2009年高考四川数学试题及答案（理数）

2009年普通高等学校招生考试（四川卷）

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+ P（B） 如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）· P（B）

如果事件A在一次试验发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率

kkPn?k??Cnp?1?p?n?k，

2球的表面积公式：S?4?R，其中R表示球的半径 球的体积公式：S?4?R3，其中R表示球的半径 3第Ⅰ卷

一、选择题

2（1） 设集合S??x||x|?5?，T?x|x?4x?21?0，则S?T?

??（A）{x|?7?x??5} （B）{x|3?x?5} （C）{x|?5?x?3} （D）{x|?7?x?5}

?a?log2x?（2） 已知函数f(x)??x2?4??x?2的值是

(当x?2时)(当x?2时)在x?2处连续，则常数a（A）2 （B）3 （C）4 （D）5

(1?2i)2（3） 复数的值是

3?4i（A）1 （B）-1 （C）i （D）?i （4） 已知函数f(x)?sin(x??2)（x?R），下面结论错误的是 ．．

1

（A）函数f(x)的最小正周期为2? （B）函数f(x)在[0,?2]上是增函数

（C）函数f(x)的图象关于x?0对称 （D）函数f(x)是奇函数

（5）如图，已知六棱锥P—ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是 （A）PB⊥AD

（B）平面PAB⊥平面PBC （C）直线BC//平面PAE

（D）直线PD与平面ABC所成的角为45°

PEFADCB（6）已知a,b,c,d为实数，且c?d，则“a?b”是“a?c?b?d”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

x2y2??1（b?0）（7）已知双曲线的左、右焦点为F其一条渐近线方程为y?x，1、F2，2b2?????????点P（3，y0）在该双曲线上，则PF1?PF2?

（A）-12 （B）-2 （C）0 （D）4 （8）如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点， ∠ABC=90°，BA=BC，球心O到平面ABC的距离

32，则B、C两点的球面距离是 是2OABC? （B）? 34（C）? （D）2?

3（A）

2（9）已知直线l1：4x?3y?6?0和直线l2：x??1，抛物线y?4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为

（A）2 （B）3 （C）

1137 （D） 516（10）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨，

2

生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是

（A）12万元 （B）20万元 （C）25万元 （D）27万元

（11）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3为女生中有且只有两位女生相邻，则不同的排法种数是

（A）360 （B）288 （C）216 （D）96

（12）已知函数f(x)是定R上的不恒为O的偶函数，且对任意实数x都有

?xf(x?1)?(x?1)f(x)f?，则

?（A）0 （B）

?5??f???的值是 ?2??15 （C）1 （D） 22第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． （13）(2x?16)的展开式的常数项是_____________（用数字作答） 2x2222（14）若?O：x?y?5与?O1：(x?m)?y?20（m?R）相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是____________ （15）如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各棱长 都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和 BM所成的角的大小是___________

（16）设V是已知平面M上所有向量的集合，

B1A1C1AM???对于映射f:V?V，a?V，记a的象为f(a).

BC??若映射f:V?V满足：对所有a、b?V及任意实数?、?都有

????f(?a??b)??f(a)??f(b)，则f称为平面M上的线性变换.现有下列命题：

??①设f是平面M上的线性变换，则f(0)?0

???②对a?V，设f(a)?2a，则f是平面M上的线性变换.

?????③若e是平面M上的单位向量，对a?V，设f(a)?a?e，则f是平面M上的线性变换.

3

??????④设f是平面M上的线性变换，a、b?V，若a、b共线，则f(a)、f(b)也共线.

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a,b,c，

且cos2A?310，sinB? 510（Ⅰ）求A+B的值 （Ⅱ）若a?b?2?1，求a,b,c的值

（18）（本小题满分12分）为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡）.某旅游公司组织一个有36名游客的旅游团到四川旅游，其中是省内游客.在省外游客中有

3是省外游客，其余412持金卡，在省内游客中有持银卡. 33（Ⅰ）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率； （Ⅱ）在该团的省内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡的人数为随机变量?，求?的分布列及数学期望E?.

（19）（本小题满分12分）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在的平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，∠AEF=45°. （Ⅰ）求证：EF⊥平面BCE；

（Ⅱ）设线段CD的中点为P，在直线AE上 是否存在一点M，使得PM//平面BCE？ 若存在，请指出点M的位置，并证明你 的结论；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）求二面角F—BD—A的大小.

