《电动力学》知识点归纳及典型试题分析

《电动力学》知识点归纳及典型试题分析

一、试题结构 总共四个大题：

1．单选题（10?2'）：主要考察基本概念、基本原理和基本公式，

及对它们的理解。

2．填空题（10?2'）：主要考察基本概念和基本公式。

3．简答题 (5?3')：主要考察对基本理论的掌握和基本公式物理意

义的理解。

4. 证明题 （8'?7'）和计算题（9'?8'?6'?7'）：考察能进行简单

的计算和对基本常用的方程和原理进行证明。例如：证明泊松方程、电磁场的边界条件、亥姆霍兹方程、长度收缩公式等等；计算磁感强度、电场强度、能流密度、能量密度、波的穿透深度、波导的截止频率、空间一点的电势、矢势、以及相对论方面的内容等等。

二、知识点归纳

????B??E?????t???D???J;（此为麦克斯知识点1：一般情况下，电磁场的基本方程为：???H???t???;???D????B?0.??韦方程组）；在没有电荷和电流分布（??0,J?0的情形）的自由空间（或均匀

1

????B??E?????t???D?;（齐次的麦克斯韦方程组） 介质）的电磁场方程为：???H???t??0;???D????B?0.?

知识点2：位移电流及与传导电流的区别。

答：我们知道恒定电流是闭合的： ??J?0.?恒定电流?

在交变情况下，电流分布由电荷守恒定律制约，它一般不再闭合。一般说来，在非恒定情况下，由电荷守恒定律有

???0. ??J???t现在我们考虑电流激发磁场的规律：??B??0J.?@? 取两边散度，由于

????B?0，因此上式只有当??J?0时才能成立。在非恒定情形下，一般有

??J?0，因而?@?式与电荷守恒定律发生矛盾。由于电荷守恒定律是精确的普

遍规律，故应修改?@?式使服从普遍的电荷守恒定律的要求。

把?@?式推广的一个方案是假设存在一个称为位移电流的物理量JD，它和电流

J合起来构成闭合的量 ???J?JD??0,?*?并假设位移电流JD与电流J一样产

生磁效应，即把?@?修改为 ??B??0?J?JD?。此式两边的散度都等于零，因而理论上就不再有矛盾。由电荷守恒定律 ??J?????0.电荷密度?与电场散度有关系式 ??E?.两式合起来?t?0?E??得：???J??0??0.与?*?式比较可得JD的一个可能表示式

?t???E. ?t位移电流与传导电流有何区别：

位移电流本质上并不是电荷的流动，而是电场的变化。它说明，与磁场的变化会感应产生电场一样，电场的变化也必会感应产生磁场。而传导电流实际上是电荷的流动而产生的。

知识点3：电荷守恒定律的积分式和微分式，及恒定电流的连续性方程。

JD??0 2

???J?ds??dV???tV答：电荷守恒定律的积分式和微分式分别为：S

?????J??0?t恒定电流的连续性方程为：??J?0

知识点4：在有介质存在的电磁场中，极化强度矢量p和磁化强度矢量M各的定义方法；P与?P；M与j；E、D与p以及B、H与M的关系。

答：极化强度矢量p：由于存在两类电介质：一类介质分子的正电中心和负电中心不重和，没有电偶极矩。另一类介质分子的正负电中心不重和，有分子电偶极矩，但是由于分子热运动的无规性，在物理小体积内的平均电偶极矩为零，因而也没有宏观电偶极矩分布。在外场的作用下，前一类分子的正负电中心被拉开，后一类介质的分子电偶极矩平均有一定取向性，因此都出现宏观电偶极矩分布。而宏观电偶极矩分布用电极化强度矢量P描述，它等于物理小体积?V内的

?总电偶极矩与?V之比，P??p?Vi.pi为第i个分子的电偶极矩，求和符号表示

对?V内所有分子求和。 磁化强度矢量M：

介质分子内的电子运动构成微观分子电流，由于分子电流取向的无规性，没有外场时一般不出现宏观电流分布。在外场作用下，分子电流出现有规则取向，形成宏观磁化电流密度JM。分子电流可以用磁偶极矩描述。把分子电流看作载有电流i的小线圈，线圈面积为a，则与分子电流相应的磁矩为： m?ia.

介质磁化后，出现宏观磁偶极矩分布，用磁化强度M表示，它定义为物理小体积?V内的总磁偶极矩与?V之比，

m? M??Vi.

