解三角形与数列知识整理(超好)
更新时间:2023-08-10 03:37:01 阅读量: 工程科技 文档下载
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高二数学解三角形与数列知识整理
1. 三角基本关系式:
sin2 cos2 1,tan sin
cos
.
2. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴cos cos cos sin sin ;⑵cos cos cos sin sin ; ⑶sin sin cos cos sin ;⑷sin sin cos cos sin ; ⑸tan
tan tan
1 tan tan
,变形:tan tan tan 1 tan tan ;
⑹tan
tan tan
1 tan tan
,变形:tan tan tan 1 tan tan .
3. 重要的诱导公式:
sin sin ,cos cos ,tan tan .
三角形中常考点:
sin(A B) sinC;cos(A B) cosC;
tan(A B) tanC,tanA tanB tanC tanA tanB tanC.
4. 二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴sin2 2sin cos ; ⑵cos2 cos
2
sin2 2cos2 1 1 2sin2
,
变形:cos2
1 cos2 2,sin2
1 cos2 2
; ⑶tan2
sin2 cos2 2sin cos cos2 sin2 2tan
1 tan2
. 5. 一个综合性很强的例子:
cos2 cos2 sin2
(cos sin )(cos sin1 sin2 sin2 cos2 2sin cos
)
(sin cos )2
cos sin 1 tan
sin cos tan 1 1 tan 1 tan tan( 4
)6. 辅助角公式(一角一函数):
asin bcos ,其中tan
b
a
. 常见辅助角公式:
sinx cosx
x xx 2sin
,
x ,
x cosx 2sin x ,
sinx x 2sin
x ,
32sinxx x 3 ,
x 2cosx
x , 7. 根据“函数y sin x 0, 0 ”的定义域,利用其单调性求其最值. 8. 设 、 两点的坐标分别为 x1,y1 , x2,y2 ,有: ⑴ x1 x2,y1
y2 ;⑵| | .
9. 设a x1,y1 ,
b x2,y2 ,有: ⑴模长:
a
b
⑵坐标运算:a b x1 x2,y1 y2 ,a b x1 x2,y1 y2 ,a b x1x2 y1y2;⑶平行与垂直:若a∥b,则x1y2 x2y1 0;若a b,则a b x1x2 y1y2 0; ⑷数量积:a
b abcos , cos a bab
10. 正弦定理:
在 C中,有
asin bsin c
sinC
2R,其中,R为 C的外接圆的半径. 正弦定理的变形公式:
①a 2Rsin ,b 2Rsin ,c 2RsinC;
②sin
a2R,sin bc
2R,sinC 2R
; ③a:b:c sin :sin :sinC;
④a b casin sin sinC sin bsin c
sinC
.
11. 射影定理:(要求会用两角和的正弦公式及正弦定理证明)
a bcosC ccosB,b acosC ccosA,c acosB bcosA.
12. 三角形面积初级公式:
S C 12ah12 12ch斜边上的高haba bhbc,(Rt△ABC
c c
)S1 C
2absinC 12acsin 1
2
bcsin ; 三角形面积中级公式:
S C
abc4R 1
(a b c)r内;
外2
S1
Cp 2
(a b c);
三角形面积高级公式:
若CB a (x1,y1),CA b (x2,y2),则
S C
12|a||b|sinC 1
2
|x1y2 x2y1|. 13. 余弦定理:(要求会用向量法证明)
在 C中,有a2
b2
c2
2bccos ,b2
a2
c2
2accos ,
c2 a2 b2 2abcosC.
余弦定理的变形及应用:
b2 c2 a22bc,cos
a2 c2 b2a2 b2 c2
①cos2ac
,cosC 2ab;
(求余弦值的方法还有:数量积的变形公式cos
a bab
)
②若a2 b2 c2,则C 90;若a2 b2 c2,则C 90;若a2 b2
c2
,则C 90. 14. 一个重要结论:(要求会用余弦定理或向量法证明) 平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和,即
AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2 2(AB2 BC2)
.
所以AC2
(2BO)2
2(AB2
BC2
),所以△ABC的中线BO
15. 等差数列与等比数列:
16. 求通项公式的方法:
(1)公式法:等差an a1 (n 1)d,等比an a1qn 1; (2)累加法:an 1 an f(n),且
f(n)可求;
11
ln(1 ),3n 3n等)
n(n 1)n(常见的f(n)有2n 1(3)累乘法:
nan 1
,3n等) (常见的f(n)有 f(n),且 f(n)可求;
n 1an
,n 1 S1
a (4)由Sn求an:n ,注意验证n 1的情形;
n≥2 Sn ! Sn,
(常见的Sn有n2 2n,n2 2n 3,3n 1等)
(5)构造法:
①an 1 pan q(p 1,pq 0),构造公比为p的等比数列{an t};
②an 1 pan f(n)(其中f(n)为指数型函数),两边同时除以(底数)n+1; ③构造{an 1 an}为等差或等比数列,然后转到①②; ④取倒数:常见的有an 1
an2an
,an 1 ,an 1 an 2an 1an,an 1 an 2nan 1an等.
2an 1an 1
17. 求前n项和的方法:公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、通项转换法、分组求和法.
(常见题型见学案)
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