DPCFEABx2y2（20）（本小题满分12分）已知椭圆2?2?1（a?b?0）的左、右焦点分别为F1、F2，

ab离心率e?2，右准线方程为x?2. 2（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

4

（Ⅱ）过点F1N|?1的直线l与该椭圆相交于M、N两点，且|F2M?F方程.

226，求直线l的3（21）（本小题满分12分）已知a?0且a?1，函数f(x)?loga(1?ax) （Ⅰ）求函数f(x)的定义域，并判断f(x)的单调性；

af(n)（Ⅱ）若n?N，求limn；

n??a?a*（Ⅲ）当a?e（e是自然对数的底数）时，设h(x)?(1?ef(x))(x2?m?1).若函数h(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数h(x)的极值.

（22）（本小题满分14分）设数列?an?的前n项和为Sn，对任意正整数n，都有an?5Sn?1成立，记bn?4?an（n?N*） 1?an（Ⅰ）求数列?bn?的通项公式；

（Ⅱ）记cn?b2n?b2n?1（n?N*），设数列的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n，都有Tn?3； 2（Ⅲ）设数列?bn?的前n项之和为Rn，已知正实数?满足：对任意正整数n，Rn??n恒成立，求?的最小值．

2009年普通高等学校招生考试（四川卷）

理科数学答案及解读

一、选择题

（1）C．【解读与点评】此题中“|x|?5”出自第一册（上）P（1），“x?4x?21?0”16练习1

2 5

由第一册（上）P20例5改编，此题题型来自于第一册（上）P22习题1.5中的第7题．

此题的直接解法中要用到数形结合的思想。此题学生容易失误的地方是求“x?4x?21?0”的解集．

此题的一般解法是：S?{x|?5?x?5}，T?{x|?7?x?3}， ∴S?T={x|?5?x?3}，故选C．

别解：由于?6?S，∴可以排除A和D，又由于4?T，∴又可以排除B，故选C．

2x2?4f(x)?lim?lim(x?2)?4， （2）B．【解读与点评】此题的一般解法是：∵limx?2?x?2?x?2x?2?x?2?limf(x)?lim(a?log2x)?a?1，∵f(x)在x?2处连续，∴limf(x)?lim?f(x) ??x?2x?2x?2?f(2)，∴a?3，故选B．

此题在课本上、复习的资料上都可以找到原形，它是高考必考的内容之一，为后继学习打基础．

（3）A．【解读与点评】此题的一般解法是：原式=

1?4i?4?3?4i?(3?4i)????1

3?4i3?4i3?4i(1?2i)2(1?2i)2别解1：原式=?????1 2?3?4i(1?2i)(1?2i)2?1?2i??i(1?2i)?2别解2：原式=???i??1. ??2??(2?i)?2?i??2i?1? 高考对复数的要求很低，只要掌握了其相关的基本概念、能进行加、减、乘、除、平方、立方运算就可以了．

（4）D．【解读与点评】此题由第一册（下）P39诱导公式“sin(22?2?x)?cosx”改编．

此题的实质是考查基本函数y?cosx的图象和性质，此题学生容易失误的地方是把“sin(x??2)”化简成“cosx”．

此题的一般解法是：f(x)?sin(x??)??sin(?x)??cosx，然后由y?cosx的

22?图象和性质容易知道选项（A）、（B）、（C）都正确，故选D． 别解：f(x)?sinxcos?2?cosxsin?2??cosx，由y?cosx的图象和性质容易知道选项

（A）、（B）、（C）都正确，∴选D．

6

（5）D．【解读与点评】此题既考查了正六边形的性质又考查了三垂线定理的逆定理和直线与平面平行的性质以及直线与平面所成的角．

此题学生容易失误的地方是：对选项B的判断（较难），好在是单选题，而D选项又是正确的，所以容易做对此题．

此题的一般解法是：∵ABCDEF是正六边形，∴AD//BC，若PB⊥AD，则PB⊥BC，又∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥AB，与∠ABC=120°矛盾，故不选A．

假设平面PAB⊥平面PBC，由已知PA⊥AE，由正六边形知道：AE⊥AB，∴AE⊥平面PAB，∴AE//平面PBC，由直线平行平面的性质知道：AE//BC，而BC//EF，∴AE//EF，于是自相矛盾，∴假设不成立，故不选B．

假设BC//平面PAE，由直线平行平面的性质知道：BC//AE，而BC//EF，∴AE//EF，于是自相矛盾，∴假设不成立，故不选C．

因此选D．事实上，∵PA⊥平面ABC，∴∠PDA是PD与平面ABC所成的角，∵ABCDEF是正六边形，∴AD=2AB，∵PA=2AB，∴AD=PA，∴∠PDA=45°故选D.

