《概率论与数理统计》(复旦大学出版社)第一章习题答案

概率论与数理统计习题及答案

习题 一

1.见教材习题参考答案.

2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，

C（1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，

C （3） A，B，C都发生； （4） A，B，

C （5） A，B，C都不发生； （6） A，B，

C

（7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生

. 【解】（1） ABC （2） ABC （3） ABC

（4） A∪B∪C=ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC (5) ABC=A

BC (6) ABC

(7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) AB∪BC∪CA=ABC∪ABC∪ABC∪ABC 3.

.

4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A B)=0.3，求P（AB）. 【解】 P（AB）=1 P（AB）=1 [P(A) P(A B)] =1 [0.7 0.3]=0.6

5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,（1） 在什么条件下P（

AB（2） 在什么条件下P（

AB

【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6.

（2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3.

6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，

P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率.

【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C) P(AB) P(BC) P(AC)+P(ABC)

=

7.

11113++ = 443124

52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？

5332

【解】 p=C13C13C13C13/C1352

8.

（1） 求五个人的生日都在星期日的概率； （2） 求五个人的生日都不在星期日的概率； （3） 求五个人的生日不都在星期日的概率. 【解】（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故 P（A1）=

115

=（）（亦可用独立性求解，下同） 757

（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故

6565

P（A2）=5=()

77

(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}

P（A3）=1 P(A1)=1 (

15

) 7

9..见教材习题参考答案.

10.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件（n<N）.试求其中恰有m件（m≤M）正品（记为A）的概率

. （1） n件是同时取出的； （2）

n （3） n件是有放回逐件取出的.

n mn

【解】（1） P（A）=CmMCN M/CN

n

(2) 由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有PN种，n次抽取中有m

次为正品的组合数为Cmn种.对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正

mn m

品中取m件的排列数有PM种，从N M件次品中取n m件的排列数为PN M种，

故

mn m

CmPP

P（A）=nMnN M

PN

由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成

n m

CmMCN M

P（A）=

CnN

可以看出，用第二种方法简便得多.

（3） 由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为Nn种，n

次抽取中有m次为正品的组合数为Cm对于固定的一种正、次品的抽取次序，n种，m次取得正品，都有M种取法，共有Mm种取法，n m次取得次品，每次都有N M种取法，共有（N M）n m种取法，故

mn m

P(A) Cm/Nn nM(N M)

此题也可用贝努里概型，共做了n重贝努里试验，每次取得正品的概率为m件正品的概率为

M

，则取得N

M M

P(A) Cmn 1

NN

mn m

11..见教材习题参考答案.

12. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3只铆

钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.求发生一个部件强度太弱的概率是多少？ 【解】设A={发生一个部件强度太弱}

33

P(A) C110C3/C50

1

1960

13.

7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，

计算至少有两个是白球的概率. 【解】 设Ai={恰有i个白球}（i=2,3），显然A2与A3互斥.

1

C2184C3

P(A2) 3 ,

C735

C344

P(A3) 3

C735

22 35

故 P(A214.

A3) P(A2) P(A3)

0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求：

（1） 两粒都发芽的概率； （2） 至少有一粒发芽的概率； （3） 恰有一粒发芽的概率.

【解】设Ai={第i批种子中的一粒发芽}，（i=1,2）

(1) P(A1A2) P(A1)P(A2) 0.7 0.8 0.56 (2) P(A1(3) P(A1A2

15.

A2) 0.7 0.8 0.7 0.8 0.94

A1A2) 0.8 0.3 0.2 0.7 0.38

3次正面才停止.

（1） 问正好在第6次停止的概率；

（2） 问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.

11131C4()()5212131 2 【解】（1） p1 C5()() (2) p2

222325/325

16.0.7及0.6，每人各投了3次，求二人进球

数相等的概率.

【解】 设Ai={甲进i球}，i=0,1,2,3,Bi={乙进i球},i=0,1,2,3,则

P(

3i 0

212

AiBi3) (0.3)3(0.4)3 C130.7 (0.3)C30.6 (0.4)

22

C3(0.7)2 0.3C3(0.6)20.4+(0.7)3(0.6)3

17

=0.32076

5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.

41111C5C2CC2C2213【解】 p 1 4

C1021

18.

