第二十一讲 矩形 菱形 正方形

第二十一讲 矩形 菱形 正方形

【基础知识回顾】 一、矩形：

1、定义：有一个角是 角的平行四边形叫做矩形 2、矩形的性质：

⑴矩形的四个角都 ⑵矩形的对角线 3、矩形的判定： ⑴用定义判定

⑵有三个角是直角的 是矩形 ⑶对角线相等的 是矩形

【名师提醒：1、矩形是 对称图形，对称中心是 ，矩形又是 对称图形，对称轴有 条2、矩形被它的对角线分成四个全等的 三角形和两对全等的 三角形 3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题】 二、菱形：

1、定义：有一组邻边 的平行四边形叫做菱形 2、菱形的性质：⑴菱形的四条边都

⑵菱形的对角线 且每条对角线

3、菱形的判定：⑴用定义判定

⑵对角线互相垂直的 是菱形 ⑶四条边都相等的 是菱形

【名师提醒：1、菱形既是 对称图形，也是 对称图形，它有 条对称轴，

分别是 2、菱形被对角线分成四个全等的 三角形和两对全等的 三角形 3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的 来计算 4、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决的题目】 三、正方形：

1、定义：有一组邻边相等的 是正方形，或有一个角是直角的 是正方形 2、性质：⑴正方形四个角都 都是 角，

⑵正方形四边条都

⑶正方形两对角线 、 且 每条对角线平分一组内角

3、判定：⑴先证是矩形，再证 ⑵先证是菱形，再证

【名师提醒：1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。这四者之间的关系可表示为：

2、正方形也既是 对称图形，又是 对称图形，有 条对称轴

3、几种特殊四边形的性质和判定都是从 、 、 三个方面来看的，要注意它们的区别和联系】 【重点考点例析】

考点一：与矩形有关的折叠问题 例1 （2013?泸州）如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=105cm，且tan∠EFC=周长为（ ） A．72cm

3，那么该矩形的4B．36cm C．20cm D．16cm

思路分析： 根据矩形的性质可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，再根据翻折变换的性质可得∠AFE=∠D=90°，AD=AF，然后根据同角的余角相等求出∠BAF=∠EFC，然后根据tan∠EFC=设BF=3x、AB=4x，利用勾股定理列式求出AF=5x，再求出CF，根据tan∠EFC=出CE并求出DE，最后在Rt△ADE中，利用勾股定理列式求出x，即可得解． 解：在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°， ∵△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上， ∴∠AFE=∠D=90°，AD=AF， ∵∠EFC+∠AFB=180°-90°=90°， ∠BAF+∠AFB=90°， ∴∠BAF=∠EFC， ∵tan∠EFC=3，43表示43， 4AB2?BF2?(4x)2?(3x)2?5x， ∴设BF=3x、AB=4x， 在Rt△ABF中，AF=∴AD=BC=5x， ∴CF=BC-BF=5x-3x=2x， ∵tan∠EFC=3， 433=x， 42∴CE=CF?tan∠EFC=2x?∴DE=CD-CE=4x-35x=x， 22在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2， 即（5x）2+（5x）2=（105）2， 2整理得，x2=16， 解得x=4， ∴AB=4×4=16cm，AD=5×4=20cm， 矩形的周长=2（16+20）=72cm． 故选A． 点评：本题考查了矩形的对边相等，四个角都是直角的性质，锐角三角函数，勾股定理的应用，根据正切值设出未知数并表示出图形中的各线段是解题的关键，也是本题的难点． 对应训练 1．（2013?湖州）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，则AD的值为（ ） ABC．

A．

1 2B．

3 32 3D．

2 2

1． A

考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题

例2 （2013?泉州）如图，菱形ABCD的周长为85，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO= ，菱形ABCD的面积S= ． 思路分析：由菱形的性质可知：对角线互相平分且垂直又因为AC：BD=1：2，所以AO：BO=1：2，再根据菱形的面积为两对角线乘积的一半计算即可． 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO=CO，BO=DO， ∴AC=2AO，BD=2BO， ∴AO：BO=1：2； ∵菱形ABCD的周长为85， ∴AB=25， ∵AO：BO=1：2， ∴AO=2，BO=4， ∴菱形ABCD的面积S=8?4=16， 2故答案为： 点评：本题考查了菱形性质和勾股定理，注意：菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四条边相等和菱形的面积为两对角线乘积的一半． 对应训练 2．（2013?凉山州）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ ） A．14 B．15 C．16 D．17

