初中数学教案(八年级下学期)第17章分式

1

教

案

第17章分式

（八年级下学期）

17.1分式

1

1、教学目标经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式2、使学生能正确地判断一个代数式是否是分式

3、能通过回忆分数的意义，类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件，渗透数学中的类比，分类等数学思想。教学重点探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。

教学难点能通过回忆分数的意义，探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。教学过程

（一）复习与情境导入（填空）

（1）面积为2平方米的长方形一边长为3米，则它的另一边长为米。（2）面积为S平方米的长方形一边长为a米，则它的另一边长为米。（3）一箱苹果售价p元，总重m千克，箱重n千克，则每千克苹果的住售价是元。（4）根据一组数据的规律填空：1，

111

,,……4916

n表示）

观察你列出的式子，与以前学过的有什么不同？像这样的式子叫分式。先根据题意列代数式，并观察出它们的共性：分母中含字母的式子。(二)实践与探索

例1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？

（1）

1；x

（2）

x；2

（3）

2xy

；x+y

（4）

3x y

.3

例2、探究：1、当x取什么值时，下列分式有意义？

x

（1）x 2；x 1（2）4x+1。

x+2

2、当x是什么数时，分式2x 5的值是零？根据分式的意义判断。

可类比分数有意义来解决该问题可类比分数值为0来解决

x+1

的值为正？可能为负吗？x 16

4、x取何整数值时，的值为整数？

x 1

3、x取何值时，分式练习

讨论探索

|x| 22

当x取什么数时，分式x 4（1）有意义（2）值为零？

1

例3、已知分式

x a

，当x=3时，分式值为0，当x=-3时，分式无意义，求a,b

2ax+b

的值。可类比分数来解。

讨论探索

（四）小结与作业分式的概念和分式有意义的条件。作业：练习1．下列各式分别回答哪些是整式？哪些是分式？

2yx2 9x+2n3

5，m，2a-3b,y 3,(x 1)(x 2),5

y+2

练习2分式y 3，当y

时，分式的值为0。练习3讨论探索

时，分式有意义；当y时，分式没有意义；当y

|x| 2

2

当x取什么数时，分式x 4（1）有意义（2）值为零？

各抒已见。看谁说得最全。

（五）板书设计

概念值为0：

有（无）意义

例

分式

(六)教学后记

17.1分式的基本性质（1）

教学目标掌握分式的基本性质，掌握分式约分方法，熟练进行约分，并了解最简

分式的意义。

1

教学重点分式约分方法

教学难点分子、分母是多项式的分式约分（一）复习与情境导入

分式的基本性质

分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示是：

AA×MAA÷M=,=

BB×MBB÷M

（其中M是不等于零的整式）。

与分数类似，根据分式的基本性质，可以对分式进行约分和通分.可类比分数的

基本性质来识记。(二)实践与探索

例4、下列等式的右边是怎样从左边得到的？

x2+xyx+y（1）=2

xxy+1y2+2y+1

（2）（y≠—1）.=2

y 1y 1

x2+xyx+y

特别提醒：对，由已知分式可以知道x≠0，因此可以用x去除=2

xx

以分式的分子、分母，因而并不特别需要强调x≠0这个条件，再如

y+1y2+2y+1

是在已知分式的分子、分母都乘以y+1得到的，是在条件=2

y 1y 1

y+1≠0下才能进行的，所以，这个条件必须附加强调。

例5：不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数。（1）

1212

x+x

2323

yy

；（2）

0.3a+0.5b

.仔细观察分母（分子）的变

0.2a b

化利用分式的基本性质来解题。深入理解。尝试解题。

例6：约分

16x2y3

（1）；4

20xyx2 4

（2）2

x 4x+4

x2 4(x+2)(x 2)x+2

解（2）2＝＝.2

x 4x+4(x 2)x 2

说明：在进行分式约分时，若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母

1

分解因式（即化成乘积的形式），然后才能进行约分。约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式.练习：约分：

2ax2y 2a(a+b)(a x)2x2 4

；；；；

3axy23b(a+b)(x a)3xy+2ym2 3m

9 m2

；

992 1

。98

先思考约分的方法，再解题，并总结如何约分：若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式），然后才能进行约分。约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式.（四）小结与作业请你分别用数学语言和文字表述分式的基本性质分式的约分运算，用到了哪些知识？