?????????B?P???P,jM???M,D??0E?P,H??M

?0知识点5：导体表面的边界条件。

答：理想导体表面的边界条件为：

n?E?0,?n?D??,???。它们可以形象地??n?H??.?n?B?0.?表述为：在导体表面上，电场线与界面正交，磁感应线与界面相切。

知识点6：在球坐标系中，若电势?不依赖于方位角?，这种情形下拉氏方程的通解。

3

答：拉氏方程在球坐标中的一般解为：

??R,?,?????anmRn?n,m??bnm?mdnm?m?n??Pcos?cosm??cR??n?nm?Pn?cos??sinm? ?n?1n?1R?R?n,m?式中anm,bnm,cnm和dnm为任意的常数，在具体的问题中由边界条件定出。Pnm?cos??为缔合勒让德函数。若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，则电势?不依赖于方位角?，这球形下通解为：

b?? ?＝??anRn?nn?1?Pn?co?s?,Pn?co?s?为勒让德函数，an和bn是任意常数，由

R?n?边界条件确定。

知识点7：研究磁场时引入矢势A的根据；矢势A的意义。

答：引入矢势A的根据是：磁场的无源性。矢势A的意义为：它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。只有A的环量才有物理意义，而每点上的A（x）值没有直接的物理意义。

知识点8：平面时谐电磁波的定义及其性质；一般坐标系下平面电磁波的表达式。

答：平面时谐电磁波是交变电磁场存在的一种最基本的形式。它是传播方向一定的电磁波，它的波阵面是垂直于传播方向的平面，也就是说在垂直于波的传播方向的平面上，相位等于常数。 平面时谐电磁波的性质：

（1）电磁波为横波，E和B都与传播方向垂直； （2）E和B同相，振幅比为v；

（3 E和B互相垂直，E×B沿波矢k方向。

知识点9：电磁波在导体中和在介质中传播时存在的区别；电磁波在导体中的透射深度依赖的因素。

答：区别:（1）在真空和理想绝缘介质内部没有能量的损耗，电磁波可以无衰减地传播（在真空和理想绝缘介质内部）；（2）电磁波在导体中传播，由于导体内有自由电子，在电磁波电场作用下，自由电子运动形成传导电流，由电流产生的焦耳热使电磁波能量不断损耗。因此，在导体内部的电磁波是一种衰减波（在导体中）。在传播的过程中，电磁能量转化为热量。 电磁波在导体中的透射深度依赖于：电导率和频率。

知识点10：电磁场用矢势和标势表示的关系式。

??B???A?A 答：电磁场用矢势和标势表示的关系式为：?E???????t?

知识点11：推迟势及达朗贝尔方程。

4

答：推迟势为：

??x,t?????x',t??4??0rdv'

??r?c?r??J?x',t???c?'A?x,t??0??dv4?r?21?2A??A?22???0Jc?t?1?2???2达朗贝尔方程为：????22??

?0c?t?1???????A??0??2?c?t???

知识点12：爱因斯坦建立狭义相对论的基本原理（或基本假设）是及其内容。

答：（1）相对性原理：所有的惯性参考系都是等价的。物理规律对于所有惯性参考系都可以表为相同的形式。也就是不论通过力学现象，还是电磁现象，或其他现象，都无法觉察出所处参考系的任何“绝对运动”。相对性原理是被大量实验事实所精确检验过的物理学基本原理。（2）光速不变原理：真空中的光速相对于任何惯性系沿任一方向恒为c，并与光源运动无关。

知识点13：相对论时空坐标变换公式（洛伦兹变换式）和速度变换公式。

x?'x?vtv1?2c2x?x'?vt'v21?2c

y'?y答：坐标变换公式（洛伦兹变换式）：z'?zvx2'ct?v21?2ct?y?y' 洛伦兹反变换式：z?z't'?t?v'x2cv21?2c 5

?????????而：n?(D2?D1)??f?0,即：n?D1?n??0E1?0，?n?E1?0。导体内电场

方向和法线垂直，即平行于导体表面。

???12、 设A和?是满足洛伦兹规范的矢势和标势，现引入一矢量函数Z?x,t?（赫

?1?Z?. 兹矢量），若令????Z,证明A?2c?t?证明：A和?满足洛伦兹规范，故有

?1????A?2?0.

c?t???????Z代入洛伦兹规范，有：??1????1?Z????A?2????Z?0,即??A＝???2???tc?c?t?