2．C

考点三：和正方形有关的证明题

例3 （2013?湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为2和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF． （1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由； （2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长． 思路分析：（1）根据正方形的性质可得AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“边角边”证明△AOD和△COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证； （2）与（1）同理求出CF=AD，连接DF交OE于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OG=1 OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD． 2解：（1）AD=CF． 理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°， ∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD， 即∠AOD=∠COF， ?AO?CO?在△AOD和△COF中，??AOD??COF， ?OD?OF?∴△AOD≌△COF（SAS）， ∴AD=CF； （2）与（1）同理求出CF=AD， 如图，连接DF交OE于G，则DF⊥OE，DG=OG=1OE， 2 ∵正方形ODEF的边长为2， ∴OE=2×2=2， ∴DG=OG=11OE=×2=1， 22∴AG=AO+OG=3+1=4， 在Rt△ADG中，AD=∴CF=AD=17． 点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，（1）熟练掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 对应训练 3．（2013?三明）如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．

（1）求证：△BCP≌△DCP； （2）求证：∠DPE=∠ABC； （3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE= 度．

AG2?DG2?42?12?17，

3．（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°， ∵在△BCP和△DCP中，

?BC?DC???BCP??DCP， ?PC?PC?∴△BCP≌△DCP（SAS）；

（2）证明：由（1）知，△BCP≌△DCP， ∴∠CBP=∠CDP， ∵PE=PB，

∴∠CBP=∠E， ∴∠DPE=∠DCE，

∵∠1=∠2（对顶角相等）， ∴180°-∠1-∠CDP=180°-∠2-∠E， 即∠DPE=∠DCE， ∵AB∥CD，

∴∠DCE=∠ABC， ∴∠DPE=∠ABC；

（3）解：与（2）同理可得：∠DPE=∠ABC， ∵∠ABC=58°， ∴∠DPE=58°． 故答案为：58．

考点四：四边形综合性题目

例4 （2013?资阳）在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．

（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；

（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以2cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）； ①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由． ②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由． 思路分析：（1）证明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN； （2）①首先证明△AFE∽△CDE，利用比例式求出时间t=111a，进而得到CM=a=CD，333所以该命题为真命题； ②若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形，需要分类讨论． 解：（1）证明：∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°， ∴∠ADF=∠DCN． 在△ADF与△DNC中， ??DAF??CDN?90??， ?AD?CD??ADF??DCN?∴△ADF≌△DNC（ASA）， ∴DF=MN． （2）解：①该命题是真命题． 理由如下：当点F是边AB中点时，则AF=∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE， ∴11AB=CD． 22AEAF1==， ECCD2112EC，则AE=AC=a， 233∴AE=∴t=AE1=a． 2311a=CD， 33则CM=1?t=∴点M为边CD的三等分点． ②能．理由如下： 易证AFE∽△CDE，∴AFAEatAF2t=，即，得AF=． ?CDECa?ta2a?2tNDDMNDa?t?，即，得ND=t． ?atAFADaa?t易证△MND∽△DFA，∴∴ND=CM=t，AN=DM=a-t． 若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形： （I）若FN=MN，则由AN=DM知△FAN≌△NDM， ∴AF=DM，即at=t，得t=0，不合题意． a?t∴此种情形不存在； （II）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC， ∴t=1a，此时点F与点B重合； 2（III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示： 易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a-t； 又由△NDM∽△DCF，∴∴DNDCtaa(a?t)??，即，∴FC=． DMFCa?tFCta(a?t)=a-t， t1a时，△MNF能够成为等腰三角形． 2∴t=a，此时点F与点C重合． 综上所述，当t=a或t=点评：本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点．解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）运用分类讨论的数学思想，避免漏解． 对应训练 4．（2013?营口）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．

（1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； ②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论