让学生发表，互相补充，归结为：（1）因式分解；（2）分式基本性质；（3）分式中符号变换规律；约分的结果是，一般要求分、分母不含“－”。作业：课本习题1、2

各抒已见。看谁说得最全。

（五）板书设计

分子分母是单项式例

约分

分子分母是多项式

(六)教学后记

17.1分式的基本性质（2）

教学目标1．进一步理解分式的基本性质以及分式的变号法则。2．使学生理解分式通分的意义，掌握分式通分的方法及步骤；教学重点让学生知道通分的依据和作用，学会分式通分的方法。

1

教学难点几个分式最简公分母的确定。教学过程教师活动（一）复习与情境导入1．分式

学生活动

x+3

中，当x2x 4

时分式有意义，当x时分式没有意义，当x时

分式的值为0。

2．分式的基本性质。(二)实践与探索

1、分式的的变号法则

例1不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“—”号：

（1）例2

5b

； 6a

（2）

x；3y

（3）

2m. n

不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：

（1）

x

；2

1 x

（2）

2 x

.2

x+3

注意：（1）根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用。

（2）当括号前添“+”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号。

例3若x、y的值均扩大为原来的2倍，则分式变为原来的一半呢？2、分式的通分（1）．把分数

2x

的值如何变化？若x、y的值均3y2

135

,,通分。246

16×1633×3952×510解==，==，==26×21243×41262×612

（2．）什么叫分数的通分？先独立思考再交流总结变号法则。注意转化为例1的类型。引导学生用多种方法解题。（1）赋值法（2）增值代入作商法

答：把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。

3．和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个分式的公分母。

1

4．讨论：（1）求分式

111

,,的（最简）公分母。32234

2xyz4xy6xy

分析：对于三个分式的分母中的系数2，4，6，取其最小公倍数12；对于三个分式的分母的字母，字母x为底的幂的因式，取其最高次幂x3，字母y为底的幂的因式，取其最高次幂y4，再取字母z。所以三个分式的公分母为12x3y4z。（2）求分式

11

与的最简公分母。22

4x 2xx 4

分析：先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，即

4x—2x2=—2x（x-2），x2—4=（x+2）（x—2），

把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取它们的积，即2x（x+2）（x-2）就是这两个分式的最简公分母。请同学概括求几个分式的最简公分母的步骤。5．练习：填空：

（1）

()；1

=

2x3y2z12x3y4z()。1=

6xy412x3y4z

（2）

()；1=

4x2y312x3y4z

（3）

求下列各组分式的最简公分母：（1）

215,,；222

3ab4ac6bc

（2）；

111

,,

3x(x 2)(x 2)(x+3)2(x+3)2

（3）

x11

,2,2

2x+2x+xx 1

11，；x yx+y

6、例3通分

（1）

11，；a2bab2

（2）

答：1．取各分式的分母中系数最小公倍数；2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；3．相同字母（或因式）的幂取指数最大的；

4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。

（3）

11

，.222

x yx+xy

1

分析：分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式。通分的关键是确定几个分式的公分母；要归纳出分式分式是多项式如何确定最简公分母，一般应先将各分母分解因式，然后按上述的方法确定分母。练习通分：（1）

1511，；（2），3x212xyx2+xx2 x

（3）

1x

,.

(2 x)2x2—4

合作

交流解法。板演并互批。（四）小结与作业

把几个异分母的分式，分别化成与原来分式相等的同分母的分式，叫做分

式的通分。分式通分，是让原来分式的分子、分母同乘以一个适当的整式，根据分式基本性质，通分前后分式的值没有改变。通分的关键是确定几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母要乘以什么样的“适当整式”，才能化成同一分母。确定公分母的方法，通常是取各分母所有因式的最高次幂的积做公分母，这样的公分母叫做最简公分母。（五）板书设计

例

约分

分子分母是多项式

分母是单项式通分分母是多项式(六)教学后记

17．2（1）分式的乘除法

教学目标1、通过实践总结分式的乘除法，并能较熟练地进行式的乘除法运算。2、理解分式乘方的原理，掌握乘方的规律，并能运用乘方规律进行分式的乘方运算3、引导学生通过分析、归纳，培养学生用类比的方法探索新知识的能力

