（全国版）2019版高考数学一轮复习全册增分练（打包58套 256页）

第1讲 集合的概念与运算

板块四 模拟演练·提能增分

[A级 基础达标]

1．[2017·全国卷Ⅱ]设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( )

A．{1，－3} C．{1,3} 答案 C

解析 ∵A∩B＝{1}，∴1∈B. ∴1－4＋m＝0，即m＝3.

∴B＝{x|x－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.

2．若集合M＝{x||x|≤1}，N＝{y|y＝x，|x|≤1}，则( ) A．M＝N C．N?M 答案 C

解析 M＝{x||x|≤1}＝[－1,1]，N＝{y|y＝x，|x|≤1}＝[0,1]，所以N?M.故选C. 3．[2017·山东高考]设函数y＝4－x的定义域为A，函数y＝ln (1－x)的定义域为

2

2

2

2

2

B．{1,0} D．{1,5}

B．M?N D．M∩N＝?

B，则A∩B＝( )

A．(1,2) C．(－2,1) 答案 D

解析 ∵4－x≥0，∴－2≤x≤2，∴A＝[－2,2]． ∵1－x＞0，∴x＜1，∴B＝(－∞，1)，∴A∩B＝[－2,1)． 故选D.

4．已知集合A＝{x|x≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是( ) A．(－∞，－2) C．[－2,2] 答案 D

解析 因为A∪B＝A，所以B?A，即m∈A，得m≥4，解得m≥2或m≤－2.故选D. 5．[2017·全国卷Ⅲ]已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为( )

A．3 C．1 答案 B

解析 集合A表示以原点O为圆心，半径为1的圆上的所有点的集合，集合B表示直线

B．2 D．0

2

22

2

2

B．(1,2] D．[－2,1)

B．[2，＋∞)

D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

y＝x上的所有点的集合．

由图形可知，直线与圆有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.故选B.

6．已知集合A＝{x|x－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

1

2

A．1 C．3 答案 D

B．2 D．4

解析 集合B＝{1,2,3,4}，有4个元素，集合A＝{1,2}，则集合C的个数问题可转化为{3,4}的子集个数问题，即2＝4.

7.[2018·陕西模拟]设全集U＝R，集合A＝{x∈Z|中阴影部分表示的集合为( )

2

x3－x≥0}，B＝{x∈Z|x≤9}，则图

2

A．{1,2} C．{x|0≤x<3} 答案 B

解析 题图中阴影部分表示的是A∩B，因为A＝{x∈Z|

??xx－?

?x－3≠0?

B．{0,1,2} D．{x|0≤x≤3}

xx－3

≤0}＝{x∈Z|

，

}＝{x∈Z|0≤x<3}＝{0,1,2}，B＝{x∈Z|－3≤x≤3}＝{－3，－2，－1，

0,1,2,3}，所以A∩B＝{0,1,2}．故选B.

8．设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x

解析 因为A∩B≠?，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.

???x－m9．[2018·郑州模拟]已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝?x∈R?

?x－2??

??

<0?，且??

A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.

答案 －1 1

解析 A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5

则B＝{x|m

2

10．设m，n∈R，集合{1，m，m＋n}＝?0，n，?，则m－n＝________.

?

?

n?m?

答案 －2

解析 ∵{1，m，m＋n}＝?0，n，?且m≠0，

??

n?m?

∴m＋n＝0, 即m＝－n，于是＝－1.

∴由两集合相等，得m＝－1，n＝1，∴m－n＝－2.

[B级 知能提升]

nm?1?x1．已知集合A＝{y|y＝??，x∈R}，B＝{－2，－1,1,2}，则下列结论正确的是( )

?2?

A．A∩B＝{－2，－1} C．A∪B＝(0，＋∞) 答案 D

解析 因为A＝(0，＋∞)，所以A∩B＝{1,2}，(?RA)∪B＝{y|y≤0或y＝1,2}，A∪B＝{y|y>0或y＝－1，－2}，(?RA)∩B＝{－1，－2}．所以D正确．

2．[2018·湖南模拟]设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为( )

A．(－∞，2) C．(2，＋∞) 答案 B

??a≥1，

解析 集合A讨论后利用数轴可知?

?a－1≤1?

B．(?RA)∪B＝(－∞，0) D．(?RA)∩B＝{－2，－1}

B．(－∞，2] D．[2，＋∞)

??a≤1，

或?

