线性代数习题与答案第六章(东大绝版)

这次在百度上终于能搜到东大的线代了 不要忘记你的学长啊!!!

第六章 习题解答 习题A 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量: 4 (1) 3 3

6 5 6

0 0 0; (2)0 11

010 6

1

1

0

0; (3) 0 0

0

3 100

1320

2

2

3

; (4) 2

5 3

2

152

1 1. 5

4

解 (1) E A

33

00

( 1) 2 ( 1)

2

2

56

2

,特征值

1

1 2, 2 3 1 . 6

对于 2, 2E A 3

3

636

0 1 0 0 0 3

130

0 1

3 0 00

110

0 1

1 0 00

010

1

1, 0

1

ξ1 1,kξ(k 0)为属于 2的全部特征向量. 111

1 3

对于 1,E A 3

3

666

0 1 0 0 00

200

0

0, 0

2 0

ξ2 1,ξ3 0,k2ξ2 k3ξ3(k2k3不同时为0)为属于 1的全部特征向量.

0 1

(2) E A 0

1

0 1

0 ( 1) 1 ( 1)

2

2

10

1 ,特征值

1 1, 2 3 1. 1

对于 1, E A 0

1

0 20

1 1 0 0 0 1

010

1 1

0,ξ1 0kξ(k 0)为属于 111

1 0

1的全部特征向量.

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1

对于 1,E A 0

1

000

1 1 0 0 01

000

1 0 1

0,ξ2 1,ξ3 0,k2ξ2 k3ξ3(k2,k3

1 0 0

不同时为0)为属于 1的全部特征向量.

1

(3) E A

000

3 1 3

2 3 5

( 1)( 1) 2 ,

2

100

20

2

特征值 1 1, 2 1, 3 4 2. 2

0

对于 1, E A

0 0

3000

1 3 30

2 1 3

0 5 0 3 0

32000

12100

1 1 1 0

0 2 00

32000

0100

0 0 , 1 0

3

1 2

k1ξ1(k1 0)为属于 1的全部特征向量. ξ1

2 0 0 0

0

对于 1,E A

0 0 0 0 0 0

1000

0100

3200

1 3 10

2 0 30

0 5 1 0

3200

1 3 10

0 0

00

00 1 0

3200

0010

0

0 0 1

0 1 00

,ξ ,kξ(k不同时为0)为属于 1的全部特征向量.

2222

0 1

0 0

3300

1 300

2 1

30

0 5 0 0

0100

4 100

5 1

10

01 0 0

0100

4 100

0

0 , 1 0

1 0

对于 2,2E A

0 0

4 1 ,kξ(k 0)为属于 2的全部特征向量. ξ3 333 1 0

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2

(4) E A

23

1 1 1

( 4)( 8 16) 4 ,特征值

2

3

5 2

5

1 2 3 4. 2

对于 4,4E A 2

3

1 1 2

1 1 1 2 0 1

1 10

0 1

1 0 00

110

0 1

1 0 00

010

1

1, 0

1

ξ 1,kξ(k 0)为属于 4的全部特征向量.

1

2. 上题的哪些矩阵能与对角矩阵相似?在能与对角矩阵相似时,求出所用的相似变换矩阵和

对角矩阵. 1

解 (1)能.P 1

1 1 1

PAP 1

1

2 1 2

210

0 1 1

0,则P 1 11

6 5 6

0 1

01 1 1

010

2 1 2 210

0

0, 1 0 2 0 0

1 0

010

0

0. 1

0 4

0 3 1 3

1

(2)能. P 0

1

010

1

0,则P 1 1

1

2 0 1 2 1 1 2 0 0 0 1 2

1 2 0 , 1 2 1

12

0 0

0 1

2

1 1

PAP 0

1

010

1 0 00 1 1

010

010

010

0

0. 1

(3)不能,因为线性无关的特征向量少于4个.

(4)不能,因为线性无关的特征向量少于3个.

3.试求正交相似矩阵,将下列实对称矩阵化为对角矩阵. 3 (1) 2 0

222

0 3

2; (2)1

21

13 2

4

2

1

2; (3) 00

1

1410

014 1

1 0 . 1 4

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3

解 (1) E A

20

20

2 6 3 10 ( 2)( 1) 5 ,

3

2

2 2

1

特征值 1 2, 2 1, 3 5. 1

对于 2,2E A 2

0

20 2

0 1 2 0 01

24 2

1

0

2 0 1 0

010

1 1 , 2 0

2 2

1 1 ξ1 1.单位化, ε1 1.

2 3 2 2

4

对于 1, E A 2

0 1 0 0

010

2 3 2

0 2

2 0

0 2

340

2 2

4 0 00

010

1

1 0

1

1 1 2 1 1

2. 2,单位化, ε2 1 ,ξ2

3 2 2 2 0

2

对于 5,5E A 2

0 2 1 ε3 2.

3 1

23 3

0 1 2 0 04

110

0 1

2 0

0 0

010

2 2

2,ξ3 2,单位化, 1 0

2

3 1

用ε1,ε2,ε3组成正交矩阵Q

3 2 3

13 23

23

2 3

2

2 1

,使QAQ 3 1 3

1

. 5

3

(2) E A

1 2

1 2

2 6 32 ( 2)( 4),

3

2

2

32

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特征值 1 2, 2 3 4.

1

2

12 0

6

0

010

1 2 1 , 2 0

5

对于 2, 2E A 1

2

1 52

2 1 2 0 0 2

52412

1 1

1 ξ1 1.单位化

, ε1 1.

2 2 2 1

对于 4,4E A 1

2

112

2 1 2 0

04

100

2 1 2

0,ξ2 1,ξ3 0,正交化

0 1 0

1 1 1 2 1 1

2

1,ε3 1, β2 1,β3 0 1 1,单位化

, ε21

2 0 1 0 1 0 1

用ε1,ε2,ε

3组成正交矩阵Q

0

4

1

QAQ ,使

4

. 2

4

(3) E A

101

10 1

101

( 4)( 2)( 6),

2

4 10

41

4

特征值 1 2, 2 6, 3 4 4. 2

1

对于 2,2E A

0 1

1 2 10

0 1 21

1 1 00

01 2 0

231 2

1220

0 1

10

0 1 2 0

2100

12 4 2

0

1 4 2

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1 0 0 0

2100

0010

1 1 10

0 1 0 0

0100 12 10

00100 121

1 1 1

1 1 11 ,ξ .单位化, ε .

11

1 1 2 1

0 11 1 1 00

01 2 0

02 1 1

102 2

2 1

20

01 3 0

0100

102 2

2

1 2 2

2 1 对于 6,6E A 0 1 1 0 0 0

0100

0010

1 1 1 1 1 11 ,ξ .单位化, ε .

21

1 1 2 1

0 11

10 10

0 101

1 1

00

01 0 0

0100

1000

0 1 0

01 1

,ξ .ξ,ξ ,ξ

3434

1 0 0

0 0 1

0

1

对于 4,4E A

0 1

1 0 0 1

恰正交,单位化

, ε3 ,ε4 .

1 0 0 1

1

2 1 2

由ε1,ε2,ε3,ε

4组成正交矩阵Q

1 2 1 2

121212

100

0

2 1

,使QAQ

0

6

4

. 4

12

0 0

4.已知矩阵A

0 a0

100 a1

010 a2

0 0 , 1 a3

(1)求A的特征多项式;

(2)如果 0是A的特征值,证明(1, 0, 0, 0)是属于 0的特征向量. 解 (1)

2

3T

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E A

00a0

10 1

00 1a3

4

0a1

0

a1

10 1

a0

a2

a2

3

a3

2

32

a3 a2 a1 a0 a3 a2 a1 a0;

1 0

(2)因为A

2

0 3 0 0 0

0 a0

100 a1

010 a2

0 1 0 0

2

1 0

a3 03

0

2

0

3

23 a0 a1 0 a2 0 a3 0

0 2 0 3 0 4 0 1

0 23T

(1, , , )是属于 0的特征向量. ,所以 0000 2

0

3

0

5.设A2 E,证明A的特征值只能是1或-1.

证 设 为A的特征值,ξ是属于 的特征向量,则A ξ,左乘A得

A Aξ ( ξ) ξ.

2

2

因为A2 E,所以ξ 2ξ.即 1 2 ξ 0,但ξ 0,所以1 2 0,从而 1或 1. 6.设A是n(n 1)阶非零矩阵,且有正整数k使A 0,证明A不能与对角矩阵相似. 证 用反证法.设n阶非零矩阵A与对角矩阵Λ相似,因为A 0,所以对A ξ式左乘

k 1次A,得 kξ 0,又因ξ 0,故 k 0,即 0,可见与A相似的对角矩阵Λ为零矩阵,

k

k

由QAQ 0得A Q0Q

1 1

0,与A为非零矩阵矛盾.

7.设A为n阶矩阵,证明A和AT有相同的特征值. 证 因为 E A

T

E A E A E A

T

T

T

TT

E ,可见A和AT有

相同的特征多项式,所以有相同的特征值.

8.设 1, 2是A的两个不等的特征值, ξ1,ξ2分别是属于 1, 2的特征向量,证明ξ1 ξ2不是

A的特征向量.

Aξ2 ξ2,2证 由题设有Aξ1 1ξ,所以A ξ1 ξ1

2

Aξ

1

Aξ2 ξ1 1 ξ2,如2果

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ξ1 ξ2是A的特征向量, 0为对应的特征值,则有

A ξ1 ξ

2

0 ξ

1

ξ

2 ξ

01

ξ, 0

2

于是 1ξ1 2ξ2 0ξ1 0ξ2,即 1 0 ξ1 2 0 ξ2 0,因为ξ1,ξ2属于不同的特征值,所以它们线性无关.由上式得 1 0 0, 2 0 0, 1 2与题设矛盾,所以ξ1 ξ2不是A的特征向量. 9.设A与B相似,证明

(1)detA detB; (2)AT与BT相似; (3) A是可逆矩阵的充要条件是B为可逆矩阵,且A 1与B 1相似.

证 (1)因为A B,所以 E A E B,令 0,则 A B,即( 1)A ( 1)B,所以A B.

(2)因为AT与BT相似,所以A P 1BP,转置得AT P 1BP PTB

Q P

T

T

T

nn

P

T

1

,记

1

T

,则P Q ,于是有A QBQ,即AT与BT相似;

1

TTT

(3)必要性:设A可逆,则A 0,由B P 1AP得B P 1AP A 0,所以B可逆. 充分性:设B可逆则B 0,由B P 1AP得P 1AP B 0,即A 0所以A可逆. 另外,对B P 1AP两边取逆矩阵,得B

1

1

1

PAP

1

1

PA

1 1

P

1

1

PAP,可见

1 1

B A.

10.设A,B都是n阶矩阵,且detA 0,证明AB与BA相似.

证 因为A 0,所以A可逆,于是由A 1 AB A A 1A BA BA知AB BA.

A

11.设A与B相似,C与D相似,证明

0

0 B 与 C 0

0

相似. D

证 设A P 1BP,C QDQ,则 A 0

0 P 1BP C 0

0 B 与 C 0

1

P 1 1

QDQ 00

0

相似. D

0 B 1 Q 00 P D 00 , Q

A所以

0

12.证明:n阶矩阵A可逆的充分必要条件是它不以0为其特征值.

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证 必要性:设A可逆, 为A的特征值,ξ是属于 的特征向量,则Aξ ξ,即 A ξ 0,如果 0,则Aξ 0,又因ξ为非零向量,所以A 0,与A可逆矛盾.

充分性:设n阶矩阵A的特征值都不是0,则由 1 2 n A,知A 0,即A可逆. 13.已知 是n阶可逆矩阵A的一个特征值,试确定A 1与A的伴随矩阵A*的特征值. 解 设ξ是A的属于特征值 的特征向量,则Aξ ξ,左乘A 1得ξ A 1 ξ,即A 1ξ 所以

1

1ξ,

是A 1的一个特征值.

1

又由A

1A

A得A AA

** 1

,Aξ AAξ A

* 1

1

ξ,所以

A

是A*的一个特征值.

14.设3阶实对称矩阵A的特征值 1 6, 2 3 3,ξ 1,1,1 是属于特征值 6的一个特征向量,求A.

解 设属于特征值 3的特征向量为 x1,x2,x3 ,则由正交性有x1 x2 x3 0,所以属于特征值 3的两个线性无关的特征向量为ξ2 1,1,0 ,ξ3 1,0,1 .于是有

1 1

1

110

1 1 1 1 0A110 1 01 1

1

T

T

T

T

6

0 0

0 3, 0

0 3

1

所以A 1

1

110

1 6 00 1 0

030

0 1

01 3 1

110

1

0 1

1

1

1 1

110

1 6 00 1 0

030

1

0 3

1 0 33 1 3

1323 13

1 3

41 13 12 3

141

1 1. 4

15.设2阶矩阵A的特征值为1,-5,与特征值对应的特征向量分别为 1,1 , 2, 1 ,求A. 1

解 由

1

2 1

1

TT

1A 12 1 1 00 1

A ,得

5 12 1

1 00 1 5 12 1

1

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1 1 10 1 1

5 3 12 1 9

1 3 6 12 3

3 24 . 1

1

16.设矩阵A x

3

1

PAP D。

14 3

1 2

2与D

5

2

相似，求x,y，并求一个可逆矩阵P，使 y

解 因相似矩阵的行列式相等，而A 2x 20,D 4y，所以有2x 20 4y，即

x 2y 10 0，又因为相似矩阵的迹相等，所以有2 2 y 1 4 5，即y 6，这样x 2y 10 12 10 2。

1

于是A 2

3

14 3

1 2

2，D

5

1 23

2

，A的特征值为 1 2 2, 3 6。 6

1

对于 2，2E A 2

3 1 1 2 0 0 3

1

1 2 0 1

0

010

100

1 1 1

0，ξ1 1,ξ2 0，

1 0 0 1 1

33

1

2 2 1 2

，ξ3 ， 3 3 3 3 0 1

5

对于 6，6E A 2

3

123

1

以ξ1,ξ2,ξ3为列向量组成矩阵P 1

0

101

1 2 1

2，使PAP 3

2

。 6

17.设A

1 2 2 n

，求A（n是正整数）. 1

解 由 E A

1

2

2

1

( 1) 4 ( 3)( 1)，

2

得A的特征值 1 1, 2 3. 对于 1， E A

2 2

2 1

2 0

1 1

ξ ，1 ， 0 1

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对于 3，3E A

2 22 1

2 0

1 1

1 1

，ξ 2 ， 0 1

0 1

，A P 3 0

0 1

P, 3

以ξ1,ξ2,为列向量组成矩阵P

n

1 1 1

，使PAP 1 0

1

，所以 1

1

于是An P

0 1n

A

1

1 1 1 0

0 1 1 1 1

而P P,

2 13

0 1 11 1 1

3 2 11 2 1

n

1 1 1 0

n

0 11

n

3 11

n

1 1

2 1 n nnn

3 11 1 1 3

nn 1n13 1 3 2

1 1

n

n

n

3

。 n 3

18.设A

4 21 n

。 ，求A（n是正整数）

1

解 由 E A

4

2

1

1

( 4)( 1) 2 5 6 ( 2)( 3)，

2

得A的特征值 1 2, 2 3.

2

对于 2，2E A

2 1

33E A 对于，

2

1 1 1

0

1 1

2 0 1 2

1 1

1 1

， 2 ，ξ1 2

2 2 0 1

1 1 ξ ，2 ， 0 1

0 2

A P， 3 0

0 1

P, 3

以ξ1,ξ2,为列向量组成矩阵P

2n

于是A P

0

0 1 1

P 3 2

n

1 2 1

PAP ，使

1 0

1 2n 1 00 1n 3 2

1 2n

1 2 2n

n

n

3 1n 3 2

1 1

2n 2 3n nn

2 2 2 3nnnn 2 3 2 3 2

n 1

nn n

2 2 3 2 2 3

3 22

n 1

n

。 n 3

习题B

1． 设A是3阶矩阵，且E A,2E A及E A都是不可逆矩阵，求行列式detA.

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解 由题设有E A 0,2E A 0,E A E A ( 1) E A 0，可见，

3

A的特征值分别为1，2，-1。所以A 1 2 ( 1) 2。

2．试构造一个3阶实对称矩阵A，使其特征值为 1 2 1, 3 1，且有特征向量

ξ1 1,1,1 ,ξ2 2,2,1 。

T

T

解 显然，ξ1,ξ2线形无关，所以它们是属于特征值 1的特征向量（否则它们应正交）。

x1 x2 x3 0T

设属于特征值 1的特征向量为ξ3 x1,x2,x3 ，则应当有 ，

2x1 2x2 x3 0

由此解得ξ3 k,k,0 ,(k 0)，不妨取ξ3 1,1,0 。则由ξ1,ξ2,ξ3作为下列向

T

T

1

量构成矩阵P 1

1 1 A P

1 A 1

1 01 22 0

200221

1 P 1 1 1 1 0 0 00 0 0 1

2 0

040

010100

221

1 1

1

1 ，使得PAP

0

1

1

，所以

1，又因为P

1

1

1 12 1

221

111

4 2 0

，所以

0 1

1 0 1

2 1 10 0 。 1

111

4 1

1 2 1

2 0 11 1

1 1

0 1

11

4

2 0

=

1

3．设矩阵A 1

3 3

x 与对角矩阵相似，求x。 1

解 A的特征多项式

1

E A

13

03

x ( 4)

40

13

3

1

1

( 4)( 2)。

2

A的特征值 1 2 4, 3 2。因为A与对角矩阵相似，所以对于2重特征值 4

应有两个线形无关的特征向量，而这时，

这次在百度上终于能搜到东大的线代了 不要忘记你的学长啊!!!