??1?Z?A?2.c?t

??2、 计算题：

1、真空中有一半径为R0接地导体球，距球心为a?a?R0? 处有一点电荷Q，求空间各点的电势。

解：假设可以用球内一个假想点电荷Q'来代替球面上感应电荷对空间电场的作用。由对称性，Q'应在OQ连线上。关键是能否选择Q'的大小和位置使得球面上

?＝0的条件使得满足？

QQ' 考虑到球面上任一点P。边界条件要求 ?'?0.式中r为Q到P的距离，

rrr'Q'因此对球面上任一点，应有 由图可看???常数。（1）r为Q到P的距离。rQ''出，只要选Q'的位置使?OQ'P~?OPQ,则

r'R0＝?常数。（2） 设Q'距球心为b，两三角形相似的条件为ra2RR0R0b?,或b?.?3?由（1）和（2）式求出 Q'??0Q.(4)（3）和（4）式确

aR0aa 16

定假想电荷Q'的位置和大小。

由Q和镜象电荷Q'激发的总电场能够满足在导体面上?＝0的边界条件，因此是空间中电场的正确解答。球外任一点

p

的电势是：

Q??R01?QR0Q?1?Qa? 式中r?＝???'??22?4??0?rar?4??0?R2?a2?2Racos?R?b?2Rbcos?????为由Q到P点的距离，r'为由Q'到P点的距离，R为由球心O到P点的距离，

?为OP与OQ的夹角。2、两金属小球分别带电荷?和－?，它们之间的距离为l，求小球的电荷（数值

和符号）同步地作周期变化，这就是赫兹振子，试求赫兹振子的辐射能流，并讨论其特点。

??1??ikRB?Pesin?e?,4??0c3R解：可知赫兹振子激发的电磁场：（取球坐标原点在

??1??ikRE?Pesin?e?.24??0cR电荷分布区内，并以P方向为极轴，则可知B沿纬线上振荡，E沿径线上振荡。）。赫兹振子辐射的平均能流密度为：

?1?????p??cc?2?S?ReE*?H?ReB*?n?B?Bn?s23222?02?032??0cR??????22?i?n. n因子sin2?表示赫兹振子辐射的角分布，即辐射的方向性。在??900的平面上辐射最强，而沿电偶极矩轴线方向???0和??没有辐射。

3、已知海水的 ?r?1,??1s?m?1 试计算频率 v为50、106和109Hz的三种电磁波在海水中的透入深度。

解：取电磁波以垂直于海水表面的方式入射，透射深度

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?＝1??2?????r?1????0?r??0?4??10?7?1?v?50Hz时：?1?2?v?106Hz时：?2?3?v?109Hz时：?3?22?72m

2??50?4??10?7?12?0.5m6?72??10?4??10?12?16mm9?72??10?4??10?1???2??????2???4、电荷Q均匀分布于半径为a 的球体内，求各点的电场强度，并由此直接计算电场的散度。

解：作半径为r的球（与电荷球体同心）。由对称性，在球面上各点的电场强度有相同的数值E，并沿径向。当r?a时，球面所围的总电荷为Q，由高斯定理得

2E?ds?4?rE??Q?0,

Qr.?r?a??@? 4??0r3 因而 E?Q4??0r2,写成矢量式得 E?4343QQr3?3. 若r?a,则球面所围电荷为： ?r???r433a?a33Qr3应用高斯定理得：?E?ds?4?rE?. 3?0a2由此得 E?Qr.?r?a??*? 34??0a现在计算电场的散度。当r?a时E应取?@?式，在这区域r?0，由直接计算可得 ??r?0,?r?0? 3r 因而 ??E?Q4??0??r?0.?r?a? 3rQ4??0a??r?33Q??.?r?a?

4??0a3?0当r?a时E应取?*?式，由直接计算得 ??E? 18

5、一半径为R的均匀带电球体，电荷体密度为?，球内有一不带电的球形空腔，其半径为R1，偏心距离为 a，（a?R1?R）求腔内的电场。

解：这个带电系统可视为带正电????的R球与带负电的????的R1球的迭加而成。因此利用场的迭加原理得球形空腔的一点M之电场强度为：????????'E?r?r3?03?0?3?0??3?0????r?r?'

?a6、无穷大的平行板电容器内有两层介质，极板上面电荷密度为??f 求电场和束缚电荷分布。

?n??E2?E1??0,?n??H?H???,?21?*?应用于下解：由对称性可知电场沿垂直于平板的方向，把???n?D?D??,21???n??B2?B1??0.板与介质1界面上，因导体内场强为零，故得 D1??f.同样把?*?式应用到上板

?f?f与介质2界面上得D2??f. 由这两式得 E1?,E2?. 束缚电荷分布于

?1?2介质表面上。在两介质界面处，?f?0，由?0?E2n?E1n???f??p得

?p??0?E2?E1????在介质

1

??0??2??0???f. ??1?与下板分界处，由?0?E2n?E1n???f??p得

?'p???f??0E1???f??1??在介质2与上板分界处，

??0??, ??1???0? ?'p'??f??0E2??f??1????.

2??' 容易验证，?p??'p??'p?0,介质整体是电中性的。

7、截面为S ，长为l的细介质棍，沿X轴放置，近端到原点的距离为b ，若极

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??化强度为kx ，沿X轴 P?kxi 。求：

??（1） 求每端的束缚电荷面密度?；（2）求棒内的束缚电荷体密度?。（3）总束

缚电荷。

''解：（1）求?‘在棍端 P2n?P，P1n??? P2?P2n?01n??，P?kx '?A??P1n?A??P/x?b??kb???P1n?B?P/x?b?1?k(b?l)'B

????????P，P?kxi（2） 求?' 由 ' dp?????kdx'''（3） 求q' q'??B??AS??'Sl??k?b?l??kb?S?ksl?0

??8、两块接地的导体板间的夹角为?，当板间放一点电荷q时，试用镜像法就

?＝900、600的情形分别求其电势。

解：设点电荷q处于两导体面间?R，0?一点，两导体面间夹角为?，各象电荷处

?在以R为半径的圆周上，它们的位置可用旋转矢量R表示，设q及其各个象电

??荷的位置矢为R0、R1、则有 ??， R0?Rei?，

??i?2????????i?2?i?2????R1?R0e?Re，R2?R0e?Re?i?，???i?2?2????R3?R1e?Re?i?2????，??i?2?????R4?R2e?Rei?2????，??i?2?2??????R5?R3e?Rei?4????， ???i?2?2????R6?R4e?Re?i?2????，??R7?R5e?i?2?4?????Re?i?4????，??i?2?2??????R8?R6e?Rei?4????.??i???????，R1?Re，R2?Re?i?，2???i?????1） R3?Re，R4?Rei?????，

??????2???????，ei??????e?i?????，??象电荷只有3个，各象电荷所处在的直角坐标为： ?R4?R3， 20

x1??Rcos?，x2?Rcos?，x3??Rcos?，

y1?Rsin?，y2?－Rsin?，y3??Rsin?.q?1111?????????4??0?rr1r2r3??式中 r??x?Rcos??2??y?Rsin??2?z2，空间任意一点的电势 r1??x?Rcos??2??y?Rsin??2?z2， r2??x?Rcos??2??y?Rsin??2?z2，r3??x?Rcos??2??y?Rsin??2?z2.??2??＝3，R?Rei?????，R?1??3?2?Re?i?.?2???2? R??i??????i?????3?Re?3?，R4?Re?3?，2) R?i??4?3????Re?i??2????5?Re??，R?3??6??.

?2?????2?3??????3????4??i???3???2?，e??i??4?e?3?????，R??6?R5，象电荷只有5个。各象电荷所在处的直角坐标为： 21

?2?????x1?Rcos??????Rcos????，?3??3?x2?Rcos?，?2?????y1?Rsin?????Rsin????，y2??Rsin?,?3??3??2?????x3?Rcos??????Rcos????,?3??3??2?????x4?Rcos??????Rcos????，?3??3??2?????y3??Rsin??????Rsin????，?3??3??2?????y4?Rsin?????Rsin????，?3??3??4?????x5?Rcos??????Rcos????，?3??3??4?????y5?Rsin??????Rsin????.?3??3?q?111111???????????4??0?rr1r2r3r4r5??各个r由相应的象电荷坐标确定。

9、在一平行板电容器的两板上加 U?v0coswt的电压，若平板为圆形，半径为a，板间距离为d，试求

?（1）、两板间的位移电流jD；

（2）、电容器内离轴r处的磁场强度； （3）、电容器内的能流密度。

????vw?D?E?E??U???UjD???,jD?????????0Sinwt?t?t?t??d?d?td解：（1）

??vw??jD?jDez??0Sinwtezd 22

???H?dl??ID2?rH?jD?r2?vwjDr??0rSinwt22d （2）? ?v0w?H??rSinwte?2dr?a时，??vw? Ha??0aSinwte?2dH?（3）???s侧2????a2v0wuE?H?ds?2?adHa?2?auHa?SinwtCoswt

dd?10、静止长度为l0的车厢，以速度v相对于地面S运行，车厢的后壁以速度为U0向前推出一个小球，求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间。

???2解：S系的观察者看到长度为l01??的车厢以vv?vi运动，又看到小球以

????u?ui追赶车厢。?小球从后壁到前壁所需的时间为：

2?1?vu0?vu?v?v??2u1?020u0?vc?c2?c?t? 。u?，u?v??，vuvuvuu?v1?021?021?02cccvu?l0??1?02?1v'c??'?'??t??或t2?t1'?l0u0，t2?t1?t2?t1'?2x2?x1'??c?x2'?x1'?l0u01?v2c21?v2c2?l01?v2????????l0l0v??l??20?2ucv?0?u01?v221?cc21?vu0??1?2?c??

?11、求无限长理想的螺线管的矢势A （设螺线管的半径为a，线圈匝数为n，通

电电流为I）

??'???0Jx??'''解：分析：A?dV，JxdV?Idl。 ?4?Vr??????A?dl??B?ds，又对于理想的无限长螺线管来说，它的B为：?0nI

????ls??0nI???2?rA??r?0nI?A?rey （1）当r?a时，可得：2?rA??rB???22B??0nI2 23

??0nIa21?ey （2）当r?a时，同理可得：2?rA??aB?2?rA??a?0nI?A?2r2212、在大气中沿＋Z轴方向传播的线偏振平面波，其磁场强度的瞬时值表达式

????? H?J2?10?5cos?107?t??k0z?A

4??m?（1） 求k0 。（2）写出E的瞬时值表达式

???7??4??2E?v??H?24??10cos10?t??kz??04w107?????解： ?1?k0??；

??v3?10830???E?i24??10?4cos?107?t??k0z?4??13、内外半径分别为a和b的球形电容器，加上v?v0coswt的电压，且?不大，故电场分布和静态情形相同，计算介质中位移电流密度jD及穿过半径R?a?R?b?的球面的总位移电流JD。 解：位移电流密度为：

vcoswtv?0b?ab?aR?R?22

?v0w?jD???0sinwtb?aR?2????EjD??0,又E??t穿过半径R

?a?R?b?的球面的总位移电流JD为：

??4?R2v0w?02JD?jD4?R??sinwt

b?aR?214、证明均匀介质内部的体极化电荷密度?p总是等于体自由电荷密度的

?????1?0?倍。

???????f???证：?P????P????????0?E??????0???E??????0????1?0??f

????即证明了均匀介质内部的体极化电荷密度?p总是等于体自由电荷密度。

24

15、一根长为l的细金属棒，铅直地竖立在桌上，设所在地点地磁场强度为H ，方向为南北，若金属棒自静止状态向东自由倒下，试求两端同时接触桌面的瞬间棒内的感生电动势，此时棒两端的电势哪端高？ 解：金属棒倒下接触桌面时的角速度w由下式给出

11l Iw2?mg 式中为棒的质量，I为棒绕端点的转动惯量（ml2），g为重

322力加速度，代入得

1223gmlw?mgl ，? w? 3l棒接触桌面时的感生电动势为：

??ll???3gl23???E?dl??v?B?dl??wx?0Hdx?w?0H?xdx??0H?gl3?0H00l22??此时棒的A点电动势高。

16、点电荷q放在无限大的导体板前，相距为a，若q所在的半空间充满均匀的电介质，介质常数为?，求介质中的电势、电场和导体面上的感生面电荷密度。

1解：设象电荷q位于??a,0,0?,尝试解为： ??4?''?qq'????r?r'??,x?0 ??1）

求q'与a'

1设在导体板上，??4??qq'????R?R'???c ??当R,R'??,??0,?c?0.qqq'q ?'?0,'??.?RR?RRR?a2?y2?z2,R'?a'?y2?z22

?2?a2?y2?z2?q'?a'?y2?z2q222??此式对任何y、z都成立，故等式两边y、z的对应项系数应相等， 2q即：?2q'?q2,?q'??,?2?q?又 ?aq?aq,?a????a'q2, ????a'?a.22'2'22222故 ??q?11????4???rr'? 25

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