别解：∵题设有等量关系：PA=2AB，由已知可知：AD=2AB，∴PA=AD，∵PA⊥平面ABC，∴∠PDA是PD与平面ABC所成的角等于45°，故选D．

（6）B．【解读与点评】此题由第二册（上）P6中定理3的推论改编而成．

此题学生容易失误的地方是：充分性的判定．

此题的一般解法是：由第二册（上）P6中定理3的推论知道：同向不等式可以相加，但不能相减，于是由“c?d”和“a?c?b?d”相加可得“a?b”，但“a?b”和“c?d”不能相减，所以无法得出“a?c?b?d”，故选B． （7）C．【解读与点评】由渐近线方程知道：b?2．

23y02此题的一般解法是：∵点P（3，y0）在该双曲线上，∴?2?1，∴y02?1，当y0?12b?????????时，点P（3，1），由双曲线的纺方程可知F2(2,0)，∴PF1(?2,0)，F1?PF2??????????（?2?3，-1）（2?3，-1）=0，当y0??1时，同理可得：PF1?PF2?0，故选C．

别解：c?a?b?4，∴e?222c?2，∴F2(2,0)，∴|F1F2|?4，1(?2,0)，Fa由焦半径知道：|PF1|?3e?a?6?2，|PF2|?3e?a?6?2，

7

?????????∴|PF1?PF2，所以PF1|?|PF2|?16=|F1F2|，故PF1?PF2?0，故选C．

222（8）B．【解读与点评】此题学生容易失误的地方是：不知道要求∠BOC．

此题的一般解法是：设过A、B、C三点的小圆的半径为r，则

r?R2?d2?9?932，∵∠ABC=90°，∴AC=2r=32，∴AB=BC=3， ?2260?2?R??，∴选B． 360∴∠BOC=60°，∴B、C两点的球面距离是

此题考查了球的性质，90°的圆周角所对的弦是圆的直径，勾股定理或三角函数，球面距离的概念和弧长公式，这些都是课本中的基础知识．

（9）A．【解读与点评】此题学生容易失误的地方是：设出动点P的坐标，然后老老实实把距离表示出来，再求其最小值，这样有可能解答不出结果来。

此题的一般解法是：易知直线l2：x??1刚好是抛物线的准线，又由l1的方程代入抛物线方程消去x得：y?3y?6?0，???15?0，所以直线l1与抛物线相离，按抛物线的定义，点P到l2的距离等于点P到抛物线焦点F（1，0）的距离，依题意：在抛物线上找一点P，P到F的距离与P到l1的距离之和最小，结合图象，就是过点F作l1的垂线，垂足与点F之间的线段交抛物线于点P，即求点F到直线l1的距离d?此题运用了数形结合和等价转换的思想．

（10）D．【解读与点评】此题由第二册（上）P72习题5改编．

此题的一般解法是：设在一个生产周期内可生产甲、乙产品分别为x、y吨，该企业

2|4?0?6|4?(?3)22故选A． ?2，

?3x?y?13?2x?3y?18?可获利z万元，依题意得：?，z?5x?3y

?x?0??y?0先作出可行域，然后在可行域内找出目标函数的最优解是?万元，故选D．

（11）B．【解读与点评】此题的一般解法是：先三个男生站成一排，就形成四个空位，如图，将三个女生任意抽两个女生一组，就把女4分成了两组，

8

?x?3，∴z的最大值为27y?4?男男男将

这两组女生排在四个空位中的两个空即可，但相邻的两个女生中可以调换位置，于是这样的

32222排法有A3，由于甲不站两端，而甲站两端的概率是?(C4?C3?A2)?A2?432（种）

1，所以3符合条件的排法有432×（1-

1）=288（种），故选B． 3此题的综合性很强，把平时熟悉的相邻和不相邻问题以及特殊位置上的排法（甲不站两端）都考虑进来了，有一定的难度。若按分类来做，要进行两重分类（先按甲分四类，每类中又再按相邻两个女生来分类），步骤也比较多．

（12）A．【解读与点评】要求出f(f())，必须求出f()，∵xf(x?1)?(x?1)f(x)，∴必须找出f()，而f(x)是R上的偶函数，∴令x??525211，由已知得：221111111331?f()?f(?)，∴f()?0；又令x?，代入已知得：f()?f()，∴222222222233355355f()?0；再令x?，代入已知得：f()?f()，∴f()?0；∴f(f())?f(0)，22222222现在只需求出f(0)即可，∴令x?0，由已知得：0f(1)?1f(0)，∴f(0)?0，故

5f(f())?f(0)=0，∴选A．

2 此题是对考生数学思维能力的考查，利用分析法把抽象的函数问题通过分析、观察和比较，就可以找到解决它的办法． 二、填空题：

（13）【解读与点评】答案：-20. 此题由第二册（下B）P125第7题改编而成，利用通项公式可以知直接解答出结果，是一道基础性的常规题目，所以牢固掌握课本上的基础知识是十分必要的．

（14）【解读与点评】答案：4. 有的考生在解答此题时把图形特殊处理这样歪打正着，直接把OA当成是⊙O1的切线，O1A当成⊙O的切线，由勾股定理求出m?5，然后利用△D的面积求出O1O边上的高2，即点A的纵坐标为2，由对称性知道AB=4. OOA1m2?15此题的一般解法是：由已知：m?0，⊙O和⊙O1的两个方程相减得：x?，

2mm2?15为直线AB的方程，∴点A的横坐标为．

2m 9

设点A（x1,y1），∴KOA?y1y1，KO1A?，∴过点A且与⊙O相切的切线的斜x1x1?m率为?x1x?mx，过点A且与⊙O1相切的切线的斜率为?1，∵这两条切线互相垂直，∴?1?y1y1y1（?x1?m）=－1，即x12?y12?mx1，∵点A在⊙O上，∴x12?y12?5，∴mx1?5，y15． m即x1?m2?155?，∴m?5，∴x1??1，∴y1??2，故AB=4. 于是

2mm别解1：设点A（x1,y1），过点A与⊙O相切的切线方程是：x1x?y1y?5， 过点A与⊙O1相切的切线方程是：x1x?m(x?x1)?m2?y1y?20，∵这两条切线互相垂直，∴?x1x?m即x12?y12?mx1，∵点A在⊙O上，∴x12?y12?5，?(?1)??1，

y1y155m2?252∴mx1?5，即x1?，∴y1?，代入(x1?m)2?y12?20得：2mm，解得(5?m22)?m52?2?5m20m?5，∴x1??1，∴y1??2，故AB=4.

别解2：设过点A与⊙O相切的切线是直线l，与⊙O1相切的切线是直线l1，∴因此圆心O在直线l1上，圆心O1在直线l上，于是由勾股定理求出m?5，然后利用△OOAD的1面积求出O1O边上的高2，即点A的纵坐标为2，由对称性知道AB=4.

此题看起来很简单，但考生不一定来会想到“别解2”的方法，所以考生解答的运算量还是比较大的，不过把此题放在填空题中还是比较适合的.

（15）【解读与点评】答案：90°. 此题由第二册（下B）P63第4题改编而成．

?????????????????解法一：设正三棱柱的各条棱长都为1，又设AB?a，AC?b，由已知a?c?0，BB1?2c，

???1???????????10b?c?0，a?b?1?1?cos60?，a?b?1，c?，则AB?a2，c1?22???????????????????????BM?b?a?c，∴AB1?BM?(a?2c)?(b?a?c)

???2???????2=a?b?a?a?c?2c?b?2c?a?2c=0，

10

??????????∴AB1与BM互相垂直，故AB1与BM的夹角为90°．

解法二：设正三棱柱的各条棱长都为2，取AB的中点O，A1B1的中点O1，则OC、OB、OO1?????????????两两垂直，以OB、OC、OO1分别为x,y,z的正方向建立空间直角坐标系，则B（1，

?????0，0），A（-1，0，0），C（0，3，0），M（0，3，1），B1（1，0，2），∴AB1?（2，???????????????0，2），BM=（-1，3，1），∴AB1?BM=0， ??????????∴AB1与BM互相垂直，故AB1与BM的夹角为90°．

别解：取AB的中点O，A1B1的中点O1，易知 CO?平面ABB1A1?平面ABB1，C1O1A1，∴CC1在平面ABB1A1上的射影是OO1，∴点M在平面ABB1A1内的射影是OO1的中点E，即AB1的中点，∴BM在平面ABB1A由已知AB1?BE，∴由三垂线定理1内的射影是BE，知道：AB1?BM，∴故AB1与BM的夹角为90°.

（16）【解读与点评】答案：①②④. 此题以熟悉的“向量、映射”为对象，以高代中的“线

??性变换”为背景，始终围绕条件：对所有a、b?V及任意实数?、?都有

????来进行理解和推理论证． f(?a??b)??f(a)??f(b)??此题的一般解法是：令????0，由已知等式得f(0)?0，∴①是真命题；

????????若f(a)?2a，则f(?a??b)?2(?a??b)?2?a?2?b，

???????????f(a)??f(b)??2a??2b?2?a?2?b，∴f(?a??b)?f(?a)?f(?b)，

∴②是真命题；

????????若f(a)?a?e，则f(?a??b)??a??b?e，

?????????????f(?a)?f(?b)??a?e??b?e??a??b?2e，∴f(?a??b)??f(a)??f(b)；

∴③是假命题；

????????在f(?a??b)?f(?a)?f(?b)中令??0，则f(?a)??a，当b?ma时，

?f(b)??f(m?a)?. m，∴④是真命题，故填①②④(fa三、解答题：

11

（17）【解读与点评】第（Ⅰ）问由二倍角公式和已知条件可求出sinA,cosA的值，再由

平方关系求出cosB的值，最后求出cos(A?B)?2，由已知0?A?B??，∴2A?B?A?B??4，考生容易失误的地方是：求出sin(A?B)??2，得出：A?B?或

423?. 4 第（Ⅱ）问由第（Ⅰ）问求出sin(A?B)，即sinC的值，由正弦定理：可得出：

a?c?2b,c?5．

5b，与已知a?b?2?1联立求得： a?2，b?1，

此题考查的内容都是课本上要求的考生必须掌握的基础知识和基本方法.

（18）【解读与点评】第（Ⅰ）问由题意：省外游客27人，持金卡的有9人；省内游客9人，持银卡的有6人，设“采访该团三个人中，恰有1人持金卡且持银卡的人数少于2人”

12111C9C21C369C6C21为事件A，则P(A)?，考生容易失误的地方是：??33C36C3685对“持银卡者少于2人”的理解不准确.

第（Ⅱ）问?的可能取值为0，1，2，3. 易求得?的分布列为：

? P 0 1 2 3 1 843 1415 285 21最后求得：E??2，第（Ⅱ）问是课本上常见的类型题．

（19）【解读与点评】由已知可得出：EA⊥平面ABCD，而ABCD是正方形，∴EA、AD、AB两两垂直，于是可建立空间直角坐标系，此题的三个问题都是平时在复习中见到过的题型，就容易解答出来了．

别解：第（Ⅰ）问由已知可求出∠BEF=90°，∴EF⊥EB，再由平面与平面垂直的性质可得：BC⊥平面ABEF，∴BC⊥EF，∴EF⊥平面BCE.

第（Ⅱ）问取AB的中点N，则PN//BC，取AE的中点M，则MN//BE，于是平面PMN//平面BCE，∴PM//平面BCE．

12

第（Ⅲ）问过F作FO⊥BA的延长线的垂线，垂足为O，由已知可知FO⊥平面ABCD，过O作OG⊥BD于G，连结FG，则FG⊥BD（三垂线定理），∴∠FGO是二面角F—BD—A的平面角，根据已知条件设AB=2，就容易求出∠FGO了. （20）第（Ⅰ）问是课本上的基础知识题目，考生很容易完成．

第（Ⅱ）问，考生容易失误的地方是：①对直线l的斜率不存在时不进行说明，②对

???????????2F2M?F2N?26不知道如何处理．

3???????????226，要处理F2M?F2N?由于F2（1，0）是已知的，若设M（x1，y1），3???????????N（x2，y2），则F,y1)，F,y2) 2M?(x1?12N?(x2?1???????????∴F，∴只要找出x1?x2和y1?y22M?F2N?(x1?x2?2,y1?y2)???????????2来就能利用F2M?F2N?326解答问题了，而求x1?x2和y1?y2是我们

平时练习中常用到的基本技能了，因此就不难解答此题了.这也正好体现了“稳中有变”，但万变还是不离其中的“四基（基础知识、基本技能、基本方法和基本活动经验）”． （21）第（Ⅰ）问是基础性的题目，考生容易完成．