?a－1≤a.?

解得1≤a≤2或a≤1，即a≤2.故选B.

3．已知数集A＝{a1，a2，…，an}(1≤a1

ajj(1≤i≤j≤n)，aiaj与两数中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”，则( )

aiA．{1,3,4}为“权集” C．“权集”中元素可以有0 答案 B

4

解析 由于3×4与均不属于数集{1,3,4}，故A不正确；由于1×2,1×3,1×6,2×3，

3661236aj，，，，，都属于数集{1,2,3,6}，故B正确；由“权集”的定义可知需有意义，231236ai故不能有0，同时不一定有1，故C，D错误．

4．已知集合A＝{x∈R|x－ax＋b＝0}，B＝{x∈R|x＋cx＋15＝0}，A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}．

(1)求实数a，b，c的值；

(2)设集合P＝{x∈R|ax＋bx＋c≤7}，求集合P∩Z.

解 (1)因为A∩B＝{3}，所以3∈B，所以3＋3c＋15＝0，c＝－8，所以B＝{x∈R|x

2

2

22

2

B．{1,2,3,6}为“权集” D．“权集”中一定有元素1

3

－8x＋15＝0}＝{3,5}．

又因为A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}，所以A＝{3}，所以方程x－ax＋b＝0有两个相等的实数根都是3，所以a＝6，b＝9，所以a＝6，b＝9，c＝－8.

(2)不等式ax＋bx＋c≤7即6x＋9x－8≤7， 所以2x＋3x－5≤0， 5

所以－≤x≤1，

25

所以P＝{x|－≤x≤1}，

2

5

所以P∩Z＝{x|－≤x≤1}∩Z＝{－2，－1,0,1}．

2

5．[2018·南宁段考]已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|x－3x≤10}． (1)若a＝3，求(?RP)∩Q；

(2)若P∪Q＝Q，求实数a的取值范围． 解 (1)因为a＝3，所以P＝{x|4≤x≤7}， ?RP＝{x|x<4或x>7}．

又Q＝{x|x－3x－10≤0}＝{x|－2≤x≤5}，所以(?RP)∩Q＝{x|x<4或x>7}∩{x|－2≤x≤5}＝{x|－2≤x＜4}．

(2)当P≠?时，由P∪Q＝Q得P?Q，

2

2

2

2

2

2

a＋1≥－2，??

所以?2a＋1≤5，

??2a＋1≥a＋1，

解得0≤a≤2；

当P＝?，即2a＋1

第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件

板块四 模拟演练·提能增分

[A级 基础达标]

1．[2018·江西模拟]若集合A＝{2,4}，B＝{1，m}，则“A∩B＝{4}”是“m＝2”的( )

A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 B

解析 当m＝2时，有A∩B＝{4}；若A∩B＝{4}，则m＝4，解得m＝±2，不能推出m＝2.故选B.

2．下列命题是真命题的为( ) 11

A．若＝，则x＝y

2

2

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

xyB．若x＝1，则x＝1 D．若x

2

2

2

C．若x＝y，则x＝y 答案 A

4

解析 取x＝y＝－1，排除B，C；取x＝－2，y＝－1，排除D.故选A. 3．[2018·天津模拟]设x∈R，则“|x－2|<1”是“x＋x－2>0”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A

解析 |x－2|<1?－10?x<－2或x>1.由于－2)∪(1，＋∞)，所以“|x－2|<1”是“x＋x－2>0”的充分而不必要条件．

4．下列结论错误的是( )

A．命题“若x－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x－3x－4≠0” B．“x＝4”是“x－3x－4＝0”的充分条件

C．命题“若m>0，则方程x＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题

D．命题“若m＋n＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m＋n≠0，则m≠0或n≠0” 答案 C

解析 C项命题的逆命题为“若方程x＋x－m＝0有实根，则m>0”．若方程有实根，1

则Δ＝1＋4m≥0，即m≥－，不能推出m>0，所以不是真命题．

4

5．[2018·长春模拟]设a，b∈R，则“(a－b)a<0”是“a

解析 若“(a－b)a<0”，则“a

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

－∞，

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

a＝0时不成立，是假命题．故选A.

6．[2018·安徽模拟]设条件p：a＋a≠0，条件q：a≠0，那么p是q的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A

解析 条件p：a＋a≠0，即a≠0且a≠－1.故条件p：a＋a≠0是条件q：a≠0的充分不必要条件．也可利用逆否命题的等价性解决．

11

7．设a，b∈R，若p：a

2

2

2

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

baA．充分不必要条件 C．充要条件 答案 B

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

11

解析 若p：－1<1，则p?/q；若q：<<0，则a

ba分条件．故选B.

8．若“x－2x－8>0”是“x

解析 不等式解集为(－∞，－2)∪(4，＋∞)，题目等价于(－∞，m)是(－∞，－2)∪(4，＋∞)的真子集，故有m≤－2，即m的最大值为－2.

5

2

9．[2018·贵阳模拟]下列不等式： ①x<1；②0

其中可以作为“x<1”的一个充分条件的所有序号为________． 答案 ②③④

解析 由于x<1即－1

10．已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是

32

2

2

?14?答案 ?－，? ?23?

解析 由|x－m|<1得m－1

1m－1≤，??311

又因为|x－m|<1的充分不必要条件是

m＋1≥，??214

≤m≤. 23

[B级 知能提升]

1．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( ) A．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数 B．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数 C．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数 D．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数 答案 D

解析 “都是”的否定是“不都是”，选D项．

解得－

ab2．[2018·株洲模拟]设a，b∈R，那么“e>e”是“a>b>0”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 B

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

aab

ba

解析 由e>e，得>1，解得a>b>0或ae”是“a>b>0”的必要不充

b分条件．

3．[2018·湖北模拟]设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A?C，B??UC”是“A∩B＝?”的( )

A．充分而不必要条件 C．充要条件 答案 C

解析 因为B??UC，所以B∩C＝?.又因为A?C，所以A∩B＝?. 反之，若A∩B＝?，则存在集合C使得A?C，B??UC.

6

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

3

4．[2017·天津大港模拟]已知集合A＝{y y＝x－x＋1，x∈

|

2

?3，2?????

?，B2

?4?

??

{x|x＋m2

≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．

解 y＝x2

－3?3?2x＋1＝?27?x－4??＋16，

因为x∈??3?4，2??7?

，所以16≤y≤2，

A??所以＝??y??7

≤y≤2

?

???

?16

?. ?

由x＋m2

≥1，得x≥1－m2

，所以B＝{x|x≥1－m2

}． 因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A?B， 所以1－m2

≤73316，解得m≥4或m≤－4

，

故实数m的取值范围是???－∞，－3???34?∪??4，＋∞???

.

5．[2018·保定模拟]已知p：x2

≤5x－4，q：x2

－(a＋2)x＋2a≤0. (1)若p是真命题，求对应x的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围． 解 (1)因为x2

≤5x－4， 所以x2

－5x＋4≤0，

即(x－1)(x－4)≤0，所以1≤x≤4， 即对应x的取值范围为[1,4]．

(2)设p对应的集合为A＝{x|1≤x≤4}． 由x2

－(a＋2)x＋2a≤0， 得(x－2)(x－a)≤0.

当a＝2时，不等式的解为x＝2，对应的解集为B＝{2}；

当a>2时，不等式的解为2≤x≤a，对应的解集为B＝{x|2≤x≤a}； 当a<2时，不等式的解为a≤x≤2，对应的解集为B＝{x|a≤x≤2}． 若p是q的必要不充分条件，则BA， 当a＝2时，满足条件；

当a>2时，因为A＝{x|1≤x≤4}，

B＝{x|2≤x≤a}，

要使BA，则满足2

当a<2时，因为A＝{x|1≤x≤4}，B＝{x|a≤x≤2}，要使BA，则满足1≤a<2. 综上，a的取值范围为[1,4]．

第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

板块四 模拟演练·提能增分

[A级 基础达标]

1．[2018·沈阳模拟]命题“?x3

0∈?RQ，x0∈Q”的否定是( )

7

＝

A．?x0??RQ，x0∈Q C．?x??RQ，x∈Q 答案 D

3

3

3

B．?x0∈?RQ，x0∈Q D．?x∈?RQ，x?Q

3

3

解析 该特称命题的否定为“?x∈?RQ，x?Q”．

2．[2017·湖北武汉调研]命题“y＝f(x)(x∈M)是奇函数”的否定是( ) A．?x∈M，f(－x)＝－f(x) B．?x∈M，f(－x)≠－f(x) C．?x∈M，f(－x)＝－f(x) D．?x∈M，f(－x)≠－f(x) 答案 D

解析 命题“y＝f(x)(x∈M)是奇函数”的否定是?x∈M，f(－x)≠－f(x)，故选D. 3．[2018·安徽六校素质测试]设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( ) A．?x∈Q，有x∈P C．?x0?Q，使得x0∈P 答案 B

解析 因为P∩Q＝P，所以P?Q，所以?x?Q，有x?P，故选B. 4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A．锐角三角形有一个内角是钝角 B．至少有一个实数x，使x≤0 C．两个无理数的和必是无理数 1

D．存在一个负数x，>2

2

B．?x?Q，有x?P D．?x0∈P，使得x0?Q

x答案 B

解析 当x＝0时，x＝0，满足x≤0，所以B既是特称命题又是真命题．

5．[2018·湖南模拟]已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x>y.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是( )

A．①③ C．②③ 答案 C

解析 当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题． 当x>y时，x>y不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．

由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题．故选C.

6．[2018·浙江模拟]命题“?n∈N，f(n)∈N且f(n)≤n”的否定形式是( ) A．?n∈N，f(n)?N且f(n)>n B．?n∈N，f(n)?N或f(n)>n C．?n0∈N，f(n0)?N且f(n0)>n0 D．?n0∈N，f(n0)?N或f(n0)>n0 答案 D

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

2

2

2

2

2

2

B．①④ D．②④

8

解析 全称命题的否定是特称命题．选D项． 7．下列说法正确的是( )

A．命题“若x＝1，则x＝1”的否命题为“若x＝1，则x≠1” B．若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件 C．命题“?x0∈R，x0＋x0＋1<0”的否定是“?x∈R，x＋x＋1>0” D．若“p且q”为假命题，则p，q全是假命题 答案 B

解析 命题“若x＝1，则x＝1”的否命题为“若x≠1，则x≠1”，所以A错误；ab≠0等价于a≠0且b≠0，所以“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件，B正确；命题“?x0∈R，x0＋x0＋1<0”的否定为“?x∈R，x＋x＋1≥0”，C错误；若“p且q”为假命题，则

2

2

2

2

2

2

2

2

p，q至少有一个为假命题，D错误．综上所述，故选B.

8．已知p：1

>0，则綈p对应的x的集合为________．

x－x－2

2

答案 {x|－1≤x≤2} 解析 ∵p：

1

>0?x>2或x<－1，∴綈p：－1≤x≤2.

x－x－2

2

2

9．[2018·河南模拟]若命题“?x0∈R，使得x0＋ax0＋a＋3<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．

答案 －2≤a≤6

解析 由命题“?x0∈R，使得x0＋ax0＋a＋3<0”为假命题，得命题“?x∈R，都有x＋ax＋a＋3≥0”为真命题，则Δ＝a－4(a＋3)≤0，解得－2≤a≤6.

10．对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测： 甲：中国非第一名，也非第二名； 乙：中国非第一名，而是第三名； 丙：中国非第三名，而是第一名．

竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．

答案 一

解析 由题可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．

[B级 知能提升]

1．[2018·青岛模拟]下列命题中，是真命题的是( ) A．?x0∈R，e≤0 B．?x∈R,2>x

C．已知a，b为实数，则a＋b＝0的充要条件是＝－1 D．已知a，b为实数，则a>1，b>1是ab>1的充分条件 答案 D

解析 对于A，对任意x∈R，e>0，所以A为假命题；对于B，当x＝2时，有2＝x，

xx2

22

2

xx2

ab 9

所以B为假命题；对于C，＝－1的充要条件为a＋b＝0且b≠0，所以C为假命题；对于D，1

当a>1，b>1时，显然有ab>1，充分性成立，当a＝4，b＝时，满足ab>1，但此时a>1，b<1，

2必要性不成立，所以“a>1，b>1”是“ab>1”的充分不必要条件，所以D为真命题．故选D.

41

2．已知命题p：?x>0，x＋≥4；命题q：?x0∈(0，＋∞)，2x0＝，则下列判断正确x2的是( )

A．p是假命题 C．p∧(綈q)是真命题 答案 C

4

解析 p：∵x>0，∴x＋≥2B．q是真命题 D．(綈p)∧q是真命题

abxx·＝4，∴p为真命题． x4

q：当x>0时，2x>1，∴q为假命题．

∴p∧(綈q)是真命题．故选C.

3．已知命题p：方程x－mx＋1＝0有实数解，命题q：x－2x＋m>0对任意x恒成立．若命题q∨(p∧q)真、綈p真，则实数m的取值范围是________．

答案 (1,2)

解析 由于綈p真，所以p假，则p∧q假，又q∨(p∧q)真，故q真，即命题p假、q真．当命题p假时，即方程x－mx＋1＝0无实数解，此时m－4<0，解得－21.所以所求的m的取值范围是1

4．[2018·桂林模拟]给定两个命题：p：对任意实数x，都有ax＋ax＋1>0恒成立，q：函数y＝3－a在x∈[0,2]上有零点，如果(綈p)∧q为假命题，綈q为假命题，求a的取值范围．

解 若p0≤a<4.

若q为真命题时，方程3－a＝0在x∈[0,2]上有根． ∵当x∈[0,2]时，有1≤3≤9，∴1≤a≤9， 即当q为真命题时，1≤a≤9.

∵(綈p)∧q为假命题，∴綈p，q中至少有一个为假命题． 又∵綈q为假命题，∴q为真命题． ∴綈p为假命题，p为真命题．

??0≤a<4，∴当p，q都为真时，?

??1≤a≤9，

xxx2

2

2

2

2

??a>0，

为真命题，则有?2

?Δ＝a－4a<0?

或a＝0，即0≤a<4，故当p为真命题时，

即1≤a<4.

故所求a的取值范围是[1,4)．

5．已知m∈R，命题p：对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m－3m 恒成立；命题q：存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立．

2

10

(1)若p为真命题，求m的取值范围；

(2)当a＝1，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．

解 (1)∵对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m－3m恒成立，∴(2x－2)min≥m－3m.即

2

2

m2－3m≤－2.解得1≤m≤2.

因此，若p为真命题时，m的取值范围是[1,2]． (2)∵a＝1，且存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立， ∴m≤x，命题q为真时，m≤1. ∵p且q为假，p或q为真，

∴p，q中一个是真命题，一个是假命题．

??1≤m≤2，

当p真q假时，则?

?m>1，?

当p假q真时，?

?m<1或m>2，???m≤1，

解得1

即m<1.

综上所述，m的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．

第1讲 函数及其表示

板块四 模拟演练·提能增分

[A级 基础达标]

?1－x，x≥0，

1．[2018·陕西模拟]设f(x)＝?x?2，x<0，

则f[f(－2)]＝( ) A．－1 1C. 2答案 C

1B. 43D. 2

1?1?－2

解析 ∵f(－2)＝2＝，∴f[f(－2)]＝f??＝1－

4?4?1

A．f：x→y＝x

22

C．f：x→y＝x

3答案 C

11

＝.选C. 42

2．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是( )

1

B．f：x→y＝x

3D．f：x→y＝x

解析 依据函数概念，集合A中任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，选项C不符合．

－x－x＋23．[2018·广东深圳]函数y＝的定义域为( )

ln xA．(－2,1) C．(0,1)

2B．[－2,1] D．(0,1]

11

答案 C

??－x－x＋2≥0，

解析 由题意得?

??x>0且ln x≠0，

2

?2x＋1，x≥0，?

4．已知函数f(x)＝?2

??3x，x<0，

解得0

且f(x0)＝3，则实数x0的值为( )

B．1 1

D．－1或－

3

A．－1 C．－1或1 答案 C

解析 由条件可知，当x0≥0时，f(x0)＝2x0＋1＝3，所以x0＝1；当x0<0时，f(x0)＝3x0＝3，所以x0＝－1，所以实数x0的值为－1或1.

5．[2018·安徽黄山质检]已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝x＋2，则f(x)＝( ) A．x＋1 C．－x＋1 答案 A

解析 设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则由f[f(x)]＝x＋2，可得k(kx＋b)＋b＝x＋2，即kx＋kb＋b＝x＋2，∴k＝1，kb＋b＝2.解得k＝－1时，b无解，k＝1时，b＝1，所以f(x)＝x＋1.故选A.

6．[2018·衡水中学调研]已知函数f(x)对任意实数x满足f(2x－1)＝2x，若f(m)＝2，则m＝( )

A．1 ．1或－3 答案 C

111122

解析 令2x－1＝t可得x＝(t＋1)，故f(t)＝2××(t＋1)＝(t＋1)，故f(m)＝

2422(m＋1)＝2，故m＝1或m＝－3.

?2－2，x≤1，?

7．[2015·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝?

?，x>1，?－log2x＋

x－1

2

2

2

2

2

B．2x－1 D．x＋1或－x－1

B．0 D．3或－1

且f(a)＝－3，则f(6－a)＝( ) 7

A．－ 43C．－ 4答案 A 解析 由于2

x－1

5B．－ 41D．－ 4

－2>－2，故由f(a)＝－3可得－log2(a＋1)＝－3，所以a＝7，从而74

f(6－a)＝f(－1)＝－.

8．已知函数f(x)对任意的x∈R，f(x＋1001)＝

2

，已知f(15)＝1，则f(2017)

fx＋1

12

＝________.

答案 1

解析 根据题意，f(2017)＝f(1016＋1001)＝

2

2

f＝

2

＋1

，f(1016)＝f(15＋1001)＝

2

2

f＋1

，而f(15)＝1，所以f(1016)

＝1，则f(2017)＝1＋1f1??答案 ?－1，－?

2??

2

＝＝1. ＋11＋1

9．已知函数f(x)＝ln (－x－x)，则函数f(2x＋1)的定义域为________．

解析 由题意知，－x－x>0，∴－1

∴－1<2x＋1<0，则－1

2

1??x＋1，x≤0，

10．[2018·榆林模拟]已知f(x)＝?2

??－x－2，x>0，取值范围是________．

答案 [－4,2]

2

使f(x)≥－1成立的x的

x≤0，??

解析 由题意知?1

x＋1≥－1??2

??x>0，

或?

?－x－?

2

≥－1，

解得－4≤x≤0或0

[B级 知能提升]

?1?1

1．[2018·湖北武汉调研]已知函数f(x)满足f??＋f(－x)＝2x(x≠0)，则f(－2)＝

?x?x( )

7A．－ 27C. 2答案 C

9B. 29D．－ 2

?1?1

解析 令x＝2，可得f??＋f(－2)＝4，①

?2?2

1?1?令x＝－，可得f(－2)－2f??＝－1，② 2?2?7

联立①②解得f(－2)＝.故选C.

22．若函数y＝ax＋1

的定义域为R，则实数a的取值范围是( )

ax2－4ax＋2

13

?1?A.?0，? ?2??1?C.?0，? ?2?

答案 D

2

?1?B.?0，? ?2??1?D.?0，? ?2?

解析 要使函数的定义域为R，则ax－4ax＋2>0恒成立． ①当a＝0时，不等式为2>0，恒成立； ②当a≠0时，要使不等式恒成立，则

??a>0，?

?Δ＝－4a?

2

－4·a·2<0，

??a>0，

即??aa－?

，

1

解得0

2

1

由①②得0≤a<.故选D.

21，x>0，??

3．定义函数f(x)＝?0，x＝0，

??－1，x<0，答案 {x|x<－3或x>1}

解析 ①当x>0时，f(x)＝1，不等式的解集为{x|x>1}；②当x＝0时，f(x)＝0，不等式无解；③当x<0时，f(x)＝－1，不等式的解集为{x|x<－3}．所以不等式(x＋1)f(x)>2的解集为{x|x<－3或x>1}．

??x＋2x，x<0，

4．[2018·广东三校联考]设函数f(x)＝?2

?－x，x≥0，?

2

则不等式(x＋1)f(x)>2的解集是________．

若f[f(a)]≤3，求实数a的取值范围． 解 令f(a)＝t，则f(t)≤3??

?t≥0，?

2

?t<0，?

2

??t＋2t≤3

或?

??－t≤3，

??a<0，

?2??a＋2a≥－3

解得t≥－3，则f(a)≥－3?

??a≥0，或?2

??－a≥－3，

解得a≤3，则实数a的取值范围是(－∞，3]． 5．[2017·北京海淀期末]已知函数f(x)＝x·|x|－2x. (1)求函数f(x)＝0时x的值；

(2)画出y＝f(x)的图象，并结合图象写出f(x)＝m有三个不同实根时，实数m的取值范围．

14

解 (1)由f(x)＝0可解得x＝0，x＝±2，所以函数f(x)＝0时x的值为－2,0,2.

??x－2x，x≥0，

(2)f(x)＝x|x|－2x，即f(x)＝?2

?－x－2x，x<0.?