3

4E A 1

0

000

3 1 x 1

00

000

1 1

x 0

00

000

x 1 。可见，只有0

1

x 1 0即x 1时，才有两个线形无关的特征值。

4．设x的多项式f(x) cmxm cm 1xm 1 c0，A是一个n阶矩阵，定义

f(A) cmA

m

cm 1A

m 1

c0E。如果 是n阶矩阵A的一个特征值，证明f( )是

矩阵f(A)的一个特征值。

证 设ξ是A的属于特征值 的特征向量，则

Aξ ξ,Aξ Aξ ξ,Aξ Aξ ξ, ,Aξ A

2

2

3

2

3

m

m 1

ξ ξ，于是，

m

f(A)ξ cmAξ cm 1A (cm

m

mm 1

ξ c0Eξ cm ξ cm 1

mm 1

ξ c0ξ

cm 1

m 1

c0)ξ f( )ξ

所以f( )是矩阵f(A)的一个特征值。

5．设f(x)是x的多项式，若P 1AP B，证明P 1f(A)P f(B)。 证 由P 1AP B得P 1APP

这样 P

1

1

2

即P 1A2P B2，同理有PAP B，

1

AP B(n 3)

nn

f(A)P P

1 1

(cnA

nn 1n

n

cn 1A

1

n 1

c0E)P

n 1n 1

PcnAP Pcn 1A cnPAP cn 1PA cnB

cn 1B

n 1

1

P Pc0EPP c0PEP

1

1

c0E f(B)

6．设A是n阶矩阵，且有多项式f(x)使f(A) 0，证明：如果 是A的特征值，那么

f( ) 0。

mm 1

c0为m次多项式， 证 设f(x) cmx cm 1x

f(A) cmA

2

m

cm 1A

2

m 1

c0E 0。因为 是A的特征值，则有

m

m

Aξ ξ,Aξ ξ, ,Aξ ξ，于是f(A)ξ f( )ξ（见第4题）。即f( )ξ 0。

因为ξ作为属于 的特征向量是非零向量，所以f( ) 0。

7．设ξ是矩阵A的特征值 对应得特征向量，P是可逆矩阵，试求矩阵PAP的特征值

1

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对应的特征向量。

解 由Aξ ξ左乘P 1得P 1Aξ P 1ξ，这一等式可改写为P 1A(PP

(P

1

1

1

即)ξ Pξ，

1 1 1 1

AP)Pξ Pξ，可见Pξ是PAP的属于 的特征向量。

8.设A,B都是n阶是对称矩阵，证明A与B相似的充分必要条件是A,B有相同的特征值。 证 必要性：设A B，则存在可逆矩阵P使B P 1AP，这样

E B E PAP P

1 1

E A P

P

1

E AP E A，

可见A,B有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。

充分性：设A,B的特征值为 1, 2, , n且 diag( 1, 2, , n)，则A ，B ，由相似关系的传递性知A B。

9.如果n阶矩阵A的各行元素之和都是零，证明0是A的一个特征值，并试求特征值0的一个特征向量。 a11 a21 A 证 设

an1 a11 a21 则 an1

a12a22 an2

a12a22 an2

a1n

a2n

， ann

a1n 1 0 1

a2n101

0 。

ann 1 0 1

T

可见0是A的一个特征值，且(1,1, ,1)是A的属于特征值0得特征向量。 10.设A是正交矩阵，且detA 0，证明-1是A的特征值。 证 因为正交矩阵的行列式为1或-1，所以A 1，由于 ( 1)E A AA A A A E A A E

T

T

T

T

A E

TT

E A

所以2 E A 0，即 E A 0，由此得-1是A的一个特征值。

11.已知A,B分别为m n和n m矩阵，证明AB与BA有相同的非零特征值。 En

证 作m n阶方阵C

A

kB

，k为非零常数，则有 Em

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En A EnC A

0 En

C Em A0 En

Em AEn A

0Em

0 En

Em AkB En

Em A

kB En

Em 0 ,

Em kAB

kB , Em

kB

0 En kBA Em 0

取行列式得

C EnEm kAB Em kAB,

C

En A

0Em

En kBAEm En kBA，

所以有Em kAB En kBA,(k 0)。 设 是BA的非零特征值，则

11 n

0 En BA En BA En BA

n

Em

1

AB

n m

Em

AB

1

n m

Em AB

所以 Em AB 0，即 也是AB的非零特征值。 12.设A2 A，证明A能与对角矩阵相似。

证 设A为n阶方阵，且R(A) r，因为A2 A，即A E A 0，所以R(A) R E A n（ ）由此得R E A n r。

又设 为A的任一特征值，ξ是属于 地特征向量，则Aξ ξ，

2

于是Aξ A Aξ Aξ ξ ξ，所以有 ξ ξ，由此得 1, 0.

