全国2006年7月自考复变函数与积分变换答案

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全国2006年7月自考复变函数与积分变换答案

课程代码：02199

一、单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.arg(2-2i)=（ B ）

A. 3 4

B. 4

C.

D.

3 4 4

2.复数方程z=3t+it表示的曲线是（ A ） A.直线 B.圆周 C.椭圆

D.双曲线

3.设z=x+iy，则|e2i+2z|=（ D ） A.e2+2x B.e|2i+2z| C.e2+2z

D.e2x 4.下列集合为无界多连通区域的是（ C ） A.0<|z-3i|<1 B.Imz>π C.|z+ie|>4

D.3

2

argz 2 5.设f(z)=ex(xcosy+aysiny)+iex(ycosy+xsiny)在Z平面上解析，则a=（ A.-3 B.-1 C.1

D.3

6.若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在Z平面上解析，u(x,y)=x2-y2+x，则v(x,y)=（A.xy+x B.2x+2y C.2xy+y D.x+y

7.

z|

dz

（ A ）

2

(z i)2|A.0 B.1 C.2π D.2πi

8.

cosz

dz （ |z 1

| 2

z D ） A.0 B.1

B ） C ）

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C.2π

D.2πi

9.

2 2i

zdz （ D ）

A.i B.2i C.3i D.4i

10.设f(z)=2zz2

1

，则Res[f(z),1]=（ B ）

A.0 B.1 C.π D.2π

11.f(z) 1

(z 2)(z i)

在z 0处泰勒展开式的收敛半径是（ BA.0 B.1 C.2

D.3

z12.z=2i为函数f(z)

ez2

(z2

4)

2

的（ C ）

A.可去奇点 B.本性奇点 C.极点 D.解析点

13.f(z)

1z(z 1)2

在0<|z-1|<1内的罗朗展开式是（ D ）

A.

( 1)

n

zn

B.

1n 0(z 1)

2

z

n

n 0

C.

( 1)

n

(z 1)n

D.

( 1)

n

(z 1)n 2

n 0

n 0

14.线性变换

2z

1 z

（ A ） A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Imω>0 B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Imω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1

15.δ函数的傅氏变换F [ (t)]为（ C ） A.-2 B.-1 C.1

D.2

二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 16.若z

1 i i

，则z

17.若sinz=0，则z=k (k为任意整数).

）

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18.设f(z)

sin

d ,(|z| 3),L:| | 3，则f(z) . L z

19.幂级数

3

n 0

n

n

zn的收敛半径是20.映射

1z

是关于____的对称变换.

三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 21.解方程z4=-1.

2k

4

z4 1 z

e

i

k( 0,1,2,3)

i4

i,(k 0) e 22 34ie i,(k 1) 22 5

e4i i,(k 2) 22 7

4i

e i,(k 3) 22

22.已知调和函数u=(x-y)(x2+4xy+y2)，求f′(z)，并将它表示成z的函数形式.

解： u(x,y) (x y)(x2 4xy y2) ux 3x2 6xy 3y2,uy 3x2 6xy 3y2 f (z) ux ivx ux iuy

2 6xy 3y2 i(3x2 6xy 3y2)

3(x2 y2 2xyi) 3i(x2 y2 2xyi) 3z 3iz 3(1 i)z

2

2

2

23.设f(z)=my3+nx2y+i(x3-3xy2)为解析函数，试确定m、n的值.

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解： u(x,y) my2 nx2y,v(x,y) x3 3xy2

ux 2nxy,uy 2my nx2;vx 3x2 3y2,vy 6xy ux=vy 2n 6 n 3由f(z)解析

uy vx m 3/2

分IC

24.求积

32

）dz的值，其中C:|z|=4为正向. z 2z i

解： z=2,i都在积分曲线C内，

32

原式= Cz-2 Cz idz 2 i 3 2 i 2 10 i.

I25.求积分

ez 3z4

C

dz的值，其中C:|z|=1为正向.

2 iz i 解： z=0在积分曲线C内， 原式 e 3 .26.利用留数计算

3!3z 0

积分I

4

(z 1)(z 4)|z| 2

ez

dz.

ez

解： 被积函数f(z) 在|z| 2内的孤立奇点为：z=1(一级极点)；4

(z 1)(z 4)eze

而Res[f(z),1] lim(z 1)f(z) lim

z 1z 1(z 4)454eze2 e

I dz 2 i 4i44 (z 1)(z 4)55|z| 2

f(z)

1

在z 0展开为泰勒级数.

(z 1)(z 2)

27.将函数

11111

解：f(z) = ( 1)nzn

(z 1)(z 2)z 1z 2n 021 z

2

( 1)nzn

n 0

11 nn z n ( 1)=( 1)1 z n 1 2n 02 2 n 0

n

28.将函

数f(z)

1

在圆环域1<|z-1|<+∞内展开为罗朗级数.

z(z 1)

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1

解:1<|z-1|<+ <1

z-1

11111

f(z)

z(z 1)z-1zz-1z 1 11111 1nn ( 1)() z-1(z 1)(1 1)z-1z-1n 0z 1

z 1

1n ( 1)n 0(z 1)n 2

四、综合题（下列3个小题中，29题必做，30、31题中只选做一题。每小题10分，共20分）

ei2z

29.（1）求f(z) 在上半平面的所有孤立奇点；

4 z2

ei2z2

解：由f(z) ，令4 z 0 z 2i

2

4 z

为f(z)

ei2z4 z2

在上半平面的所有孤立奇点，且为一级奇点；

（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；

ei2ze 4

解：Res[f(z),2i] lim(z 2i)f(z) lim ;

z 2iz 2i

z 2i4i

（3）利用以上结果计算积分I

cos2x

x 4

2

dx.

ei2ze 4

解：Res[f(z),2i] lim(z 2i)f(z) lim ;

z 2iz 2i

z 2i4i

30.设D是Z平面上的带形区域：10<Imz<10+π，试求下列保角映射： （1）ω1=f1(z)把D映射成ω1平面上的带形区域D1：0<Imω1<π；

w1 z 10i w2 e

w1

（2）ω2=f2(ω1)把D1映射成ω2平面上的上半平面D2：Imω2>0；

（3）ω=f3(ω2)把D2映射成ω平面上的单位圆域D3：|ω|<1，且f3(i)=0；

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w2 iw2 iw e，可取w

w2 iw2 i

i

（4）综合以上三步，试用保角映射ω=f(z)把D映射成单位圆域D3.

ez 10i iw z 10i

e i

31.(1)求e-t的拉氏变换F[e-t]；

F[e] e edt e (1 p)tdt

t

t pt

e1

(1 p)0p 1

y′(0)=1，求F[y′(t)]、F[y″(t)]；

(1 p)t

(2)设F(p)=F[y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，F[y′(t)]、F[y″(t)]存在，且y(0)=0，

F[y (t)] pY(p)

F[y (t)] p2Y(p) 1

L[f (t)] pF(p) f(0)

(n)nn 1n 2(n 1)

L[f(t)] pF(p) pf(0) pf(0) f(0)

y 2y 3y 2e t

（3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：

y(0) 0,y (0) 1

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解：原方程两边取拉氏变换后，得

1

(pY(p) 1) 2pY(p) 3Y(p) 2

p 1

2

p 3p 3

解得 Y(p) 2

(p 1)(p 2p 3)(p 1)(p 1)(p 3)1 1/21/2

(p 1)(p 1)p 1p 1

1 t1t

取逆变换，便得 y(t) 2e 2e

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