湖南省长郡中学2018届高三月考试题（五）数学（理）试卷

长郡中学2018届高三月考试卷（五）

数学（理科）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若i为虚数单位，复数z满足z(1?i)?|1?i|?i，则z的虚部为（ ） A．2?1?2?11?2iD． B．2?1C．

2222．已知集合A?{x|log3(2x?1)?1}，B?{x|y?3x2?2x}，则A?B等于（ ） A．(,1]B．[,2]C．(,1]D．(,)

1223231223(a?b)?3，且|a|?1，|b|?2，则|a?b|等于（ ） 3．已知平面向量a,b满足b?A．3B．5C．7D．22 4．中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人12月营收贯数为（ ） A．35B．65C．70D．60

5．如图，格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

A．8?43B．C．8?23D．6．为了得到函数y?sin(2x?8364 32??)的图象，只需把函数y?cos(2x?)的图象（ ） 33·1·

?2?B．向右平移

2?C．向左平移

4?D．向右平移

4A．向左平移

个单位长度 个单位长度 个单位长度 个单位长度

7．已知a?21.1，b?30.6，c?log13则a,b,c的大小为（ ）

2A．b?c?aB．a?c?bC．b?a?cD．a?b?c

8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，且S3，S9，S6成等差数列，则8q3等于（ ） A．-4 B．-2C． 2 D．4

9．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（ ）

A．331B．?C．0 D． 22210．设函数f(x)?x?1?4?2x的最大值为M，最小值为m，则A．3B．2C． 3D．2

M等于（ ） m11．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，p是它们的一个公共点，且?F1PF2?曲线的离心率分别为e1，e2，则e1，e2的关系为（ ）

2A．e1?e2B．e12?e2?4C．

?3，设椭圆和双

131313??4D．e12?3e12?4 22e1e112．锐角?ABC中，a,b,c为角A,B,C所对的边，点G为?ABC的重心，若AG?BG，则cosC的

·2·

取值范围为（ ）

461641) C． [,??) D．[,) A．[,??) B．[,532352第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．

?x?y?1?0?13．已知实数x,y满足?2x?y?4?0，则z?x?2y的最小值为．

?x?0?14．已知(4?1n1)(n?N?)展开式中所有项的系数的和为243，则该展开式中含2项的系数为．

xx2????????OB??4（其中O15．已知F是抛物线y?4x的焦点，点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA?为坐标原点），则?ABO面积的最小值是． 16．正四棱锥的体积为2，则该正四棱锥的内切球体积的最大值为． 3三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．已知单调的等比数列{an}的前n项的和为Sn，若S3?39，且3a4是a6,?a5的等差中项． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}满足bn?log3a2n?1，且{bn}前n项的和为Tn，求

1111?????． T1T2T3Tn18．在如图所示的多面体中，EF?平面AEB，AE?EB，AD//EF，EF//BC，BC?2AD?4，EF?3，AE?BE?2，G是BC的中点．

（Ⅰ）求证：BD?EG；

（Ⅱ）求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．

·3·

19．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过3S微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．某市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如图表：

PM2.5浓度（微克/立方米） 频数（天） 组别 频率 第一组 第二组 第三组 第四组 ?0,25? (25,50] (50,75] (75,100] 3 12 3 2 0.15 0.6 0.15 0.1

（Ⅰ）将这20天的测量结果按表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．

（ⅰ）求图中a的值；

（ⅱ）在频率分布直方图中估算样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．

（Ⅱ）将频率视为概率，对于2016年的某3天，记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X，求X的分布列和数学期望． 20．已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆与y轴的非负半轴交于点B，过点B作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于点P，Q两点，连接PQ，求?BPQ的面积的最大值．

21．已知函数f(x)?x?alnx?1（a为常数）与x轴有唯一的公关点A． （Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）曲线y?f(x)在点A处的切线斜率为a2?a?3，若存在不相等的正实数x1x2，满足

227)． 的椭圆过点(2,33|f(x1)|?|f(x2)|，证明：x1x2?1．

请考生在(22)、(23)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22．选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，圆C的极坐标方程为

·4·

???42cos(??)．

4（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）过点P(2,0)作斜率为1的直线l，直线l与圆C交于A,B两点，试求23．选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)?|2x?4|?|x?1|． （Ⅰ）解不等式f(x)?9；

（Ⅱ）若不等式f(x)?2x?a的解集为A,B?{x|x2?3x?0}，且满足B?A，求实数a的取值范围．

11?的值． |PA||PB|试卷答案

一、选择题

1-5: DBACA6-10: CDAAA11、12：CB

二、填空题

13．5 14． 20 15． 42 16．2? 24三、解答题

17．解析：（Ⅰ）6a4?a6?a5?q2?q?6?0?q?3或q??2（舍）；

a1(1?q3)S3??39?a1?3，

1?qan?3n．

（Ⅱ）bn?log332n?1?2n?1；

Tn?3?5???2n?1?n(n?2)，

11111??(?)． Tnn(n?2)2nn?2?1111111111111111??????(?)?(?)?(?)???(?) T1T2T3Tn2132242352nn?211111311??????(??)． T1T2T3Tn22n?1n?2·5·

?

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