2018年高三最新 导数及其应用(选修II)（吕存于） 精品

导数及其应用（选修II） 苍南龙港高中 吕存于

【考点解读】

1．导数（选修II）高考考核要求为：①导数的概念及某些实际背景，导数的几何意义，几种常见函数的导数；②两个函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，基本导数公式；③利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值等。

2．比例与题型：导数是高中新教材改革后新加进的知识之一，从近几年全国统考试卷及2018年浙江卷看，其分值比例逐年上升到现在基本稳定在一大（12分），一小（5分）的两题格局上（2018年浙江卷是如此），是新教材的一个主要得分点。

3．命题热点难点是：①利用导数求函数的极值；②利用导数求函数的单调区间；③利用导数求函数的最值；④利用导数证明函数的单调性；⑤数在实际中的应用；⑥导数与函数、不等式等知识相融合的问题；⑦导数与解析几何相综合的问题。

4．体系整合 导数

5．复习建议：①学会优先考虑利用导数求函数的极大（小）值、最大最小

导数的概念 导数的几何意义 基本导数公式 两函数和、差、积、商的导数 导数的运算 复合函数的导数 函数的单调性 导数的应用 导数的应用 函数的极值 函数的最值

或解决应用问题，这些问题是函数内容的继续与延伸，这种方法使复杂问题简单化。②导数与解析几何或函数图象的混合问题，尤其是抛物线与三次函数的切线问题，是高考中考查综合能力的一个方向，应引起注意。

热点一：导数的几何意义

函数y=f (x) 在点x0导数的几何意义，就是曲线y=f (x) 在点P(x0, f(x0))处的切线的斜率，也就是说，曲线y=f (x) 在P (x0, f (x0))处的切线的斜率是f′(x0)，于是相应的切线方程为y－y0=f′(x0) (x－x0)，巧借导数几何意义“传接”的各类综合题频频出现。

【错题分析】

[错例1] （2018天津卷20（2））曲线f(x)=x3－3x，过点A(0，16)作曲线f (x)的切线，求曲线的切线方程。

误解：f (x)=3x3－3，根据导数的几何去何从意义可知，曲线的切线斜率

k?f'(0)=－3，所以曲线的切线方程为y=－3x＋16。

剖析：本题错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率k是应是在切点处的导数，而点A (0，16) 不在曲线上。故本题应先设切点，再求斜率，写出直线的方程。

正确解法：设切点坐标M(x0,x03?3x0)，则切线的斜率k?f'(x0)?3x02?3，切线方程y?(3x02?3)x?16，又因为点M在切线上，所以x03?3x0?3(x02?3)x0?16得

x0??2,?切线方程为y?9x?16.

【典型题例】

例1:设P0 (x0，y0) 为曲线C : y=x3 (x＞0)上任意一点，过P0作曲线C的切线与x轴交于Q1，过Q1作平行于y轴的直线与曲线C交于P1(x1，y1)，然后再过P1作曲线C的切线交x轴于Q2，过Q2作平行于y轴的直线与曲线C交于P2(x2，y2)，依此类推，作出以下各点：P0，Q1，P1，Q2，P2，Q3，?，Pn，Qn＋1，?，已知x0=9，设Pn (xn，yn) (n∈N)。

（1）求出过点P0的切线方程。

（2）设xn=f (n) (n∈N)，求f (n)的表达式； （3）求lim(x0?x1???xn)的值。

n??点拨 本例涉及到求切线方程的问题,其关键在于掌握切线的斜率等于切点的导数

解析 （1）y′=3x2，∵P0 (9，93)，∴切线P0Q1的斜率k0=y'|x =x=3x2|x=9=243，

0

∴过P0点的切线即直线P0Q1的方程为y－93=243 (x－9)，即243x－y－1458=0.

（2）过Pn (xn，yn)的切线的斜率为kn=3x2 n，切线方程为y－yn=kn(x－xn)，

2 即y－x3 n=3xn (x－xn). 令y=0得

3xn22x=xn－2=x，即Qn＋1的横坐标为xn，

33xn32又∵直线Qn＋1Pn＋1∥y轴，∴P n＋1的横坐标xn＋1=xn，由于x0=9，∴数列?xn?32222是公比为的等比数列∴xn=x0 · ()n=9×()n，则f (n) = 9×()n，（n∈N）

3333（3）lim(x0?x1???xn)=

n??921?3=27

点评：求切线方程关键在于切点，因为切点不仅是直线上的一个点，而且它给出切线的方向(切点的导数);应熟练地求出曲线在某点处的切线方程。

【热点冲刺】

1．已知曲线y=sinx,x?(0,?)在P点切线平行于直线x－2y=0，则P点坐标

?3为(,)。

322．若a＞0，f (x) =ax2＋bx＋c，曲线y=f (x)在点P (x，f (x0))切线倾角为[0，

?]，则P到y=f (x)对称轴距离为（ B ） 411bA、[0，] B、[0，] C、[0，||]

2a2aaD、[0，|

b?1|] 2a3．（预测题） (1990日本高考题)．设抛物线y=x2与直线y=x＋a（a是常数）有两个不同的交点，记抛物线在两交点处切线分别为l1，l2，求值a变化时l1与l2交点的轨迹。

解答：将y=x＋a代入y=x2整数得x2－x－a=0

为使直线与抛物线有两个不同的交点，必须△= (－1)2＋4a＞0，所以a＞－

1 4设此两交点为(α，α2)，(β, β2)，α＜β，由y=x2知y′=2x，则切线l1，l2的方程为

y=2αx－α2，y=2βx－β2.

????x??两切线交点为(x，y) 则 ?2 ??y???因为α，β是①的解，由违达定理可知α＋β=1，αβ=－a

11由此及②可得x=，y=－a＜

2411从而，所求的轨迹为直线x=上的y＜的部分。

24热点二：利用导数研究函数性质

运用导数的有关知识，研究函数的性质（单调性、极值和最值）是高考的热点问题。高考试题常以解答题形式出现,主要考查利用导数为工具解决函数、不等式及数列有关的综合问题，题目较难。

【错解分析】

[错例2] 已知函数f(x) = 范围。

误解：f′(x)=

ax?1在(－2，＋∞)内单调递减，求实数a的取值x?22a?1，由f (x)在(－2，＋∞)内单调递减，知f′(x)≤0在x2(x?2)12a?1≤0在x∈(－2，＋∞)内恒立。因此，a≤。

2(x?2)2∈(－2，＋∞)内恒立，即

剖析：(1)上题看似正确，实际上却忽视了一个重要问题：未验证f′(x)是否

恒为零。因为f (x)在区间D上单调递增（或递减）的充要条件f′(x)≥0 (f′(x))

11≤0且f′(x)在任一子区间上不恒为零。而当a=时，f(x) =不是单调递减函数，

22不合题意。

(2)在区间D内可导数f(x) ，利用导数判别f(x)单调性法则为：若x∈D时，有f′(x)＞0(＜0＝, 则f(x)在D内是增（减）函数；反之，若f(x)在D内是增(减)函数，则x∈D时，恒有f′(x)≥0（≤0）。（不恒为0）

（3）再由函数的单调性过渡到函数的极值，由[错例2] 到 [错例3] [错例3]函数f (x) = (x2－1)3＋2的极值点是（ ） A、x=2

B、x=－1

C、x=1或－1或0

D、x=0

误解: f (x) =x6－3x4＋3x2＋1,则由f′(x)=6x5－12x3＋6x=0得极值点为x=1， x=－1和x=0，故正确答案为C.

正确解法: 事实上，这三点只是驻点(导数等于0的点)，由f′(x) =6x5－12x3

＋6x=6x(x＋1)2(x－1)2知，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0；当x∈(－1，0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，1)，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0. f (x)在 (－∞，－1)、(－1，0)单调递增，在(0，1)、(1，＋∞)单调递减。则x=0为极小值点，x=－1或1都不是极值点（称为拐点）。故应选D。

剖析：（1）满足f′(x0)=0的点x=x0（称为驻点）只是它为极大（小）值点的必要而不充分条件，如果一味地把驻点等同于极值点，往往容易导致失误。

21（2）在求极值点时候，有时还要注意导数不存在的点.如：求f (x) =x3?x23的极值点。（x=±1，0(易遗漏)）

【典型题例】

例2：(2001年北京、内蒙古、安徽春季招生题)在1与2之间插入n个正数

b1?b2?b3?...?bn，使这n＋2个数成等比数列；又在1与2之间插入n个正数b1,b2,b3,...,bn，使这个n＋2个数成等差数列。记An=a1?a2?a3?...?an，Bn=b1?b2?b3?...?bn

（1）求数列?An?和?Bn?的通项；

（2）当n≥7时，比较?An?和?Bn?的大小，并证明你的结论。

点拨：在解决第(2)问时，可考虑将比较大小的问题转化为对函数单调性的研究，从而用导数求解。

解析:（1）因为1，a1?an?a2?an?1???ak?an?1?k???1?2?2,...,an，2成等比数列。

所以a1?an?a2?an?1???ak?an?1?k???1?2?2 所以An2=(a1?an)?(a2?an?1)?(an?a1)?2n 所以An=2

因为 1，b1,b2,b3,...,bn，2成等差数列，所以b1?b2=1＋2=3 所以Bn=

b1?bn3·n=n

22n2n23所以数列?An?的通项为An=2，?Bn?的通项为Bn=n

2321（2）构造函数f（x）=2－x（x≥7），则f (7) = 22－＞0

22111又因为f′(x)=(22ln2－3) ＞(22lne－3)=(22－3)＞0

222

x75x27

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kd06.html