微分几何第四版习题答案解析梅向明培训资料

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§1曲面的概念

1.求正螺面r r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，

为曲线的直母线；v-曲线为r r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直

母线。

证 u-曲线为r r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }

表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;

v-曲线为r r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }

表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r r =}sin ,sin cos ,sin cos {?????a a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ?r ρ=}cos ,sin sin ,cos sin {?????a a a -- ，?r ρ=}0,cos cos ,sin cos {????a a -

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精品文档任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------???

???

?????

???a a a a a a z a y a x 即 xcos ?cos ? + ycos ?sin ? + zsin ? - a = 0 ；

法线方程为 ?

?????????sin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。 4．求椭圆柱面22

221x y a b

+=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。

解椭圆柱面22

221x y a b

+=的参数方程为x = cos ?, y = asin ?, z = t , }0,cos ,sin {??θb a r -=ρ , }1,0,0{=t r ρ 。所以切平面方程为：

000cos sin sin cos =----??

b a t z b y a x ，即x bcos ? + y asin ? － a b = 0 此方程与t 无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面。

5．证明曲面},,{3

a v u r =ρ的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数。

证 },0,1{23v u a r u -=ρ，},1,0{23uv

a r v -=ρ。切平面方程为：33=++z a uv v y u x 。与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,uv

a 2

3)。于是，四面体的体积为：

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精品文档 332

9||3||3||361a uv a v u V ==是常数。

§２曲面的第一基本形式

1. 求双曲抛物面r r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的第一基本形式.

解 ,4},2,,{},2,,{2222v b a r E u b a r v b a r u v u ++==-==ρρρ

2222224,4u b a r G uv b a r r F v v u ++==+-=?=ρρρ,

∴ I = +++2222)4(du v b a 2222222)4()4(dv u b a dudv uv b a ++++-。

２．求正螺面r r ={ u v cos ,u v sin , bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互

相垂直。

解 },cos ,sin {},0,sin ,{cos b v u v u r v v r v u -==ρρ，12==u r E ρ，0=?=v u r r F ρρ，

222b u r G v +==ρ，∴ I =2222)(dv b u du ++，∵Ｆ＝０，∴坐标曲线互相垂直。３．在第一基本形式为I =222sinh udv du +的曲面上，求方程为u = v 的曲线的弧长。

解由条件=2ds 222sinh udv du +,沿曲线u = v 有du=dv ，将其代入2ds 得=2ds 222sinh udv du +=22cosh vdv ，ds = coshvdv , 在曲线u = v 上，从1v 到2v 的弧长为|sinh sinh ||cosh |122

1v v vdv v v -=?。 4．设曲面的第一基本形式为I = 2222)(dv a u du ++，求它上面两条曲线u + v = 0 ,u –v = 0的交角。

分析由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变

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精品文档量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。

解由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量1=E ，0=v F ，22a u G +=，曲线u + v = 0与u – v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为1=E ，0=v F ，2a G =。曲线u + v = 0的方向为du = -dv , u – v = 0的方向为δu=δv , 设两曲线的夹角为?，则有

cos ?=22222211a a v

G u E Gdv Edu u

Gdv u Edu +-=+++δδδδ 。 5．求曲面z = axy 上坐标曲线x = x 0 ,y =0y 的交角.

解曲面的向量表示为r r ={x,y,axy}, 坐标曲线x = x 0的向量表示为

r r ={

x 0,y,ax 0y } ，其切向量y r ρ={0，1，ax 0}；坐标曲线y =0y 的向量表示为r r ={x , 0y ,ax 0y }，其切向量x r ρ={1，0，a 0y }，设两曲线x = x 0与y =0y 的夹角为?，则

有cos ? = 20

220200211||||y a x a y x a r r r r y x y x ++=?ρρρρ 6. 求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.

解对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为δu:δv ,则有

Edu δu + F(du δv + dv δu)+ G d v δv = 0,将dv =0代入并消去du 得u-曲线的正交轨线的微分方程为E δu + F δv = 0 .

同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为F δu + G δv = 0 .

7. 在曲面上一点,含du ,dv 的二次方程P 2du + 2Q dudv + R 2dv ＝０，确定两个切方向（du ：dv ）和（δu ：δv ），证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ +