汽车保险模型

汽车保险模型

数学建模协会编号（若无协会编号，此项不填）：****

张宽 王博 王振文

指导教师（若还没有确定指导教师，此项不填）：曹春雷

评阅编号：

摘要

针对每年提交保险费估计的多因素性，我们建立基于拟合相关性原理的对于保险费用可以提出期望的分析性模型。由于本次实验的预期因素的多样性和不确定性，在此基础上建立两个模型。收集历年汽车销量数据，建立模型，判断出影响显著的因素，忽略次要因素，建立较为简单的数据模型，得到汽车销售量的波动和规律性变化，并结合汽车销售量与投保人数的线性关系，拟合出投保人数的变化规律。在此基础上分门别类的计算各个等级在索赔情况下的费用，由数据推得一定的比例关系，从而由此及彼利用MATLAB和EXCEL大量计算数据的基础上，过渡到考虑注销时的费用，到最后求的当医疗费下降20%和40%的情况下，每份保险费的收取情况。

根据影响汽车销售数量的主要因素，如人均可支配收入，汽车拥有量，人口数量等选择出影响较为显著的因素，采用逐渐加入变量和逐渐剔除变量的方法，确定最主要因素，从而根据提供的数据利用MATLAB画出销量随变量变化的函数关系。当汽车销量与年份基本成指数关系的时候，我们拟合出相应的函数，并且预计出未知年份的汽车销量。

与此同时，了解保险公司在决定保险金时，主要考虑的是每年的收取保险金额的总和高于所期望的赔偿数即可，而对于可能忽视的盈利问题是利用融集的资金进行投资获得。因此，主要分析计算两部分的内容，一是各个不同等级的投保人在年后的所可能获得期望赔偿以及整年保险公司所需的业务支出等，二是投保人数的随年份的变化关系。依据给定数据计算出相应的修理费用和赔偿费用并假设基本稳定，将医疗费的变化列为主要影响的因素，首先分析当明年各级投保人数之间的函数关系，列写表达式，从而计算得到在不考虑注销人数的情况下的费用情况，接着计算考虑注销人数的情况下的医疗费用，最后分别引用20%和40%的数据计算出二者的总费用作参考比较。

在解模型的过程中，需要注意一些参考的地方。一是利用已知数据并结合假设，我们以人均的修理费、业务支出费、死亡赔偿费为不变的量，用人均结合总数的方法得到总费用；二是本次实验在计算各个等级的投保人数的时候运用流入与流出的观点使得模型的建立快了许多；三是利用MATLAB工具直观的得到趋势图，从而更好地得到相应的拟合函数，以及运用相应的函数线性分析各个因素的敏感性分析，再次运用EXCEL表格的形式处理大量繁杂的数据保证了解模型的准确和快速性。

关键词：汽车保险；汽车销量；人均医疗费；期望值

一、问题重述

某保险公司只提供一年期的综合车险保单业务，这一年内，若客户没有要求赔偿，则给予额外补助，所有参保人被迫分为0，1，2，3四类，类别越高，从保险费中得到的折扣越多。在计算保险费时，新客户属于0类。在客户延续其保险单时，若在上一年没有要求赔偿，则可提高一个类别；若客户在上一年要求过赔偿，如果可能则降低两个类别，否则为0类。客户退出保险，则不论是自然的还是事故死亡引起的，将退还其保险金的适当部分。

现在政府准备在下一年开始实施安全带法规，如果实施了该法规，虽然每年的事故数量不会减少，但事故中受伤司机和乘员数肯定会减少，从而医药费将有所下降，这是政府预计会出现的结果，从而期望减少保险费的数额。这样的结果真会出现吗？这是该保险公司目前最关心的问题。根据采用这种法规的国家的统计资料可以知道，死亡的司机会减少40%，遗憾的是医疗费的下降不容易确定下来，有人认为，医疗费会减少20%到40%，假设当前年度该保险公司的统计报表如下表1和表2。

表1 本年度发放的保险单数 基本保险费：775元

没有索赔时补

类别 续保人数 新投保人数 注销人数 总投保人数

贴比例（%）

0 0 1280708 384620 18264 1665328 1 25 1764897 1 28240 1764898 2 40 1154461 0 13857 1154461 3 50 8760058 0 324114 8760058 总收入：6182百万元，偿还退回：70百万元，净收入：6112百万元； 支出：149百万元；索赔支出：6093百万元，超支：130百万元。

表2 本年度的索赔款

死亡司机人平均修理费平均医疗费 平均赔偿费

类别 索赔人数

数 （元） （元） （元）

0 582756 11652 1020 1526 3195 1 582463 23315 1223 1231 3886 2 115857 2292 947 823 2941 3 700872 7013 805 814 2321

总修理费：1981（百万元），总医疗费：2218（百万元）； 总死亡赔偿费：1894（百万元），总索赔费6093（百万元）。

问题一：根据以上信息如何建立一个合适的数学模型；

问题二：在医疗费下降20%和40%的情况下，公司今后5年每年每份保险费应收多少才比较合理？

二、合理假设

（1）、近几年来没有重大自然灾害和人为事故； （2）、每年的各类别注销人数（包括自动终止和事故死亡两方面）占该类别总投保人数的比例一定； （3）、未实行安全带法规之前每年的事故死亡人数占索赔人数的比例一定； （4）、近几年每年的平均偿还退回金不变，且各个类别相等； （5）、近几年各个类别的每年平均修理费不变； （6）、每辆汽车均会购买保险，该保险公司每年新投保人数与汽车增长数量线性相关； （7）、每个投保人对应相应的工作支出费用并且近几年为不变； （8）、近几年每年各类别人均死亡赔偿金额不变； （9）、各类别索赔人数与该类别投保人数的比例不变；

（10）每年各类别注销人数与该类别的索赔人数无重叠部分。

三、问题分析

分析该保险公司本年度的收支情况，可以明确：利润=总收入－退还赔偿－工作支出费用－索赔支出，其中索赔支出=总修理费+总医疗费+总死亡赔偿费。又因为本次假设以车辆的增长为变化量，所以可以认为投保人数不因保险金额的变化而改变。因而为了解决实际问题，要明确预期的索赔支出，投保人数，从而才能够确定保险公司的总支出，并计算出保险公司在未来五年里平均每人应当收取多少保险费。一方面，赔偿金额由修理费、死亡赔偿费和医疗费三者共同承担，这里修理费和死亡赔偿费由假设为不变量，医疗费设为变量以便于参与到模型建立后的估计。另一方面，因为每个级别的注销退还赔偿费和死亡赔偿费有所差别，因此需要依照不同级别分别计算它们的数据。而投保人数则需依据汽车的销售数量确定。

四、建立模型

1、总收入

1.1变量的说明

: 第t年的第0类的投保人数； : 第t年的第1类的投保人数； : 第t年的第2类的投保人数； : 第t年的第3类的投保人数；

: 第t年的新增投保人数； : 第t年的总收入； b: 该年的基本保险费；

: 第t年第0类的索赔人数； ： 第t年第1类的索赔人数； ： 第t年第2类的索赔人数； ： 第t年第3类的索赔人数； : 第t年第0类的死亡人数； ： 第t年第1类的死亡人数； ： 第t年第2类的死亡人数； ： 第t年第3类的死亡人数；

: 第i类注销人数占该类别投保人数的比例。

1.2总收入模块表达式 第t年的总收入为：

其中第t年各类投保人数的计算表达式为：

不考虑注销人数第t年0类投保人数=第t年新增投保人数 + 第(t-1)年0类索赔人数 + 第(t-1)年1类索赔人数 + 第(t-1)年2类索赔人数 — 第(t-1)年0类死亡人数 — 第(t-1)年1类死亡人数 — 第(t-1)年2类死亡人数，即：

=b*

+b*75%*+b*60%*

+b*50%*

考虑每年注销人数，则第t年0类投保人数为：

不考虑注销人数第t年1类投保人数=第(t-1)年0类投保人中未索赔人数 + 第(t-1)年3类索赔人数 — 第(t-1)年3类死亡人数，即：

考虑每年注销人数，则第t年1类投保人数为：

不考虑注销人数第t年2类投保人数=第(t-1)年1类投保人中未索赔人数，即：

考虑每年注销人数，则第t年2类投保人数为：

不考虑注销人数第t年3类投保人数=第(t-1)年2类投保人中未索赔人数 + 第(t-1)年3类投保人中未索赔人数，即：

考虑每年注销人数，则第t年2类投保人数为：

2、退还赔偿费用

2.1变量说明：

h： 一个人注销后得到的赔偿金； H(t)： 第t年总的退还赔偿金；

: 第t年第0类的注销人数； ： 第t年第1类的注销人数； ： 第t年第2类的注销人数； ： 第t年第3类的注销人数；

: 第i类注销人数占该类别投保人数的比例。

2.2 总退还赔偿金模块表达式 h=总退还赔偿金/注销总人数

第t年总的退还赔偿金为：

（元）；

H(t)=

其中

;

3、工作支出费用

3.1变量的说明

： 第t年的投保总人数；

z: 一个投保人对应的业务支出费用； Z(t): 第t年总的工作支出费用。

3.2总工作支出费用模块的表达式

z=总工作支出费用/总投保人数，即：

第t年总的工作支出费用为：

11.2

Z(t)=

其中

4、索赔支出费用

4.1死亡赔偿费用

4.1.1变量说明

： 第t年第1类的死亡人数； ： 第t年第2类的死亡人数； ： 第t年第3类的死亡人数；

: 未实行安全带规则前第i类死亡人数占各类别索赔人数的

比例；

: 第i类索赔人数占该类别投保人数的比例； : 第i类人均死亡赔偿金额；

SP(t): 第t年总死亡赔偿金额。

4.1.2死亡赔偿费用模块表达式

第t年（未实行安全带规则）总的死亡赔偿费用为：

其中

在未实行安全带法规之前

在实行安全带法规之后

4.2、总修理费用

4.2.1变量说明

: 第t年第0类的索赔人数； ： 第t年第1类的索赔人数； ： 第t年第2类的索赔人数； ： 第t年第3类的索赔人数； : 第i类的年平均修理费；

: 第i类索赔人数占该类别投保人数的比例。

4.2.2总修理费用模块表达式 第t年总的修理费用为：

其中

4.3、总医疗费用

4.3.1计算分析

分析问题及表格内容，可得出实行安全带法规后：

第i类赔偿的医疗费=（第i类索赔人数 — 第i类死亡司机人数）*未实行安全带法规前第i类平均医疗费*（1—医疗费下降比例）。

4.3.2变量说明

： 实行安全带法规后平均医疗费的下降比例；

: 未实行安全带法规前第i类赔偿的平均医疗费；

: 第t年总的医疗费； : 第t年第i类索赔人数； : 第t年第i类死亡人数；

4.3.3总医疗费模块表达式

第t年总的医疗费用为：

5、公司第t年的总利润

5.1变量说明

: 第t年公司的总利润；

5.2总利润表达式

总利润=总收入—退还赔偿—工作支出费用—索赔支出，即：

的表达式由上述推导可知。

其中

五、模型求解

1、各类别第t年投保人数、注销人数、索赔人数、死亡司机人数

以实行安全带法规前一年为第t=0年，实行安全带法规第一年为t=1年。

1.1比例计算：

其中：

:第i类注销人数占该类别投保人数的比例； :第i类索赔人数占该类别投保人数的比例；

1.2第t年新增投保人数的计算

投保人数与汽车销量之间可以从数据看出成比例关系，因此关键是汽车销量

:未实行安全带规则前第i类死亡人数占各类别索赔人数的比例。

随时间的变化关系，查阅历年汽车销量情况，并且可知汽车销量与生活中的很多因素有关，这里为了简便将其假定为与时间的函数，经MATLAB画图可以看到汽车销量随时间变化的区间，在五年内虽然随季度也会发生波折，但是基本属于线性变化，由此根据数据用最小二乘拟合出汽车销量跟时间的回归变化。如下图所示

而关于投保人数与汽车销量之间的比例关系，则在假设条件下基本不发生变化，那么就可以通过数据得到相应的比例而这个比例可以暂定为r，在预期保险费用的时候得到的是相比于没有实施安全带措施之前的变化关系，因此可以约去。