0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求：

（1） 在下雨条件下下雪的概率；（2） 这天下雨或下雪的概率. 【解】 设A={下雨}，B={下雪}.

（1） p(BA)

P(AB)0.1

0.2 P(A)0.5

（2） p(A19.

B) P(A) P(B) P(AB) 0.3 0.5 0.1 0.7

3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率（小孩为男

为女是等可能的）.

【解】 设A={其中一个为女孩}，B={至少有一个男孩}，样本点总数为23=8，故

P(BA)

P(AB)6/86

P(A)7/87

6 7

或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为7.

P(BA)

20.

5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.

【解】 设A={此人是男人}，B={此人是色盲}，则由贝叶斯公式

P(A)P(BA)P(AB)

P(AB)

P(B)P(A)P(BA) P(A)P(BA)

21.

0.5 0.0520

0.5 0.05 0.5 0.002521

9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.

题21图 题22图

【解】设两人到达时刻为x,y,则0≤x,y≤60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于|x y|>30.

如图阴影部分所示.

3021P 2

604

22.

0，1）中随机地取两个数，求：

6

的概率； 51

（2） 两个数之积小于的概率.

4

（1） 两个数之和小于【解】 设两数为x,y，则0<x,y<1. （1） x+y<

6. 5

144

17

p1 1 0.68

125

1

(2) xy=<.

4

p2 1

1 11dxdy11 ln2 4x 4 421

23.

P（A）=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5，求P（B｜A∪B）

【解】

24.

0.7 0.51

0.7 0.6 0.54

15个乒乓球，其中有9个新球，在第一次比赛中任意取出3个球，比

赛后放回原盒中；第二次比赛同样任意取出3个球，求第二次取出的3个球均为新球的概率.

【解】 设Ai={第一次取出的3个球中有i个新球}，i=0,1,2,3.B={第二次取出的3球均为新

球}

由全概率公式，有

P(B) P(BAi)P(Ai)

i 0

3

2321

C3C3C1C8C9C6C3C3C3699C679

3 3 3 3 3 3 3 36C15C15C15C15C15C15C15C15

0.089

25. 按以往概率论考试结果分析，努力学习的学生有90%的可能考试及格，不努力学习的学

生有90%的可能考试不及格.据调查，学生中有80%的人是努力学习的，试问： （1）考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？ （2）考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？ 【解】设A={被调查学生是努力学习的}，则A={被调查学生是不努力学习的}.由题意知P

（A）=0.8，P（A）=0.2，又设B={被调查学生考试及格}.由题意知P（B|A）=0.9，P（B|A）=0.9，故由贝叶斯公式知

P(A)P(BA)P(AB)

（1）P(AB)

P(B)P(A)P(BA) P(A)P(BA)

0.2 0.11

0.02702

0.8 0.9 0.2 0.137

即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702% (2) P(AB)

P(A)P(BA)P(AB)

P(B)P(A)P(BA) P(A)P(BA)

0.8 0.14

0.3077

0.8 0.1 0.2 0.913

即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.

26. 将两信息分别编码为A和B传递出来，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而

B被误收作A的概率为0.01.信息A与B传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A，试问原发信息是A的概率是多少？

【解】 设A={原发信息是A}，则={原发信息是B}

C={收到信息是A}，则={收到信息是B} 由贝叶斯公式，得

P(AC)

27.

P(A)P(CA)

P(A)P(CA) P(A)P(CA)

2/3 0.98

0.99492

2/3 0.98 1/3 0.01

【解】设Ai={箱中原有i个白球}（i=0,1,2），由题设条件知P（Ai）=

出一球为白球}.由贝叶斯公式知

1

,i=0,1,2.又设B={抽3

P(A1B)

P(BA1)P(A1)P(A1B)

2

P(B)

P(BAi)P(Ai)

i 0

28.

2/3 1/31

1/3 1/3 2/3 1/3 1 1/33

96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率

为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.

【解】 设A={产品确为合格品}，B={产品被认为是合格品}

由贝叶斯公式得

P(AB)

29.

P(A)P(BA)P(AB)

P(B)P(A)P(BA) P(A)P(BA)

0.96 0.98

0.998

0.96 0.98 0.04 0.05

.统计资料表明，上

述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15和0.30；如果“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%，现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？

【解】 设A={该客户是“谨慎的”}，B={该客户是“一般的”}，

C={该客户是“冒失的”}，D={该客户在一年内出了事故} 则由贝叶斯公式得

P(A|D)

30.