1

教学重点分式的乘除法、乘方运算教学难点分式的乘除法、混合运算，分式乘法，除法、乘方运算中符号的确定。教学过程

（一）复习与情境导入

1、(1)什么叫做分式的约分？约分的根据是什么？

(2)：下列各式是否正确？为什么？

2、（1）回忆：

计算：×4

3

512÷163

（2）尝试探究：计算：

a2xay2

（1） 2；2

bybxa2xya2yz（2）22÷22.

bzbx

概括：分式的乘除法用式子表示即抢答

尝试探究用式子表示,用文字表达。培养学生的合情推理能力。(二)实践与探索1

例2计算

x 2x

x+3x

22

9 4

分析：①本题是几个分式在进行什么运算？

②每个分式的分子和分母都是什么代数式？

③在分式的分子、分母中的多项式是否可以分解因式，怎样分解？④怎样应用分式乘法法则得到积的分式？

解原式＝

x 2(x+3)(x 3)x 3

＝.x+3(x+2)(x 2)x+2

练习：①课本练习1。②

计

算

：

(三)实践与探索2

探索分式的乘方的法则

x2 1x2+2x

÷(x+1)×

x2+4x+41 x

(xy x2)÷

x y

xy

1

1、思考

我们都学过了有理数的乘方，那么分式的乘方该是怎样运算的呢？先做下面的乘法：

（1）

nnn(　　　　　　)＝（n）3； ＝

mmm　　　　　　mnnn(　　　　　　)＝（n）k. ＝m m m　　　　　　m

k个

（2）

2、仔细观察这两题的结果，你能发现什么规律？与同伴交流一下，然后完成下面的填空：

n(k)

）=___________（k是正整数）m

老师应格外强调符号问题自主探究，后合作交流学习探索分式的乘方的法则（四）小结与作业怎样进行分式的乘除法？怎样进行分式的乘方？作业：课本习题第1、5题。

各抒已见畅所欲言说分式的乘除法。分式的乘方（五）板书设计

17.2（2）分式的加减法

教学目标1、使学生掌握同分母、异分母分式的加减，能熟练地进行同分母，异分

母分式的加减运算。

2、通过同分母、异分母分式的加减运算，复习整式的加减运算、多项式去括号法

则以及分式通分，培养学生分式运算的能力。

1

3、教学重点让学生熟练地掌握同分母、异分母分式的加减法。

教学难点分式的分子是多项式的分式减法的符号法则，去括号法则应用。（一）实践与探索1

1、回忆：同分母的分数的加减法

2、类似地，同分母的分式的加减法法则如下：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。3．例1：计算：

2

（x+y）(x y)2

+（1）

xyxy

(x+y)2(x y)2

；（2）.

xyxy

（3）

xy

－

x2 y2y2 x2

＝

(x+y)2(x y)2

解（1）+

xyxy

＝

(x+y)2+(x y)2

xy

＝

22(x2+y2)2(x+y)（2）－(x y)

xyxyxy

x2+2xy+y2+x2 2xy+y2

xy

222222

＝(x+y) (x y)＝(x+2xy+y) (x 2xy+y)＝4xy＝4.

xyxyxy

提示：（3）可转化为同分母的分式的减法，但应注意符号问题。4、练习：课本练习1。

复习分数的加减法法则类比引出分式的加减法法则，学生尝试解题并自己总结注意事项。（1）符号问题

（2）结果应化为最简分式或整式。指名板演。

(二)实践与探索2二、异分母分式的加减法1．回忆：异分母分数的加减法

计算：

11325+=+=23666

2、与异分母分数的加减法类似，异分母分式相加减，需要先通分，变为同分母的分式，然后再加减.