是否仍然成立，并选取图2证明你的判断． （2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD= 4，CF=1，BF交AC于点H，交AD3于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值． 4．解：（1）①BF=AD，BF⊥AD； ②BF=AD，BF⊥AD仍然成立， 证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°， ∴AC=BC， ∵四边形CDEF是正方形， ∴CD=CF，∠FCD=90°， ∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF， 即∠BCF=∠ACD， 在△BCF和△ACD中 ??BC?AC??BCF??ACD， ??CF?CD∴△BCF≌△ACD（SAS）， ∴BF=AD，∠CBF=∠CAD， 又∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90°， ∴∠CAD+∠AHO=90°， ∴∠AOH=90°， ∴BF⊥AD； （2）证明：连接DF， ∵四边形CDEF是矩形， ∴∠FCD=90°， 又∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠FCD ∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF， 即∠BCF=∠ACD， ∵AC=4，BC=3，CD=∴4，CF=1， 3BCCF3??， ACCD4∴△BCF∽△ACD， ∴∠CBF=∠CAD， 又∵∠BHC=∠AHO，∠CBH+∠BHC=90° ∴∠CAD+∠AHO=90°， ∴∠AOH=90°， ∴BF⊥AD， ∴∠BOD=∠AOB=90°， ∴BD2=OB2+OD2，AF2=OA2+OF2，AB2=OA2+OB2，DF2=OF2+OD2， ∴BD2+AF2=OB2+OD2+OA2+OF2=AB2+DF2， ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3， ∴AB2=AC2+BC2=32+42=25， ∵在Rt△FCD中，∠FCD=90°，CD=∴DF2=CD2+CF2=(4，CF=1， 342225)+1=， 3925250∴BD2+AF2=AB2+DF2=25+=． 99【聚焦山东中考】

1．（2013?威海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（ ） A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF

1．D 2．（2013?枣庄）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（ ） A．3-1

B．3-5 C．5+1

D．5-1

2．D 3．（2013?临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是 ．

3．33 4．（2013?烟台）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画 ?连结AF，CF，则图中阴影部分面积为 ． AC，

4．4π 5．（2013?济南）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论： ①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+3． 其中正确的序号是 （把你认为正确的都填上）．

5．①②④

6．（2013?济宁）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．

（1）求证：AF=BE；

（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．

6．（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°， ∴∠DAF+∠BAF=90°， ∵AF⊥BE，

∴∠ABE+∠BAF=90°， ∴∠ABE=∠DAF，

∵在△ABE和△DAF中，

??ABE??DAF?， ?AB?AD??BAE??D?∴△ABE≌△DAF（ASA）， ∴AF=BE；

（2）解：MP与NQ相等．

理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E， 则与（1）的情况完全相同． 7．（2013?青岛）已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点． （1）求证：△ABM≌△DCM；

（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；

（3）当AD：AB= 时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明） 7．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC，∠A=∠D=90°， ∵M为AD中点， ∴AM=DM， 在△ABM和△DCM， ?AM?DM???A??D， ?AB?CD?∴△ABM≌△DCM（SAS）； （2）答：四边形MENF是菱形， 证明：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点， ∴NE∥CM，NE=11CM，MF=CM， 22∴NE=FM，NE∥FM， ∴四边形MENF是平行四边形， ∵△ABM≌△DCM， ∴BM=CM， ∵E、F分别是BM、CM的中点， ∴ME=MF， ∴平行四边形MENF是菱形； （3）解：当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形， 理由是：∵M为AD中点， ∴AD=2AM， ∵AD：AB=2：1， ∴AM=AB， ∵∠A=90∴∠ABM=∠AMB=45°， 同理∠DMC=45°， ∴∠EMF=180°-45°-45°=90°， ∵四边形MENF是菱形， ∴菱形MENF是正方形， 故答案为：2：1． 8．（2013?淄博）矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4． （1）如图1，四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由； （2）请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图2的矩形ABCD中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）．