2

图象如下：

由图象可得实数m∈(－1,1)．

第2讲 函数的单调性与最值

板块四 模拟演练·提能增分

[A级 基础达标]

1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝ln (x＋2)

B．y＝－x＋1 1

D．y＝x＋

?1?xC．y＝??

?2?

答案 A

x解析 函数y＝ln (x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数． 2．[2018·山西模拟]若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(x)在(－∞，2)上是增函数，则( )

A．f(－1)

B．f(0)>f(3)

15

C．f(－1)＝f(3) 答案 A

D．f(0)＝f(3)

解析 依题意得f(3)＝f(1)，且－1<1<2，于是由函数f(x)在(－∞，2)上是增函数，得f(－1)

3．如果二次函数f(x)＝3x＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，则( ) A．a＝－2 C．a≤－2 答案 C

解析 二次函数的对称轴方程为x＝－

B．a＝2 D．a≥2

2

a－1

3

，由题意知－a－1

3

≥1，即a≤－2.

4．[2018·信阳模拟]已知函数f(x)是R上的增函数，对实数a，b，若a＋b>0，则有( ) A．f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b) B．f(a)＋f(b)f(－a)－f(－b) D．f(a)－f(b)

解析 ∵a＋b>0，∴a>－b，b>－a. ∴f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)．∴选A.

5．若函数y＝f(x)在R上单调递增，且f(m＋1)>f(－m＋1)，则实数m的取值范围是( )

A．(－∞，－1) C．(－1,0) 答案 D

解析 由题意得m＋1>－m＋1，故m＋m>0，故m<－1或m>0. 6．[2018·海南模拟]函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是( ) A．[1,2] C．[0,2] 答案 A

B．[－1,0] D．[2，＋∞)

2

2

2

B．(0，＋∞)

D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)

解析 f(x)＝|x－2|x

??x－2x，x≥2，＝?2

?－x＋2x，x<2.?

2

结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．

16

?1?x2－3x＋1的单调递增区间为( )

7．[2018·深圳模拟]函数y＝??2

?3?

A．(1，＋∞)

3??B.?－∞，? 4??

?1?C.?，＋∞?

?2?

答案 B

?3?D.?，＋∞?

?4?

3?213?21?3???x－x－－∞，解析 令u＝2x－3x＋1＝2??－.因为u＝2?4?－8在??上单调递减，

4??4?8???

2

3??1?u?1?2?函数y＝??在R上单调递减．所以y＝??2x－3x＋1在?－∞，?上单调递增，即该函数的

4??3??3??3??单调递增区间为?－∞，?.

4??

8．[2018·苏州模拟]若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a＝________.

答案 －6

解析 由

a－2x－a，x<－，??2

f(x)＝?a2x＋a，x≥－，??2

可得函数f(x)的单调递增区间为

?－a，＋∞?，故3＝－a，解得a＝－6.

?2?2??

9．函数f(x)＝答案 6

解析 易知f(x)在[a，b]上为减函数，

11

在区间[a，b]上的最大值是1，最小值是，则a＋b＝________. x－13

fa＝1，??

∴?1

fb＝，?3?

1

??a－1＝1，即?11

＝??b－13，

－y??a＝2，

∴?

?b＝4，?

∴a＋b＝6.

10．[2018·湖南模拟]函数y＝x－x(x≥0)的最大值为________． 1

答案 4

11?1?212

解析 令t＝x，则t≥0，所以y＝t－t＝－?t－?＋，所以，当t＝，即x＝时，24?2?4

ymax＝. [B级 知能提升]

1．[2018·安徽合肥模拟]若2＋5≤2＋5，则有( ) A．x＋y≥0 C．x－y≤0

xy－x1

4

B．x＋y≤0 D．x－y≥0

17

答案 B

解析 设函数f(x)＝2－5，易知f(x)为增函数，又f(－y)＝2－5，由已知得

x－x－yyf(x)≤f(－y)，

∴x≤－y，∴x＋y≤0.

2．[2018·郑州质检]函数f(x)＝x＋x－6的单调增区间是( ) A．(－∞，－3) C．[0,2) 答案 B

解析 ∵x＋x－6≥0，∴x≥2或x≤－3，又∵y＝x＋x－6是由y＝t，t∈[0，＋∞)和t＝x＋x－6，x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)两个函数复合而成，而函数t＝x＋x－6在[2，＋∞)上是增函数，y＝t在[0，＋∞)上是增函数，又因为y＝x＋x－6的定义域为(－∞，－3]∪[2，＋∞)，所以y＝x＋x－6的单调增区间是[2，＋∞)．故选B.

