二次函数重难点突破超级讲义

五大板块―――1.重点 2.难点 3.考试易错点 4.提高能力点 5.思想方法拓展点 二次函数考点分析培优

核心知识点：

★★★二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：

开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点．

2

★★二次函数y=ax+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）

bb4ac?b2一般式：y=ax+bx+c，三点：顶点坐标（－，），对称轴x=－，最值

2a2a4a

2

顶点式：y=a（x－h）+k，顶点坐标对称轴：顶点坐标（h，k），对称轴x=h

2

交点式：y=a(x- x1)(x- x2)，（有交点的情况）与x轴的两个交点坐标x1，x2 ，对称轴为h?

★★★a b c作用分析

│a│的大小决定了开口的宽窄，│a│越大，开口越小，│a│越小，开口越大，

x1?x2 2a，b的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y轴，当a，b同号时，对称轴x=－即对称轴在y轴左侧，当a，b?异号时，对称轴x=－

b<0，2ab>0，即对称轴在y轴右侧，（左同右异y轴为0） 2ac?的符号决定了抛物线与y轴交点的位置，c=0时，抛物线经过原点，c>0时，与y轴交于正半轴；c<0时，与y?轴交于负半轴，以上a，b，c的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．

中考分考点分析

顶点式中考一般式与交点式中考要点专题 图数关系+增减性专题 与方程不等式专题+与坐标轴交点专题 形积专题（中考重点） 应用专题（中考重点） 动点+存在性专题（中考重点） １. 二次函数解析式及定义型问题(顶点式中考要点) １.把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是y?(x?1)?2则原二次函数的解析式为

2

２.二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与抛物线y= - 2x相同，这个函数解析式为________。 ３.如果函数y?(k?3)xk2?kx?1是二次函数,则k的值是______

2４.（08绍兴）已知点(x1，y1)，(x2，y2)均在抛物线y?x?1上，下列说法中正确的是（ ）

A．若y1?y2，则x1?x2 B．若x1??x2，则y1??y2C．若0?x1?x2，则y1?y2 D．若x1?x2?0，则y1?y2

22y?x?bx?cy?x?2x?3，５.(兰州10) 抛物线图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为

2?3k?2则b、c的值为（ ） A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2 ★６.抛物线y?(m?1)x?(m?3m?4)x?5以Y轴为对称轴则。M＝

７.二次函数y?ax?a?5的图象顶点在Y轴负半轴上。且函数值有最小值，则m的取值范围是 8.函数

222y?(a?5)x2a2?4a?52?2x?1, 当a?_______时, 它是一次函数; 当a?_______时, 它是二次函数.

9.抛物线y?(3x?1)当x 时，Y随X的增大而增大 10.抛物线y?x?ax?4的顶点在X轴上，则a值为_____

1

五大板块―――1.重点 2.难点 3.考试易错点 4.提高能力点 5.思想方法拓展点 ★11.已知二次函数y??2(x?3)2，当X取x1和x2时函数值相等，当X取x1+x2时函数值为 12.若二次函数y?ax2?k，当X取X1和X2（x1?x2）时函数值相等,则当X取X1+X2时，函数值为 13.若函数y?a(x?3)2过（２.９）点，则当X＝４时函数值Y＝ ★14.若函数y??(x?h)2?k的顶点在第二象限则，h 0 ，k 0 15.已知二次函数当x=2时Y有最大值是１.且过（３.０）点求解析式？

16.将y?2x2?12x?12变为y?a(x?m)2?n的形式，则m?n=_____。

★17.已知抛物线在X轴上截得的线段长为６.且顶点坐标为（２，３）求解析式？（讲解对称性书写） 2、一般式与交点式中考要点 218.如果抛物线y=x-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3,那么c的值等于（ ） A 8 B 14 C 8或14 D -8或-14

2

19.二次函数y=x-(12-k)x+12,当x>1时，y随着x的增大而增大，当x<1时，y随着x的增大而减小，则k的值应取（ ） A 12 B 11 C 10 D 9

20.若b?0，则二次函数y?x?bx?1的图象的顶点在 （ ）A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限

2

21.不论x为何值,函数y=ax+bx+c(a≠0)的值恒大于0的条件是( ) A.a>0,△>0 B.a>0, △<0 C.a<0, △<0 D.a<0, △<0

★22.已知二次函数y?(a?1)x2?3x?a(a?1)的图象过原点则a的值为

23.二次函数y?x2?3x?4关于Y轴的对称图象的解析式为 关于X轴的对称图象的解析式为 关于顶点旋转１８０度的图象的解析式为

24. 二次函数y=2(x+3)(x-1)的x轴的交点的个数有__个，交点坐标为_______。

25.已知二次函数y?ax?2x?2的图象与X轴有两个交点，则a的取值范围是 26.二次函数y=(x-1)(x+2)的顶点为___,对称轴为 _。

2

27.抛物线y=(k-1)x+(2-2k)x+1，那么此抛物线的对称轴是直线_________，它必定经过________和____ 28.若二次函数y?2x2?6x?3当X取两个不同的值X1和X2时，函数值相等，则X1+X2= 2y?x?2x?a的顶点在x轴的下方，则a的取值范围是（ ） 29.若抛物线

Ａ．a?1 Ｂ．a?1 Ｃ．a≥1 Ｄ．a≤1

122

30.抛物线y= (k-2)x+m-4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= -+2上，求函数解析式。

222

31.已知二次函数图象与x轴交点（2,0）(-1,0)与y轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。

2

32.y= ax+bx+c图象与x轴交于A、B与y轴交于C，OA=2，OB=1 ，OC=1，求函数解析式

32—35 ★★★★★抛物线y??x?6x?5与x轴交点为A，B，（A在B左侧）顶点为C.与Y轴交于点D (1)求△ABC的面积。

(2)若在抛物线上有一点M，使△ABM的面积是△ABC的面积的２倍。求M点坐标(得分点的把握)

2

2五大板块―――1.重点 2.难点 3.考试易错点 4.提高能力点 5.思想方法拓展点 （3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

(4)在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBAC是等腰梯形，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由 3、二次函数图象与系数关系+增减性 36.二次函数y?ax2?bx?c

图象如下，则a,b,c取值范围是

2

37已知y=ax+bx+c的图象如下， 则：a____0 b___0 c___0

a+b+c____0，

a-b+c__0 2a+b____0 2

b-4ac___0 4a+2b+c 0

（第36题图）

（第37题图）

（第38题图）

38.二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示．有下列结论：

2①b?4ac?0；②ab?0；③a?b?c?0；④4a?b?0；⑤当y?2时，x等于0．

⑥ax?bx?c?0有两个不相等的实数根⑦ax?bx?c?2有两个不相等的实数根 ⑧ax?bx?c?10?0有两个不相等的实数根⑨ax?bx?c??4有两个不相等的实数根 其中正确的是（ ）

39.（天津市）已知二次函数y?ax?bx?c的图象如上图所示，下列结论：

① abc?0；② b?a?c；③ 4a?2b?c?0；④ 2c?3b；⑤ a?b?m(am?b)，（m?1的实数） 其中正确的结论有（ ）。

yA. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

40.小明从右边的二次函数y?ax?bx?c图象中，观察得出了下面的五条信息：

①a?0，②c?0，③函数的最小值为?3，④当x?0时，y?0，⑤当0?x1?x2?2时，y1?y2． 你认为其中正确的个数为（ ）

Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5

0 41.已知二次函数y?ax2?bx?c，其中a，b，c满足a?b?c?0和9a?3b?c?0 ，则该二次函数图象的对称轴是直线 ．

2

42.直已知y=ax+bx+c中a<0，b>0，c<0 ，△<0，函数的图象过 象限。

21351y?x?4x?5的图象上的三点， 43.若A(?,y1),B(?,y2),C(,y3)为二次函数

444y1y2y32222222 x?3则，，的大小关系是（ ）

y1?y2?y3 B．y2?y1?y3 C．y3?y1?y2 D．y1?y3?y2

244.在同一平面直角坐标系中，一次函数y?ax?b和二次函数y?ax?bx的图象可能为（ ）

A．

yOＡ

yxOＢ

yxOＣ

yxOＤ

3

x五大板块―――1.重点 2.难点 3.考试易错点 4.提高能力点 5.思想方法拓展点

45.二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示，则直线y?bx?c的图象不经过（ ）

Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限

y 2

46.抛物线y=ax+bx+c的图象如图，OA=OC，则 （ ）

（A） ac+1=b （B） ab+1=c （C）bc+1=a （D）以上都不是 C A O x 47.已知二次函数y=ax+bx+c,且a＜0,a-b+c＞0,则一定有（ ） Ａ b?4ac ＞0 Ｂb?4ac＝０ Ｃb?4ac＜０ Ｄb?4ac≤０

2

48.若二次函数y=ax+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0），则S=a+b+c的变化范围是 ( )

（A）01 (C) 1

22222yO 45题图 x0)、(x1，49.（10包头）已知二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴交于点(?2，0)，且1?x1?2，与y轴的正半轴的交2)的下方．下列结论：①4a?2b?c?0；②a?b?0；③2a?c?0；④2a?b?1?0．其中正确结论的个数点在(0，是 个．

2

50.（10 四川自贡）y=x＋（1－a）x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（ ）。A．a=5 B．a≥5 C．a＝3 D．a≥3 4、二次函数与方程不等式 222

51.y=ax+bx+c中，a<0，抛物线与x轴有两个交点A（2，0）B（-1，0），则ax+bx+c>0的解是____________; ax+bx+c<0的解是____________

2

52.已知二次函数y=x+mx+m-5，求证①不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；②当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短。

53.如果抛物线y=

122

x-mx+5m与x轴有交点，则m______ 2

54.（大连）右图是二次函数

2

y1=ax+bx+c和一次函数y2=mx+n的 图像，?观察图像

写出y2≥y1时，x的取值范围_______．

55. （10山东潍坊）已知函数y1＝x与函数y2＝－

2

1x＋3的图象大致如图，若y1＜y2，则自变量x的取值范围是（ ）． 233＜x＜2 B．x＞2或x＜－ 2233C．－2＜x＜ D． x＜－2或x＞

22A.－

56. （10江苏 镇江）实数X,Y满足x?3x?y?3?0则X+Y的最大值为 .

2

57.（10山东日照）如图，是二次函数y=ax+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1，若其与x轴一交点为A（3，0），

2

则由图象可知，不等式ax+bx+c＜0的解集是 .

2 4

五大板块―――1.重点 2.难点 3.考试易错点 4.提高能力点 5.思想方法拓展点 5、形积专题

58—63.(中考变式）如图，抛物线y??x2?bx?c与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D。交Y轴于C (1)求该抛物线的解析式与△ABC的面积。

(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点M，使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形，若存在，求出点P的坐标。若没有，请说明理由

.(3)若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点(不与A、B重合)，过E作EF与X轴垂直，交BC于F，设E点横坐标为x.EF的长度为L，

求L关于X的函数关系式？关写出X的取值范围？

当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E点的坐标？

.(4)在（3）的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H。当E点运动到什么位置时,以点E、F、H、D为顶点的四边形为平行四边形？

.(5)在（5）的情况下点E运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大？

5

五大板块―――1.重点 2.难点 3.考试易错点 4.提高能力点 5.思想方法拓展点

(6)若圆P过点ABD。求圆心P的坐标？

，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B． 64.(09武汉)如上图，抛物线y?ax2?bx?4a经过A(?1（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点D(m，m?1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；

222

65. 已知二次函数y=x-(m+8)x+2(m+6)，设抛物线顶点为A，与x轴交于B、C两点，问是否存在实数m,使△ABC为等腰直角三角形，如果存在求m;若不存在说明理由。

66.(08湛江)如图所示，已知抛物线y?x?1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． 求A、B、C三点的坐标．

过A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．

2y P A o C B 图11 x 67.在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG?x轴点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与?PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

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五大板块―――1.重点 2.难点 3.考试易错点 4.提高能力点 5.思想方法拓展点 6、二次函数极值问题 22y?ax?bx?cb68.二次函数中，?ac，且x?0时y??4，则（ ）

A.

y最大??4B.

y最小??4C.

y最大??3D.

y最小??3

22y?(x?1)?(x?3)69.已知二次函数 ，当x＝_________时，函数达到最小值。

70.（2008年潍坊市）若一次函数A.最大值

B..最大值

C.最小值

2的图像过第一、三、四象限,则函数

D.有最小值

（ ）

71.若二次函数y?a(x?h)?k的值恒为正值, 则 _____. A. a?0,k?0 B. a?0,h?0

C. a?0,k?0 D. a?0,k?0

72.函数y??x2?9。当-2

73.若函数y?x2?2x?3，当?4?x??2函数值有最 值为 7、二次函数应用利润问题 74.（2007年贵阳市）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱． （1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3分）