8．解：（1）正方形的最大面积是16．设AM=x（0≤x≤4），则MD=4-x． ∵四边形MNEF是正方形，

∴MN=MF，∠AMN+∠FMD=90°． ∵∠AMN+∠ANM=90°， ∴∠ANM=∠FMD． ∵在△ANM和△DMF中

??A??D? ??ANM??FMD， ?MN?FM?∴△ANM≌△DMF（AAS）． ∴DM=AN．

∴S正方形MNEF=MN2=AM2+AN2， =x2+（4-x）2， =2（x-2）2+8

∵函数 S正方形MNEF=2（x-2）2+8的开口向上， 对称轴是x=2，

在对称轴的左侧S随x的增大而减小，在对称轴的右侧S随x的增大而增大， ∵0≤x≤4，

∴当x=0或x=4时，

正方形MNEF的面积最大． 最大值是16．

（2）先将矩形纸片ABCD分割成4个全等的直角三角形和两个矩形如图1，然后拼成如图2的正方形．

9．（2013?济南）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；

（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由； （3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：

如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．

9．解：（1）完成图形，如图所示：

证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形， ∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB， ∵在△CAD和△EAB中，

?AD?AB???CAD??EAB， ?AC?AE?∴△CAD≌△EAB（SAS）， ∴BE=CD；

（2）BE=CD，理由同（1）， ∵四边形ABFD和ACGE均为正方形， ∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°， ∴∠CAD=∠EAB， ∵在△CAD和△EAB中， ?AD?AB???CAD??EAB， ?AC?AE?∴△CAD≌△EAB（SAS）， ∴BE=CD； （3）由（1）、（2）的解题经验可知，如图，过A作等腰直角三角形ABD，∠BAD=90°， 则AD=AB=100米，∠ABD=45°， ∴BD=1002米， 连接CD，则由（2）可得BE=CD， ∵∠ABC=45°，∴∠DBC=90°， 在Rt△DBC中，BC=100米，BD=1002米， 根据勾股定理得：CD=100?(1002)?1003米， 则BE=CD=1003米． 【备考真题过关】 一、选择题 1．（2013?铜仁地区）下列命题中，真命题是（ ） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形

C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 1．C 2．（2013?宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A．两组对边分别平行 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等 2．B

223．（2013?随州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（ ） A．25 B．20 C．15 D．10

3．C 4．（2013?重庆）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（ ） A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm

4．C 5．（2013?南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（ ） A．12

B．24

C．123 D．163

5．D 6．（2013?巴中）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（ ） A．24

B．16

C．43 D．23

6．C 7．D

（2013?茂名）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC的长是（ ）

A．2 B．4 C．2

3 D．43

7．B 8．（2013?成都）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4

8．B 9．（2013?包头）如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（ ） A．S1＞S2 B．S1=S2 C．S1＜S2 D．3S1=2S2

9．B 10．（2013?扬州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（ ） A．50° B．60° C．70° D．80°

10．C 11．（2013?绵阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（ ） A．

28 cm 25B．

21cm 20C．

28cm 15D．

25 cm 21

11．B 12．（2013?雅安）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（ ）个． A．2 B．3 C．4 D．5

12．C

二、填空题 13．（2013?宿迁）如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为 度时，两条对角线长度相等．

13．90 14．（2013?淮安）若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是 ． 14．3 15．（2013?无锡）如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8，E是CD的中点，则OE的长等于 ．

15．4 16．（2013?黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为 ．

16．83 17．（2013?攀枝花）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=∠DBE的值是 ． 3，BE=4，则tan5 17．2 18．（2013?南充）如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AE⊥AC，AE=1，连接BE，则tanE= ． 18．2 3 19．（2013?苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若用含k的代数式表示）． CG1AD?，? 则 GBkAB

19．k?1 2

20．（2013?哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为 ． 20．3 521．（2013?北京）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为 ． 21．20 22．（2013?南京）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF= cm． 22．3 323．（2013?舟山）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB、BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程为 ． 23．65 24．（2013?桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD上一动点，分别以AP、PB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB，设正方形对角线的交点分别为O1、O2，当点P从点C运动到点D时，线段O1O2中点G的运动路径的长是 ． 24．32 25．（2013?荆州）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1、BC1．若∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论： ①△A1AD1≌△CC1B； ②当x=1时，四边形ABC1D1是菱形； ③当x=2时，△BDD1为等边三角形； ④s=3（x-2）2 （0＜x＜2）； 8其中正确的是 （填序号）．

