初二-初三数学衔接十：韦达定理

初二-初三函数衔接之

第十节：韦达定理

【导学过程】 一、预习导学

试一试：解右表格中的一元二次方程，将方程的解x1、x2 的值填入相应表格中，并分别计

算x1 x2、x1x2的值

二、合作探究

互动探究1：观察——发现：上述方程两根的和与两根的积与每个方程的二次项系数、一次项系数、常数项有什么联系？

猜想：一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的根若是x1、x2， 那么x1 x2x1.x2 。 证明： 你能证明上面的猜想吗？请你试着完成下列证明过程： 证明：设x1、x2是ax bx c 0(a 0)的两个根，则 x1 ；x2

2

x1 x2 = . x1x2= = = .

归纳总结：1、一元二次方程的跟与系数之间存在下列关系：如果ax bx c 0(a 0)的两个根x1、x2那么x1 x2x1x2.这个关系通常叫做韦达定律。 2、如果x px q 0的两个根分别是x1、x2那么x1 x2x1x2互动探究2： 已知关于x的方程2x kx 4 0的一个根是—4，求它的另一根及k值。

2

2

2

互动探究3： 计算对称式的值：

1、若x1,x2是一元二次方程2x 3x 1 0的两个根，求x1 x2的值.

2、你还能求下列各式的值吗？试着解一解：

(1) x12 x22；

(2)

2

11 ； x1x2

(3) (x1 5)(x2 5)； (4) |x1 x2|．

归纳总结：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

x12 x22 (x1 x2)2 2x1x2；

11x1 x2

；(x1 x2)2 (x1 x2)2 4x1x2；

x1x2x1x2

|x1 x2|

韦达定理体现了整体思想．

互动探究4： 构造新方程：

一元二次方程ax bx c 0(a 0)的根若是x1、x2， 那么x1 x2x1.x2=

2

把方程ax bx c 0(a 0)二次项系数化为1，得x

2

2

bc

x 0(a 0)， aa

。

得出： 。 结论：以两个数x1、x2为根的一元二次方程是练习：已知两数的和为2，积为—2，求这两个数.

【达标训练】 一、填空题：

1、如果关于的方程的两根之差为2，那么 。

2、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则 。

3、已知是方程的两个根，那么： ；

； 。

4、如果关于的一元二次方程

是 ，的值为 。 二、求值题：

2

的一个根是，那么另一个根

5、设x1、x2是一元二次方程2x 5x 1 0的两根，利用跟与系数的关系，求下列各式的值：

（1）(x1 3)(x2 3)； (2) (x1 1)2 (x2 1)2; (3)

6、不解方程x 4x 2 0，利用跟与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的根分别是方程各根的倒数。

2

x2x

1. x1 1x2 1

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