1

通分时，最简公分母由下面的方法确定：

最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积；分母是多项式时一般需先因式分解。

3．例2计算：

13＋；23x4x

13

解（1）2＋

3x4x

（1）所以

324

. 2

x 4x 16

49x9x+4＝＝+

12x212x212x2

（2）

（2）因为最简公分母是______________，

324

＝_______＝_____________＝_________-. 2

x 4x 16

4．练习：课本练习2（1、2、3小题）5、例3：计算

a2

a ba b

a2a+ba2(a+b)(a b)

a+b)= =

a b1a ba ba2 (a2 b2)b2==

a ba b

4

+a 2a+2

解：原式=

6、练习：计算

a2

（1）a 1

a 1

（3） 1

（2）

1 1111

（4）++ 1

1 x x2 (a b)(a c)(b c)(b a)(c a)(c b)

复习分数的加减法法则类比引出异分母分式的加减法法则

(三)小结与作业

异分母分式的加减法步骤：

1.正确地找出各分式的最简公分母。求最简公分母概括为：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡出现的字母为底的幂的因式都要取；（3）相同字母的幂的因式取指数最大的。取这些因式的积就是最简公分母。

1

2.准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式。3.用公分母通分后，进行同分母分式的加减运算。4.公分母保持积的形式，将各分子展开。5.将得到的结果化成最简分式（整式）。作业：课本2、3、4。（四）板书设计

约分

例

同分母

异分母

（五）教学后记

通分

分式的混合运算（补充）

1、教学目标能类比分数的混合运算探究出分式的混合运算法则.2、会进行简单的分式四则混合运算。3、能灵活运用运算律简便运算。

4进一步培养学生严谨的治学态度，实事求是的精神。教学重点会进行简单的分式四则混合运算

1

教学难点能灵活运用运算律简便运算。。（一）复习并问题导入

1、回忆：我们已经学习了分式的哪些运算？2、分式的乘除运算主要是通过（）进行的，分式的加减法主要是通过（）

什么进行的。分数的混合运算法则是（，类似的，分式的混合运算法则是先算（），再算（），最后算（），有括号先算（）里的。（二）典型例题探究

例1：计算：

4x x+2

+2 ÷

x 2x 4x+4 x 2

分析：应先算括号里的。

4y24x2y

例2：x+2y+ 2

x 2yx 4y2

本题应采用逐步通分的方法依次进行。

例3：

11 x+y x y 引导学生分析运算顺序，并说解法。指名2xx+y 2x

板演。合作交流解法。代表板演。积极探求简便解法。

分析：本题可用分配律简便计算。

11 11 例4： ÷ a+b2a b2 a+ba b

分析：可先把被除式利用平方差公式分解因式后再约分。积极探求简便解法。

x2

（三）同步训练1、 x 1

x 1

3、

2 x 1

2、 1 ÷

x+1 x+1

xy

÷22y x y

2

12ab2bc1

+4、 + x yx+(a b)(a c)(a b)(c a)

(三)小结与作业

1

1、分数的混合运算法则是（，类似的，分式的混合运算法则是先算（再算（），最后算（），有括号先算（）里的。2、一些题应用运算律、公式简便运算。

），

11x2 2x+1

作业：1、先化简再求值 2 其中x=2 1

x+1x 1x+1

教学后记

17．3可化为一元一次方程的分式方程（1）

教学目标1、使学生理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.

2、使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法.

3、使学生领会“转化”的思想方法，认识到解分式方程的关键在于将它转化为整式方程来解.

1

4、培养学生自主探究的意识，提高学生观察能力和分析能力。

教学重点，理解分式方程的意义，会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.教学难点使学生理解增根的概念，了解增根产生的原因，知道解分式方程须验根并掌握验根的方法.（一）问题情境导入

问题：轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。

读题、审题、设元、列方程，激发探究热情。

（二）实践与探索1：分式方程的概念：[分析]：设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意，得

8060

=

x+3x 3

方程（1）有何特点？

[概括]方程（1）中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.

提问：你还能举出一个分式方程的例子吗？辨析：判断下列各式哪个是分式方程．

(1)；(2)；

(3)；

(4)；

(5)

根据定义可得：(1)、(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5)是分式方程．学生观察分析后，发表意见，达成共识。学生举出分式方程的例子，根据分式方程的概念进行判定，加深对分式方程概念的理解。（三）实践与探索2：分式方程的解法

1、思考：怎样解分式方程呢？

为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题：1）、回顾一下一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？2）有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？方程（1）可以解答如下：

方程两边同乘以（x+3）(x-3)，约去分母，得80（x-3）=60(x+3).解这个整式方程，得x=21.