25．①②③④

三、解答题 26．（2013?南通）如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE． 求证：四边形BCDE是矩形．

26．证明：∵∠BAD=∠CAE，

∴∠BAD-∠BAC=∠CAE-∠BAC， ∴∠BAE=∠CAD， ∵在△BAE和△CAD中 ?AE?AD???BAE??CAD ?AB?AC?∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴∠BEA=∠CDA，BE=CD， ∵DE=BC， ∴四边形BCDE是平行四边形， ∵AE=AD， ∴∠AED=∠ADE， ∵∠BEA=∠CDA， ∴∠BED=∠CDE， ∵四边形BCDE是平行四边形， ∴BE∥CD， ∴∠CDE+∠BED=180°， ∴∠BED=∠CDE=90°， ∴四边形BCDE是矩形． 27．（2013?广州）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，AB=5，AO=4，求BD的长． 27．解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O， ∴AC⊥BD，DO=BO， ∵AB=5，AO=4， ∴BO=52?42=3， ∴BD=2BO=2×3=6． 28．（2013?厦门）如图所示，在正方形ABCD中，点G是边BC上任意一点，DE⊥AG，垂足为E，延长DE交AB于点F．在线段AG上取点H，使得AG=DE+HG，连接BH．求证：∠ABH=∠CDE． 28．证明：如图，在正方形ABCD中，AB=AD，∠ABG=∠DAF=90°，

∵DE⊥AG，

∴∠2+∠EAD=90°， 又∵∠1+∠EAD=90°， ∴∠1=∠2，

? 1? 2?在△ABG和△DAF中，?AB?AD，

??ABG??DAF?90??∴△ABG≌△DAF（ASA），

∴AF=BG，AG=DF，∠AFD=∠BGA， ∵AG=DE+HG，AG=DE+EF， ∴EF=HG，

?AF?BG?在△AEF和△BHG中，??AFD??BGA，

?EF?HG?∴△AEF≌△BHG（SAS）， ∴∠1=∠3， ∴∠2=∠3，

∵∠2+∠CDE=∠ADC=90°， ∠3+∠ABH=∠ABC=90°， ∴∠ABH=∠CDE． 29．（2013?黔东南州）如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：AM=EF．

29．证明：过M点作MQ⊥AD，垂足为Q，作MP垂足AB，垂足为P，

∵四边形ABCD是正方形，

∴四边形MFDQ和四边形PBEM是正方形，四边形APMQ是矩形， ∴AP=QM=DF=MF，PM=PB=ME， ∵在△APM和△FME中，

?AP?MF???APM??FME， ?PM?ME?∴△APM≌△FME（SAS）， ∴AM=EF． 30．（2013?铁岭）如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE． （1）求证：四边形AEBD是矩形；

（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．

30．（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD， ∴四边形AEBD是平行四边形，

∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°，

∴平行四边形AEBD是矩形；

（2）当∠BAC=90°时， 理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线， ∴AD=BD=CD，