P(AD)P(A)P(D|A)

P(D)P(A)P(D|A) P(B)P(D|B) P(C)P(D|C)

0.2 0.05

0.057

0.2 0.05 0.5 0.15 0.3 0.3

0.02,0.03,0.05,0.03，假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率. 【解】设Ai={第i道工序出次品}（i=1,2,3,4）.

P(

4i 1

Ai) 1 P(A1A2A3A4)

1 P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)

1 0.98 0.97 0.95 0.97 0.124 31.0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概

率不小于0.9?

【解】设必须进行n次独立射击.

1 (0.8)n 0.9

即为 (0.8)n 0.1 故 n≥11 至少必须进行11次独立射击. 32.

P（A｜B）=P(A｜B)，则A，B相互独立.

【证】 P(A|B)即 P(A|B)

P(AB)P(AB)

P(B)P(B)

亦即 P(AB)P(B) P(AB)P(B)

P(AB)[1 P(B)] [P(A) P(AB)]P(B)

因此 P(AB) P(A)P(B) 故A与B相互独立. 33.

的概率.

【解】 设Ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则

111

，，，求将此密码破译出534

P(Ai) 1 P(A1A2A3) 1 P(A1)P(A2)P(A3)

i 1

3

1 34.

423

0.6 534

0.4,0.5,0.7，若只有一人

击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3

由全概率公式，得

P(A) P(A|Bi)P(Bi)

i 0

3

=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+

(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458

35.25%，为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用，

且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求： （1） 虽然新药有效，且把治愈率提高到35%，但通过试验被否定的概率.

（2） 新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率. 【解】（1） p1

C

k 0

k

10

3

k10

(0.35)k(0.65)10 k 0.5138

(2) p2 36.

C

k 4

10

(0.25)k(0.75)10 k 0.2241

6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率：

（1） A=“某指定的一层有两位乘客离开”；

（2） B=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”； （3） C=“恰有两位乘客在同一层离开”； （4） D=“至少有两位乘客在同一层离开”.

【解】 由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.

24C69

（1） P(A) ，也可由6重贝努里模型：

106

21294

P(A) C6()()

1010

（2） 6个人在十层中任意六层离开，故

6P10

P(B) 6

10

（3） 由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有C110种可能结果，再从

2

六人中选二人在该层离开，有C6种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情

况，因此可包含以下三种离开方式：①4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余

3118层中任一层离开，共有C19C4C8种可能结果；②4人同时离开，有C9种可能结果；

③4个人都不在同一层离开，有P94种可能结果，故

2131146

P(C) C110C6(C9C4C8 C9 P9)/10

（4） D=B.故

6

P10

P(D) 1 P(B) 1 6

10

37. n个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率： （1） 甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率； （2） 甲、乙、丙三人坐在一起的概率；

（3） 如果n个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率. 【解】 （1） p1

1 n 1

(2) p2 (3) p1

3!(n 3)!

,n 3

(n 1)!

(n 1)!1 3!(n 2)!

;p2 ,n 3 n!nn!

38.[0，a]

【解】 设这三段长分别为x,y,a x y.则基本事件集为由

0<x<a,0<y<a,0<a x y<a所构成的图形，有利事件集为由

x y a x y x (a x y) y y (a x y) x

构成的图形，即

a 0 x 2

0 y a 2 a

x y a 2

如图阴影部分所示，故所求概率为p

1

. 4

39. 某人有n把钥匙，其中只有一把能开他的门.他逐个将它们去试开（抽样是无放回的）.

证明试开k次（k=1,2, ,n）才能把门打开的概率与k无关.

Pnk 111

【证】 p k ,k 1,2,n ,

Pnn

40.把一个表面涂有颜色的立方体等分为一千个小立方体，在这些小立方体中，随机地取出

一个，试求它有i面涂有颜色的概率P（Ai）（i=0,1,2,3）. 【解】 设Ai={小立方体有i面涂有颜色}，i=0,1,2,3.

在1千个小立方体中，只有位于原立方体的角上的小立方体是三面有色的，这样的

小立方体共有8个.只有位于原立方体的棱上（除去八个角外）的小立方体是两面涂色的，这样的小立方体共有12×8=96个.同理，原立方体的六个面上（除去棱）的小立方体是一面涂色的，共有8×8×6=384个.其余1000 （8+96+384）=512个内部的小立方体是无色的，故所求概率为

512384

0.512,P(A1) 0.384, 10001000968

P(A2) 0.096,P(A4) 0.008.

10001000P(A0)

41.对任意的随机事件A，B，

C

P（AB）+P（AC） P（BC）≤P(A

). 【证】 P(A) P[A(B

C)] P(ABAC)

P(AB) P(AC) P(ABC)

P(AB) P(AC) P(BC) 42.

3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率.

【解】 设Ai={杯中球的最大个数为i},i=1,2,3.

将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故

C33!3

P(A1) 43

48

而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故

C114

P(A3) 3

416

因此 P(A2) 1 P(A1) P(A3) 1

319

81616

21C194C3C3

或 P(A2) 4316

43.2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率.

【解】掷2n次硬币，可能出现：A={正面次数多于反面次数}，B={正面次数少于反面次数}，

C={正面次数等于反面次数}，A，B，C两两互斥.

可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P（A）=P（B）.所以

P(A)

1 P(C)

2

由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为

n1n1n

P(C) C2n()()

2211n

故 P(A) [1 C2n2n]

22

44.n次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.

【解】设A={出现正面次数多于反面次数}，B={出现反面次数多于正面次数}，由对称性知

P（A）=P（B）

（1） 当n为奇数时，正、反面次数不会相等.由P（A）+P（B）=1得P（A）=P（B）

=0.5

(2) 当n为偶数时，由上题知

n

112

P(A) [1 Cn()n]

22

45.n+1次，乙掷n次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.

【解】 令甲正=甲掷出的正面次数，甲反=甲掷出的反面次数.

乙正=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数. 显然有

=（甲正≤乙正）=（n+1 甲反≤n 乙反） （甲正>乙正）

=（甲反≥1+乙反）=（甲反>乙反）

由对称性知P（甲正>乙正）=P（甲反>乙反） 因此P(甲正>乙正)=46.

1 2

Sure thing）：若P（A|C）≥P(B|C),P(A|)≥P(B|)，则P（A）

≥P(B).

【证】由P（A|C）≥P(B|C),得

P(AC)P(BC)

,

P(C)P(C)

即有 P(AC) P(BC) 同理由 P(A|C) P(B|C), 得 P(AC) P(BC),

故 P(A) P(AC) P(AC) P(BC) P(BC) P(B) 47.一列火车共有n节车厢，有k(k≥n)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少

有一个旅客的概率.

【解】 设Ai={第i节车厢是空的}，（i=1, ,n）,则

(n 1)k1k

P(Ai) (1 )

nkn

2

P(AiAj) (1 )k

nP(Ai1Ai2

Ain 1)

(1

n 1k

)n

其中i1,i2, ,in 1是1，2， ，n中的任n 1个. 显然n节车厢全空的概率是零，于是

11k

S1 P(Ai) n(1 )k C1(1 )n

nni 1

22

S2

P(AiAj) Cn(1 )k

n1 i j n

n

Sn 1 Sn 0

1 i1 i2 in 1 n

P(Ai1Ai2

n 1Ain 1) Cn(1

n 1k

)n

P(Ai) S1 S2 S3

i 1

n

( 1)n 1Sn

Cn(1 ) Cn(1 ) 故所求概率为

1

1n

k2

2n

k

1

( 1)nCnn(1

n 1k

) n

1k2i2

1 P(Ai) 1 C1(1 ) C(1 ) nn

i 1nn

n

1

( 1)

n 1Cnn(1

n 1k

) n

48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为ε>0.试证明：不论ε>0如何小，只要不断地独

立地重复做此试验，则A迟早会出现的概率为1. 【证】

在前n次试验中，A至少出现一次的概率为

1 (1 )n 1(n )

49.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取一只，

将它投掷r次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？ 【解】设A={投掷硬币r次都得到国徽}

B={这只硬币为正品} 由题知 P(B)

mn

,P(B) m nm n

1

P(A|B) r,P(A|B) 1

2

则由贝叶斯公式知

P(B|A)

P(AB)P(B)P(A|B)

P(A)P(B)P(A|B) P(B)P(A|B)

m1

rm r

m 2n 1m

n2rm n

50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用

火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有r根的概率又

【解】以B1、B2记火柴取自不同两盒的事件，则有P(B1) P(B2)

1

.（1）发现一盒已空，2

另一盒恰剩r根，说明已取了2n r次，设n次取自B1盒（已空），n r次取自B2盒，第2n r+1次拿起B1，发现已空。把取2n r次火柴视作2n r重贝努里试验，则所求概率为

1n1n r11n

p1 2Cn()() C 2n rn r2r r

2222

式中2反映B1与B2盒的对称性（即也可以是B2盒先取空）.