所以轮船在静水中的速度为21千米/时2、概括

上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.

12=2

3、例1解方程：x 1x 1.

1

解：方程两边同乘以（x2-1）,约去分母，得x+1=2.

解这个整式方程，得x=1.事实上，当x=1时，原分式方程左边和右边的分母（x－1）

2

与（x－1）都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式方程的根，应当舍去.所以原分式方程无解.

4、在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验.

5．那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？6、验根的方法

解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零.有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为零.如果为零，即为增根.

如例1中的x=1，代入x2－1＝0，可知x=1是原分式方程的增根.7、有了上面的经验，我们再来完整地解二个分式方程.

1

例2

解方程：（1）

x 51

=

4 xx 4

x 216x+2

2=

（2）x+2x 4x 2

可先放手让学生自主探索，合作学习并进行总结。深入理解。学生尝试解题，并思考产生增根的原因。总结解分式方程的步骤，并真正理解增根。板演并小组批改。

(三)

小结与作业①、什么是分式方程？举例说明；②、解分式方程的一般步骤：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．解这个整式方程．.验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明此根是原方程的根；若结果是0，说明此根是原方程的增根，必须舍去．3、解分式方程为什么要进行验根？怎样进行验根？各抒已见畅所欲言说分式方程及其解法，特别要注意验根。（四）板书设计分式方程（1）

例：

乘

最简公分母

1

（五）教学后记

17．3可化为一元一次方程的分式方程（2）

教学目标①、进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程。

②、通过分式方程的应用教学，培养学生数学应用意识。

教学重点让学生学习审明题意设未知数，列分式方程教学难点在不同的实际问题中，设元列分式方程（一）复习并问题导入

1复习练习

3 x4+x

= 2x+1x+1解下列方程：（1）

237

+=

22x+6（2）x+3

2、列方程解应用题的一般步骤？

[概括]这些解题方法与步骤，对于学习分式方程应用题也适用。这节课，我们将学习列分式方程解应用题。讨论后回答。

（二）实践与探索1：列分式方程解应用题

[例1]某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？

[分析]（1）如何设元（2）题目中有几个相等关系？（3）怎样列方程

解设乙每分钟能输入x名学生的成绩，则甲每分能输入2x名学生的成绩，根据题意得

26402640

2×60

2x＝x.

解得x＝11.

经检验，x＝11是原方程的解.并且x＝11，2x＝2×11＝22，符合题意.答：甲每分钟能输入22名学生的成绩，乙每分钟能输入11名学生的成绩.

强调：既要检验所求的解是否是原分式方程的解，还要检验是否符合题意；时间要统一。读题、审题、设元、找相等关系列方程。本题有两个相等关系：（1）甲速=2乙速（2）甲时+120=乙时其中（1）用来设，（2）用来列方程注意如何检验。

1

2、概括

列分式方程解应用题的一般步骤：（1）审清题意；

（2）设未知数（要有单位）；

（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；（4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；（5）写出答案（要有单位）。

练习：求解本章导图中的问题.对照题目理解。（二）实践与探索2：例2A，B两地相距135千米，两辆汽车从A开往B，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5：2，求两车的速度。

解析：设大车的速度为2x千米/时，小车的速度为5x千米/时，根据题意得

1351351

=5 解之得x=92x5x2

经检验x=9是原方程的解当x=9时，2x=18，5x=45

答：大车的速度为18千米/时，小车的速度为45千米/时练习：

（1）甲乙两人同时从

为

，甲每小时比乙多走

）

则可列方程为（

地出发，骑自行车到

地，已知

两地的距离

，

，并且比乙先到40分钟．设乙每小时走

AB．

C．D．

（2）我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。

读题、审题、设元、找相等关系列方程板演。

（三）创新实践与探索3：自编一道可列方程为

1020=的应用题各抒己见畅所欲言说心里话。xx+5

(三)小结与作业

本课小结：列分式方程与列一元一次方程解应用题的差别是什么？你能总结一下列分式方程应用题的步骤吗？各抒己见畅所欲言

（四）板书设计

列分式方程解应用题的一般步骤：（1）审清题意；

（2）设未知数（要有单位）；例

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