22

对于 1, E A E A，因此R E A n r，所以属于 1的线性无关的特征向量有r个，记为ξ1,ξ2, ,ξr，

对于 0, E A A，因为R A r，所以R A r，所以属于 0的线性无关的特征向量有n r个，记为ξr 1,ξr 2, ξn，

用ξ1,ξ2, ,ξr，ξr 1,ξr 2, ξn作为列向量构成n阶可逆阵P，使得

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1 1

PAP

1

Er 0

0

0 Er

，这说明相似于对角阵A 0 00

。 0

（ ）式的证明：由A2 A，得A A2 0，即R E A R

A n。（参见第四章习题

E A A

0，所以

B第5题），另一方面，

（参见第三章习题A第16题），总之有n R E R E A A R E A R A 。R E A R A n。

,3 ，3对应的特征向量为13.设三阶矩阵A的特征值为 1 1, 2 2

1

ξ1 1

1 ξ,

2

1 2 4 1 1

ξ,3 ，又向量3β 1。 3 9

（1）将β用ξ1,ξ2,ξ3线性表出；（2）求Anβ（n为正整数）。 11

解 （1）因 ξ1,ξ2,ξ3,β 12

14

11 1

31 0

093

111 10

120 01

00 382 11

20

22

10

01

00 11 100

20 010

001 11 2

2，所以β 2ξ1 2ξ2 ξ3。 1

22

i 1,2,3)左乘A得Aξi iAξi i iξi iξi，依此可得（2）由Aξi iξ(，i

Aξi iξi(i 1,2,3)，于是

nn

Aβ A

n

1

nn

2ξ1 2ξ2 ξ3 2Anξ1 2Anξ2 Anξ3

n2

n3

2 ξ1 2 ξ2 ξ3

1 n n

2 11 2 2

1 1 n2 3 4

1 2 2 3 n 2n 13 2 2 3 9 n 3n 2

3 2 2

n 1n

14.社会调查表明，某地劳动力从业转移情况是：在从事农业生产的人员中每年有3/4改为从事非农业工作，在非农从业人员中每年有1/20改为从事农业生产，到2000年底该地从事农

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业生产和从事非农业工作人员各占全部劳动力的1/5和4/5，试预测到2010年底该地劳动力从业情况以及经过多年之后该地劳动力从业情况的发展趋势。

解 设第n年底从事农业生产人员的百分比为xn，从事非农业工作人员为yn，则第n 1年底，有关系式

xn 1 1x1n yn 420

，

yn 1 34x19n 20yn

11

11 n

即 xn 1 420

xn 1 420

yn 1

319 xn

y ，由此得n

y n 1 319 x1 ( )

y1 4

20

4

20

11

记

A

420 1 319 1 5 20 19 ，

4

20 15

由

5

1

2

15

19

( 5)( 19) 15 24 80 ( 4)( 20) 得A得特征值

4

120

5

, 2012

20

1，

属于 1

5得特征向量为ξ 1 1

1 1 ，属于 1的特征向量为ξ 2 15 。

11 1

由此 11

0 420 11 1 ，

115

319 5

420 115

01

11

420 11 10 11 1 11 1

0

1 15 319 115 5

420 01 115 5 115 01

16 1 11 10

420 1

10

319 11 0

1 15

1

115 5

4

20

1 0

16 1 1

1

1

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1 1

16 1

11 10

515 0

0 15 1 1

1

1

15 11 510

16 15

10 15 5 110 5

1

10 15 5

,n 10得

15

1 1 510

16 15 15 10 5

1

110 55

1 4 10 15 5 51

1

1

x1 5

在( )式中令

y1 4

5

1434

1 20 19 20

10

x2010

y2010

1 5 4 5

1

1

1 511

1116 15 11

5

。

由此可见，到2010年底该地从事农业生产人员和从事非农业工作人员各占比例分别为

1 11 1 1 和。 15 1 11 11 16516 5

当n增大时，此比例超于

116

和

516

，约为6%和94%。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kd74.html