数字信号处理实验二

实验二 快速傅里叶变换(FFT)及其应用

一、思考题

(1) 实验中的信号序列

Xc?ej??和Xd?ej??xc?n?和

xd?n?在单位圆上的z变换频谱

会相同吗?如果不同，说出哪一个低频分量更多一些，为什

么?

j?答：设Z?r?e

G(z)?n????g(n)?z??n因为为单位圆，故r=1.因为

G(e)?j?n????3?jg(?n)??en，

?j?n7故

Xc(e)?j??nen?0??(8?n)e?j?n?e?j??2e?j2??3e?j3??4e?j4??3e?j5??2e?j6??e?j7?n?4

Xd(e)?j??(4?n)en?07?j?n?4?3e?j??2e?j2??e?j3??e?j5??2e?j6??3e?j7?比较可

知频谱不相同，Xc(n)的低频分量多。

(2) 对一个有限长序列进行DFT等价于将该序列周期延拓后进行DFS展开，因为DFS也只是取其中一个周期来运算，所以FFT在一定条件下也可以用以分析周期信号序列。如果实正弦信号

x?n??sin(2?fn),f?0.1 用16点FFT来做DFS运

算，得到的频谱是信号本身的真实谱吗?为什么?

答：针对原来未经采样的连续时间信号来说，FFT做出来的永远不会是信号本身的真实频谱，只能够是无限接近。FFT频谱泄露问题是一定会存在的，因为毕竟采样率再高，也不能完全达到原来的连续时间信号准确。原题的采样率是1/10，就是将2*pi分成10份，即每个正弦波周期进行10次采样，这样的采样率很低，而最后你只截取16个点来做分析，泄露一般会挺严重，看到的频谱，应该是一个上头尖，下面慢慢变宽的尖锥形，而纯正的正弦波的理想频谱应该是在某频点只有一个尖峰。 二． 实验原理：

（1）混叠：采样序列的频谱是被采样信号频谱的周期延拓，当采样频率不满足奈奎斯特采样定理的时候，就会发生混叠，使得刺痒后的序列信号的频谱不能真实的反映原采样信号的频谱。

（2）泄露：根据理论分析，一个时间的信号其频带宽度为无限，一个时间无限的信号其频带宽度则为有限。因此对一个时间有限的信号，应用DFT进行分析，频谱混叠难以避免。对一个时间无限的信号虽然频带有限，但在实际运算中，时间总是取有限值，在将信号截断的过程中，出现了分散的扩展谱线的现象，称之为频谱泄露或功率泄露。

（3）栅栏效应：DFT是对单位圆上Z变换的均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续函数，就在一定意义上看，用DFT来观察频谱就好象通过一个栅栏来观看一个景象一样，只能在离散点上看到真实的频谱，这样就有可能发生一些频谱的峰点和谷点被“尖桩的栅栏”所挡住，不能被我们观察到。

（4）圆周卷积：把序列X（N）分布在N等份的圆周上，而序列Y（N）经反摺后也分布在另一个具有N等份的同心圆的圆周上。两圆上对应的数两量两相乘求和，就得到全部卷积序列。这个卷积过程称做圆周卷积。

（5）互相关函数反映了两个序列X（N）和Y（N） 的相似程度，用FFT可以很快的计算互相关函数。

二、上机内容

实验中用到的信号序列: a) 高斯序列

???n?p?q xa?n????e??020?n?15 其他b) 衰减正弦序列

?an??esin?2?fn? xb?n???其他??00?n?15

c) 三角波序列

0?n?3?n ?xc?n???8?n4?n?7?0 其他?

d) 反三角波序列

0?n?3?4?n ?xd?n???n?44?n?7?0 其他?

实验内容思考题：

1、观察高斯序列的时域和幅频特性，固定信号xa（n）中参数p=8 ，改变q的值，使q分别等于2、4、8，观察他们的时域和幅频特性，了解当q取不同值时，对信号序列的时域和幅频特性的影响；固定 q=8，改变p，使p分别等于8、13、14，观察参数p变化对序列的时域和幅频特性的影响，注意p等于多少时，会发生明显的泄漏现象， 混叠是否也随之出现？记录实验中观察到的现象，绘出相应的时域和幅频特性曲线。

答：时域：当p固定，q变化时，由时域波形可知，q代表了波形以p为中心向两侧衰减的速度，发现当q越大时，衰减的速度越快，反之，衰减的速度相对较慢，高频分量越小。

频域：当q固定，p变化时，由时域波形可知，p代表了波形的移序，在频谱上，显而易见，在p更大的时候产生了更多的高频分量。右移之后，序列相当于被截断，那么相对应的其频谱泄漏的情况更加的严重，从而出现了高频分量较多的情况。信号的频谱中高频分量逐渐增加，频谱泄漏逐渐明显，并逐渐出现频谱混叠现象。当p=16时，能力泄漏至旁边的频率，出现较明显的频谱泄漏与频谱混叠现象。随着

p值增大，信号被截断部分增多，截断部分的过渡带过陡，产生高频分量增多，而造成频谱泄漏与混叠。

2、观察衰减正弦序列xb（n）的时域和幅频特性，a=0.1，f=0.0625，检查谱峰出现位置是否正确，注意频谱的形状，绘出幅频特性特性曲线，改变f，使f分别等于0.4375和0.5625，观察这两种情况下，频谱的形状和谱峰出现位置，有无混叠和泄漏现象？说明产生现象的原 因。

答： 如图可知满足Nyquist定理时， f≤0.5，f=0.5625时不满足Nyquist定理。随着f的增大，频谱的谱峰逐渐向右平移，两谱峰逐渐向中间靠拢。因为0.4375=0.5-0.0625,0.5625=0.5+0.0625， f=0.4375和f=0.5625频谱图关于?=?对称 ，造成观察到的频谱完全相同，但实际上表示的意义却不相同。由于存在泄漏现象，出现了高频分量，虽然在f=0.4375时满足Nyquist定理但实际上已发生了频谱混叠。

3、一个连续信号含有两个频率分量，经采样得 xn=sin(2*pi*0.125*n)+cos(2*pi*(0.125+df)*n) n=0,1,2，···，N-1 已知 N=16，df分别为1/1和1/64，观察其频谱；当N=128时，df不变其结果有何不同，为什么？

答：正三角波和逆三角波的时域波形上的走势是不一样的。在频域上可以发现，N=8时，两者的fft互为相反数，因为两者的和实际上就是一个矩形窗函数，rectwin(8)，由于rectwin（8）的fft为80000000，所以除了fft（0）以外，其他都为相反数。而当N=16时，两者之间的和为一个补零了的rectwin（8），对于N不同时得到的结果发现，

实质上同一个序列补零以后的频谱并没有发生太大的变化，补零后的序列相当了有了更多的采样点，在对应位置处的fft值还是相同的，不同的是，当N变大时，补零长度变大时，暴露出来的更多的采样点值可以减轻fft的栅栏效应。

4、一个连续信号含两个频率分量，经采样得

x(n)=sin*2π*0.125n++cos*2π*(0.125+?f)n+ n=0,1,…N-1 已知N=16，?f分别为1/16和1/64，观察其频谱；当N=128时，?f不变，其结果有何不同？

答：由fft频谱图可知，在N=16时，deltaf=1/16时，fft频谱是正确的应该是两个冲激，但是在deltaf=1/64时，此时的信号的带宽减小，由于采样点数是固定的，导致卷积的过程中出现了泄露的情况，因此在第二种情况下出现了谱线扩散的情况。在N=128时，相当于扩展了加窗的宽度，因而没有出现频谱的泄漏。

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