由上图简化汽车数量增长模型，认为其增长量成线性关系，因此采用每年的比例增长率不变的假设，经计算得到相对比例x=0.20515,于是得出投保人的简单变化函数，即

，则每年新增投保人数如下：

利用MATLAB画图

1.3各类别第t年投保人数、注销人数、索赔人数、死亡司机人数

2、各项赔偿费用明细

3、实行安全带法规后

可以由假设知道，每年的事故数量不会减少，但事故中受伤司机和乘员数减少，死亡的司机数目会减少40%，期望减少保险费的数额。医疗费的计算分别以20%和40%计算从而得到预期每年所需的医疗费用，并与修理费、死亡赔偿费、业务支出、注销赔偿费求和，从而保险公司有两种总支出。对于每年保险公司应收取的保险费，我们认为是保证收取保险的总收入与预期总支出的差额为正的情况下即可，对于保险公司的盈利情况查资料可知他们盈利的部分在于融资得到的投资机会，从而赚取利润，因此这种假设是成立的，而且经数据验证是完全可以的。从而各项费用具体情况可由EXCEL表格依据函数表达式上述建立模型的计算出，附表如后。（附件：表格1）

最终，对于医疗费的不同下调方案，保险公司在未来五年平均应收的保险费有如下两种费用收取方案：

（1） 医疗费下调20%后：

第一年：每个人应当缴纳

=384.4603（元） =389.8133（元） =399.2591（元） =411.1486（元） =425.1706（元）

第二年：每个人应当缴纳

第三年：每个人应当缴纳

第四年：每个人应当缴纳

第五年：每个人应当缴纳

（2） 医疗费下调40%后：

第一年：每个人应当缴纳

=350.8452（元） =355.5432（元） =363.9563（元） =374.55（元） =387.0533（元）

第二年：每个人应当缴纳

第三年：每个人应当缴纳

第四年：每个人应当缴纳

第五年：每个人应当缴纳

六、模型评价与改进

1、模型的优点

（1）投保人数变化函数的确定，由于相应的汽车销量问题可以很好地反映出汽车投保数量的关系，因此我们从汽车销量出发，再依据其之间的线性关系确定相

应的投保人数变化、

（2）求解过程中，充分利用excel对大量数据进行处理，找出其中关系，利于分析；使用MATLAB画图确定汽车销量采用拟合的方式确定相应比例关系。

（3）分门别类的的计算各个等级的投保人数，直接从来源和输出确定各个等级投保人数的计算函数。 2、模型的不足

（1）关于汽车销量与投保人数的比例关系的偏差，使评价结果发生误差。 （2）为了简化计算，我们没有将汽车销量的增长模型单独的列出来并求解，因为汽车销量的趋势是由多种因素所共同决定的，需要更多的数据和计算，本文中较为粗略用得到的数据图与时间的关系变化，拟合出相应的单一变量的函数，忽略了一些次要因素。

（3）在考虑个人索赔情况和是事故状态时，将其作为一个平均的趋势而忽略了个人索赔的概率性问题。 3、模型的改进

（1）建立两个小模型，一是将汽车销量的趋势变化单独列出来，考虑各种因素对于汽车销量的影响，或者从资料中获取相关函数关系，二是建立汽车销量和投保人数关系的模型，从而较为准确的确定投保人数的变化趋势。 （2）可以考虑到相应的各种费用随时间的变化程度。

（3）在计算相应的增长比例时可以用MATLAB定性的拟合出较为准确的预期变化图像。

七、参考文献

[1]邹锐标，廖基定， 《汽车保险的数学模型》,《长春工业大学学报(自然科学版)》,第25卷第2期，2004年06月：

/hzpinglaoshi/qk/96672A/200402/9919415.html ，2011年4月2日

[2]保险公司盈利方式（百度文库）：

/view/5981f121192e45361066f5af.html， 2011年4月2日；

[3]姜启源，谢金星，叶俊编，《数学模型（第四版）》，高等教育出版社，2011年。 [4]中国汽车工业协会信息网：

/autoinfo_cn/top/ydphb/index_ydphb.htm， 2011年4月3日；

[5]徐文城，许俊杰，洪贤龙，《汽车保险的数学模型》,

/p-08769064604.html，2011年4月3日。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kdwj.html