（2） 前2n r 1次取火柴，有n 1次取自B1盒，n r次取自B2盒，第2n r次取自B1

盒，故概率为

1n 11n r112n r 1n 1n 1

p2 2C2()() C() n r 12n r 1

2222

51.

n重贝努里试验中A出现奇数次的概率.

【解】 设在一次试验中A出现的概率为p.则由

0n1n 122n 2

(q p)n C0 Cnpq npq Cnpq0n1n 12n 2(q p)n C0 C2 npq Cnpqnpq

n0

Cnnpq 1 n0 ( 1)nCnnpq

以上两式相减得所求概率为

n 13n 3

p1 C1

C3 npqnpq

1

[1 (q p)n] 21

[1 (1 2p)n] 2

若要求在n重贝努里试验中A出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得

1

p2 [1 (1 2p)n].

2

52.设A，B是任意两个随机事件，求P{（A+B）（A+B）（A+B）（A+B）}的值. 【解】因为（A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB

（A∪B）∩（A∪B）=AB∪AB

所求 (A B)(A B)(A B)(A

B) [(AB

AB)(AB AB)]

故所求值为0.

53.设两两相互独立的三事件，A，B和

C

ABC= ，P(A)=P(B)=P(C)< 1/2，且P（A∪B∪C）=9/16，求P（A）. 【解】由P(A

BC) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC)

2

3P(A) 3[P(A)]

故P(A)

9 16

1311或,按题设P（A）<,故P（A）=. 4424

54.设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A

不发生的概率相等，求P（A）.

) 【解】 P(ABP(AB) 1 P(A

1

B ) ① 9

P(AB) P(AB) ②

故 P(A) P(AB) P(B) P(AB)

故 P(A) P(B) ③

由A,B的独立性，及①、③式有

1

1 P(A) P(B) P(A)P(B) 9

1 2P(A) [P(A)]2 [1 P(A)]2

故 1 P(A) 故 P(A) 即P（A）=

1 3

24

或P(A) （舍去） 33

2

. 3

55.随机地向半圆0<y<

2ax x2 (a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与

区域的面积成正比，则原点和该点的连线与x轴的夹角小于π

/4【解】利用几何概率来求，图中半圆面积为

1

πa2.阴影部分面积为 2

π212a a 42

故所求概率为

π212a a

1 1 p 22ππa2

56.

10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率.

【解】 设A={两件中至少有一件是不合格品}，B={另一件也是不合格品}

C242C10P(AB)1

P(B|A) 2

C6P(A)51-2

C10

57.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3

份、7份和5份.随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份. （1） 求先抽到的一份是女生表的概率p

（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q. 【解】设Ai={报名表是取自第i区的考生}，i=1,2,3.

Bj={第j次取出的是女生表}，j=1,2.

则 P(Ai)

1

,i 1,2,3 3

375

P(B1|A1) ,P(B1|A2) ,P(B1|A3)

101525

(1) p P(B1)

P(B|A) 3(10 15 25) 90

1

i

i 1

3

137529

(2) q P(B1|B2)

P(B1B2)

P(B2)

而 P(B2)

P(B

i 1

3

2

|Ai)P(Ai)

1782061( ) 310152590

P(B1B2) P(B1B2|Ai)P(Ai)

i 1

3

137785202( ) 3109151425249

2

P(B1B2)20

故 q

61P(B2)

90

58. 设A，B为随机事件，且P（B）>0,P(A|B)=1,试比较P(A∪B)与P(A)的大小. (2006研考)

解：因为 P(A

B) P(A) P(B) P(AB)

P(AB) P(B) P(AB) P(B)

所以 P(A

B) P(A) P(B) P(B) P(A).

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