEF=2

DAE,

DEF

′.

又AO=MO=1,则

p+q=1.

2

②

p2,m+1q2.m+1

2

联立①、②解得

p=0,q=1

①

(舍)于是,平移后抛物线的顶点为

2

,22.m+11+m

所以,平移后抛物线为

22

y=x-22.

1+m1+m

24

令x=0,有a=4.2

m+2m+1

2

令t=m>0.则

2

a=2,

t+2t+12

即　(a+1)t+(2a-4)t+(a-1)=0.③

若a=-1,有t<0.不可能.所以,a≠-1.式③是关于t的二次方程.

2

故Δ=(2a-4)-4(a+1)(a-1)≥0.

故D、F′、A、E四点共圆,有

F′DA=F′EA.所以,所以,

F′DB

=F′BA=

F′EC.F′CE,且

②

由式①、②得△BDF′△CEF′.

==.CF′CEEF

③

又△BDF

.EFFC

△FEC,故

④

.CF′CF

BF′C.

F′CA得F′、A、C、B四点F′CB=

F′BA=

F′CE.

由式

③、④知

因此,F′F平分由F′BA=

共圆.所以,

F′AB=

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2009年第7期39

又F′E=CE,则ECF′=EF′C.于是

,EF′C=F′CB,即F′E∥BC.结合EF′=EF,

得

EF′F=F′FB=F′FE.因此,△BF′F△OF′F,BF′=F′O.由F′E∥BC,

得

F′EF=EFC=ECF.故

2DEF=

2ECF′,

即DEF=ECF′.

在△DFE及△OEC中,

由DFE=FEC,FE=EC,

得

　△DFE△OEC,DE=CO.

故CF′=F′O+CO=BF′+DE.

k

三、首先a<10,结合a、k为大于1k223

整数,于是,a只可为3,24、,,k,444;k=3,888.

(1)若末三位数为888,令3

n=1000a+888.

易知n为偶数,则令n=2m.得3

m=125a+111=5(25a+22)+1.

3

因此,m除以5余1.

3

又当m除以5分别余0,1,2,3,4时,m除以5分别余0,1,3,2,4.

所以,m除以5余1,令m=5k+1.则332

m=125k+75k+15k+1=125a+111.整理得

23

3(5k+k+1)=25(a+1-k).

2

因(3,25)=1,所以,5k+k+1为25的倍数,即k+

1为5的倍数.

令k+1=5l.则22

5k+k+1=5(5l-1)+5l

2

=125l-50l+5(l+1).

故l+1为5的倍数,令l+1=5r(rN+).所以,

n=2m=10k+2=10(5l-1)+2

=50l-8=50(5r-1)-8=250r-58.又0<n≤2009,则r取1～8时,共8个

新兴数.

(2)若末三位数为444,则此数末位为2或8.

因任一正整数均可表为50k+m形(k、m为自然数,m<50),且

222

(50k+m)=2500k+100km+m,

2

所以,其平方末两位数与m末两位相同.于是,m仅可取

2,12,22,32,42,8,18,28,38,48.

依次检验知,当m=12或38时,平方末两位数为44.

因此,一切这样数为50k+k+38形().

k(k、m<且

222

(k+m)=250000k+1000km+m,

2

所以,其末三位数与m末三位数相同.

若为444,则m为50k+12或50k+38形.若m=50k+t(t=12或38,0≤k≤9),则

500-m=50(9-k)+(50-t)也为上述形式的数.而

2

(500k+m)

2

=[500(k+1)+(m-500)],从而,m与500-m末三位数相同.

于是,只需检验

m=12,62,112,162,212,38,88,138,188,238中哪些数平方后末三位数为444.(否则,若数大于250,则500减去它后末三位数与上述数中某一个一致.)

2

易知仅m=38时,末三位数为444(38=1444).

因此,m为38或500-38=462时成立.此时,一切新兴数为

500k+38或500k+462(k为自然数).又1≤500k+38≤2009,有0≤k≤3,1≤500k+462≤2009,也有0≤k≤3,所以,k取0～3时,得1～2009中8个新兴数.

综上,共有8+8=16个新兴数.(张　翱　天津市南开中学高一(2)班,300100)

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