∵由（1）得四边形AEBD是矩形， ∴矩形AEBD是正方形． 31．（2013?南宁）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别是边BC、AD的中点．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE的长． 31．解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=AD=CD，∠B=∠D， ∵点E、F分别是边BC、AD的中点， ∴BE=DF， 在△ABE和△CDF中， ?AB?CD?∵??B??D， ?BE?DF?∴△ABE≌△CDF（SAS）； （2）∵∠B=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵点E是边BC的中点， ∴AE⊥BC， 在Rt△AEB中，∠B=60°，AB=4， sin60°=AEAE?， AB4解得AE=23． 32．（2013?贵阳）已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC． （1）求证：AE=EC； （2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由． 32．（1）证明：如图，连接AC， ∵BD也是菱形ABCD的对角线， ∴BD垂直平分AC， ∴AE=EC； （2）解：点F是线段BC的中点． 理由如下：在菱形ABCD中，AB=BC， 又∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC=60°， ∵AE=EC，∠CEF=60°， ∴∠EAC=1∠BAC=30°， 2∴AF是△ABC的角平分线， ∵AF交BC于F， ∴AF是△ABC的BC边上的中线， ∴点F是线段BC的中点． 33．（2013?曲靖）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，连接DE，过点C作CF⊥DE于F，过点A作AG∥CF交DE于点G． （1）求证：△DCF≌△ADG． （2）若点E是AB的中点，设∠DCF=α，求sinα的值． 33．（1）证明：在正方形ABCD中，AD=DC，∠ADC=90°， ∵CF⊥DE， ∴∠CFD=∠CFG=90°， ∵AG∥CF， ∴∠AGD=∠CFG=90°， ∴∠AGD=∠CFD， 又∵∠ADG+∠CDE=∠ADC=90°， ∠DCF+∠CDE=90°， ∴∠ADG=∠DCF， ??AGD??CFD?∵在△DCF和△ADG中，??ADG??DCF， ?AD?DC?∴△DCF≌△ADG（AAS）； （2）设正方形ABCD的边长为2a， ∵点E是AB的中点， ∴AE=1×2a=a， 2AD2?AE2?(2a)2?a2?5a， 在Rt△ADE中，DE=∴sin∠ADG=AEa5， ??ED55a∵∠ADG=∠DCF=α， ∴sinα=5． 535．（2013?绥化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF （1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC； （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系； （3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变； ①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系； ②若正方形ADEF的边长为22，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度． 35．证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°， ∴∠ACB=∠ABC=45°， ∴AB=AC， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAD=90°-∠DAC，∠CAF=90°-∠DAC， ∴∠BAD=∠CAF， 则在△BAD和△CAF中， ?AB?AC???BAD??CAF， ?AD?AF?∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴BD=CF， ∵BD+CD=BC， ∴CF+CD=BC； （2）CF-CD=BC； （3）①CD-CF=BC ②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°， ∴∠ACB=∠ABC=45°， ∴AB=AC， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°， ∵∠BAD=90°-∠BAF，∠CAF=90°-∠BAF， ∴∠BAD=∠CAF， ∵在△BAD和△CAF中， ?AB?AC???BAD??CAF， ?AD?AF?∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴∠ACF=∠ABD， ∵∠ABC=45°， ∴∠ABD=135°， ∴∠ACF=∠ABD=135°， ∴∠FCD=90°， ∴△FCD是直角三角形． ∵正方形ADEF的边长为22且对角线AE、DF相交于点O． ∴DF=2AD=4，O为DF中点． ∴OC=1DF=2． 236．（2013?盘锦）如图，正方形ABCD的边长是3，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF． （1）如图??，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形； （2）如图??，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由； （3）在（2）的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由．

36．解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=∠PBA=90° ∵在△PBA和△FBC中，

?AB?BC???PBA??ABC， ?BP?BF?∴△PBA≌△FBC（SAS）， ∴PA=FC，∠PAB=∠FCB． ∵PA=PE，

∴PE=FC． ∵∠PAB+∠APB=90°， ∴∠FCB+∠APB=90°． ∵∠EPA=90°，

∴∠APB+∠EPA+∠FPC=180°， 即∠EPC+∠PCF=180°， ∴EP∥FC，

∴四边形EPCF是平行四边形；

（2）结论：四边形EPCF是平行四边形， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABC=∠CBF=90° ∵在△PBA和△FBC中，

?AB?BC? ??PBA??ABC， ?BP?BF?∴△PBA≌△FBC（SAS），

∴PA=FC，∠PAB=∠FCB． ∵PA=PE，

∴PE=FC． ∵∠FCB+∠BFC=90°， ∠EPB+∠APB=90°， ∴∠BPE=∠FCB， ∴EP∥FC，

∴四边形EPCF是平行四边形； （3）设BP=x，则PC=3-x 平行四边形PEFC的面积为S， S=PC?BF=PC?PB=（3-x）x =-（x-329）+． 24∵a=-1＜0， ∴抛物线的开口向下， 33时，S最大=， 2233∴当BP=时，四边形PCFE的面积最大，最大值为． 22∴当x=

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