3．已知函数f(x)＝x－2ax＋a在区间(0，＋∞)上有最小值，则函数g(x)＝区间(0，＋∞)上一定( )

A．有最小值 C．是减函数 答案 A

解析 ∵f(x)＝x－2ax＋a在(0，＋∞)上有最小值，∴a>0. ∴g(x)＝＝3.

∴g(x)在(0，＋∞)上一定有最小值． 1

4．[2018·四川模拟]已知函数f(x)＝a－. |x|(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围． 1

解 (1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

B．[2，＋∞) D．[－3,2]

fx在xB．有最大值 D．是增函数

fxa＝x＋－2a在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，h(x)>h(1)xxx设00，x2－x1>0，

f(x2)－f(x1)＝?a－?－?a－?＝－ ?x2??x1?x1x2

＝

?

1??1?11

x2－x1

>0， x1x2

∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

1

(2)由题意，a－<2x在(1，＋∞)上恒成立，

x1

设h(x)＝2x＋，则a

x任取x1，x2∈(1，＋∞)且x1

18

h(x1)－h(x2)＝(x1－x2)?2－?.

?x1x2?

∵11， ∴2－1

?

1?

x1x2

>0，∴h(x1)

∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增，h(x)>h(1)＝3，

a≤h(x)在(1，＋∞)上恒成立，

故a≤h(1)，即a≤3，∴a的取值范围是(－∞，3]．

5．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f??＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，

x?x1??2?

f(x)<0.

(1)求f(1)的值；

(2)证明：f(x)为单调递减函数；

(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值． 解 (1)令x1＝x2>0，

代入得f(1)＝f(x1)－f(x2)＝0，故f(1)＝0. (2)证明：任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2， 则>1，由于当x>1时，f(x)<0， 所以f??<0，即f(x1)－f(x2)<0，

x因此f(x1)

所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数． ∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．

x1x2

?x1??2?

?x1??9?由f??＝f(x1)－f(x2)，得f??＝f(9)－f(3)， x3

?2?

??

而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2. ∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.

第3讲 函数的奇偶性与周期性

板块四 模拟演练·提能增分

[A级 基础达标]

1．[2018·合肥质检]下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )

A．y＝x C．y＝－x＋1 答案 B

解析 因为y＝x是奇函数，y＝|x|＋1，y＝－x＋1，y＝2误；又因为y＝－x＋1，y＝2

2

－|x|

3

2

－|x|

23

B．y＝|x|＋1 D．y＝2

－|x|

均为偶函数，所以A错

?1?|x|

＝??在(0，＋∞)上均为减函数，只有y＝|x|＋1在(0，?2?

19

＋∞)上为增函数，所以C，D两项错误，只有B正确．

2．[2018·南宁模拟]设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )

A．f(x)g(x)是偶函数 C．|f(x)|g(x)是奇函数 答案 B

解析 f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，故f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，|f(x)|g(x)为偶函数，|f(x)g(x)|为偶函数．故选B.

3．[2017·齐鲁名校模拟]已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2＋m，则f(－2)＝( )

A．－3 5C. 4答案 A

解析 因为f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝2＋m＝0，解得m＝－1，则f(－2)＝－f(2)＝－(2－1)＝－3.

2

0

B．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数

x5B．－ 4D．3

?5?4．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足不等式f(2x－1)>f??成立的?3?

x的取值范围是( )

?14?A.?－，? ?33??14?C.?，? ?33?

答案 B

?14?B.?－，? ?33??14?D.?，? ?33?

解析 因为偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在区间(－∞，0]上单5514?5?调递增，若f(2x－1)>f??，则－<2x－1<，解得－

5．已知f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于( ) A．－x(1－x) C．－x(1＋x) 答案 B

解析 当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝

B．x(1－x) D．x(1＋x)

x(1－x)．

6．[2018·贵阳模拟]已知函数f(x)＝x＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为( )

A．3 C．－1 答案 B

解析 设F(x)＝f(x)－1＝x＋sinx，显然F(x)为奇函数，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以

20

3

3

B．0 D．－2

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