（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3分） （3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？（4分）

75随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资量x成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图12-②所示（注：利润与投资量的 单位：万元）

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五大板块―――1.重点 2.难点 3.考试易错点 4.提高能力点 5.思想方法拓展点 （1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；

（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？ 76.（09洛江）我区某工艺厂为迎接建国60周年，设计了一款成本为20元 ∕ 件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，其中工艺品的销售单价x（元 ∕ 件）

与每天销售量（件）之间满足如图3-4-14所示关系．

（1）请根据图象直接写出当销售单价定为30元和40元时相应的日销售量；

y（2）①试求出y与x之间的函数关系式；

②若物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价－成本总价）。

77.（泰安）某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图3-4-13①所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间也大致满足如图3-4-13②所示的一次函数关系．

y/亩 z/元 1200 3000 2700 800 x/元 O x/元 O 100 50

① ②

（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？

（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式；

（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值． 8、二次函数应用几何面积问题与最大最小问题 78.（韶关市）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym2. 求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？

BA

25m DC图4

8

五大板块―――1.重点 2.难点 3.考试易错点 4.提高能力点 5.思想方法拓展点 79.若要在围成我矩形绿化带要在中间加一道栅栏，写出此时Y与X之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围。 当X为何值时，绿化带的面积最大？ 二次函数与四边形及动点问题 80.如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动. （1）求AD的长；

（2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值；

81.（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由.

82.如图: 在一块底边BC长为80㎝、BC边上高为60㎝的三角形ABC铁板上截出一块矩形铁板EFGH , 使矩形的一边FG在BC边上, 设EF的长为x㎝, 矩形EFGH的面积为ycm. (1) 试写出y与x之间的函数关系式

(2) 当x取何值时, y有最大值? 是多少?

83.（09·泰安）如图3-4-29所示，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P是线段BC上一点（P不与B重合），M是DB上一点，且BP=DM，设BP=x，△MBP的面积为y，则y与x之间的函数关系式为 。

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2五大板块―――1.重点 2.难点 3.考试易错点 4.提高能力点 5.思想方法拓展点 84.如图，在等边三角形ABC中，AB=2，点D、E分别在线段BC、AC上（点D与点B、C不重合），且∠ADE=60. 设BD=x,CE=y. （1）求y与x的函数表达式；

（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

A0

EBCD

85.已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，?A?90，BC?CD?10，sinC?4(DM/CD=4/5) 5(1)求梯形ABCD的面积；

(2)点E，F分别是BC，CD上的动点，点E从点B出发向点C运动，点F从点C出发向点D运动，若两点均以每秒1个单位的速度同时出发，连接EF．求△EFC面积的最大值，并说明此时E，F的位置． D A

F

BC E

M N

86—89（08兰州）如图，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，． （1）在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求两点的坐标；

（2）如图19-2，若上有一动点（不与重合）自点沿方向向点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒（），过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．求四边形的面积与时间之间的函数关系式；当取何值时，有最大值？最大值是多少？

（3）在（2）的条件下，当为何值时，以为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点的坐标．

89—91（2010湖南长沙）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA?82cm,OC?8cm，

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五大板块―――1.重点 2.难点 3.考试易错点 4.提高能力点 5.思想方法拓展点 现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒． （1）用t的式子表示△OPQ的面积S；

（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；

（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y?12x?bx?c经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线4交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．

92.如图在△ABC中，AB与BC垂直。AB=12.BC=24.动点P从点A开始沿AB方向向B点以2/S的速度运动。动点Q从B点开始沿BC向C点以4/S的速度运动，如果P、Q分别同时从AB出发。

（1）如果△PBQ的面积为S，写出S与运动时间t的关系式及t的取值范围。当t为何值时面积S最大，最大是多少？

（2）在P、Q运动过程中当t为何值时△PQB与△ABC相似

93.（2010福建福州）如图，在△ABC中，∠C＝45°，BC＝10，高AD＝8，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F两点分别在AB、AC上，AD交EF于点H．

（1）求证：＝；（2）设EF＝x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大?并求其最大值；

AHEFADBC(第

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五大板块―――1.重点 2.难点 3.考试易错点 4.提高能力点 5.思想方法拓展点 （3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动(当点Q与点C重合时停止运动)，设运动时间为t秒，矩形EFFQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式．

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