第（Ⅱ）问容易失误的地方是：不根据f(n)的定义域，找 a的取值范围而出错. 由f(n)= log(1?an)知：1?a面就容易解答正确了．

第（Ⅲ）问容易失误的地方是：忽略条件a?e?1，因而进一步忽略x?0，导致解答中出错．

在f(x)?log(1?ax)中，∵a?e?1，∴x?0，于是由已知得：， h(x)?ex(x2?m?1) （x?0）

∴h'(x)?ex(x2?2x?m?1)，

2令h'(x)?0，则x?2x?m?1?0，由△?0得：m?0

n?0，而n?0，∴0?a?1，于是后

∴x??1?m，∵x?0，∴要对m?0、0?m?1和m?1分别来判断

h(x)的极值．

此题的隐藏条件函数的定义域，若被忽略，解答就会出错，所以在平时的复习中应加

13

强这方面内容的训练．

（22）第（Ⅰ）问在平时的复习中做过类似的练习题，考生基本上能完成．

1n)5?(?4)n54（Ⅱ）由第（Ⅰ）问知：bn?=?1 ?1=n1n1n(?4)?11?(?)1?(?)444?(??4?5， n(?4)?1552525?16n?2n?2n?1?= 4?14?1(16)2n?3?16n?416n∴cn?b2n?b2n?1而易求得c1?43，∴T1?c1?，

234111?25(2?????) 当n?2时，Tn?3n31616161125?224146931616. ??25?(1?)????n?11131634821?1?1616 很多考生不会把bn分成两项，cn就放大不出来，也就无法放大Tn了． （Ⅲ）当k?1，k?N时，∵b2k?b2k?1?8?而b2k?1?b2k?8?55?8 ?2k2k?14?14?1542k?1?1?5?8

42k?1*① 当n为奇数时，设n?2k?1（k?N）

Rn?b1?b2?b3????bn=b??(b2k?b2k?1) 1?(b2?b3)???b1?8k=3+8?n?1=4n?1 2Rn?b1?b2?b3????bn?(b??(b2k?1?b2k)?b2k?1 1?b2)?(b3?b4)???8k?4?542k?1?1?8k?4?4n，

∴当n为奇数时，恒有4n?1?Rn?4n

当n为任意正奇数时，?n?Rn都恒成立，而4n?1?Rn?4n，∴??4；

*② 当n为偶数时，设n?2k（k?N）

14

Rn?b1?b2?b3????bn?(b??(b2k?1?b2k) 1?b2)?(b3?b4)???8k?4n，

当n为任意正偶数时，对??4，恒有． ?n?4n?Rn）

综合上述，对一切正整数n满足：?n?Rn恒成立的正实数?的最小值为4． 此问对数学的抽象思维能力要求很高，由{bn}中相邻两项的和与8的大小是关键，对

?n?Rn成立（其理由是

n为正奇数，可求出：4n?1?Rn?4n，由此找到了??4，最后验正了??4，

对任意正偶数n不等式?n?Rn也成立，这样就得到了结果．

试卷综合解读与评析

今年我省的高考数学试题是按照2009年全国统一考试大纲的规定，绝大部分试题立足于现行高中数学教材，基本适合我省考生的数学实际水平和数学素养，该试题有以下特点：

1． 保持稳定，稳中有进

今年我省的高考数学试题延承了过去三年的特点：重视基础，立足于教材，重视对数学思想方法和数学能力的考查；在题型、题量上保持了相对稳定，在难度上略有提升，在内容

15

上，试题融入了数学文化和四川特色，如文科（5）题通过“黄金矩形”这一数学文化为背景，考查统计知识，（18）题概率题背景取自于今年四川省为促进旅游业发展，面向全国发行熊猫卡，充分体现了四川特色；个别试题目有新意，如理科的第（9）、（12）、（16）、理（21）等题；还设计了探索性问题，如理科的第（19）题、文科的第（22）题。

2． 立足教材，正确导向

很多试题都来源于教材，如理科（1）、（2）、（3）、（4）、（6）、（8）、（11）、（13）、（14）、（15）、（17），（18）（Ⅱ）、（20）（Ⅰ）等，文科（1）、（2）、（4）、（7）、（9）、（11）、（13）、（14）、（15）、（17）等都是从教材中的内容改编而来。既有利于纠正高三复习中片面追求“新、奇、怪”的现象；又有利于防止高三复习中脱离教材以教辅资料代替高三复习的片面做法；还有利于高中素质教育及减轻高中学生过重的学业负担。

3． 平和朴实，寓含深意

今年的高考试题看起来都比较朴实、平和，很多题目都是考生熟悉的题干，但深入解题后又会发现与过去已作过的题目不同，例如理科的第（11）题，第（20）（Ⅱ）题，第（21）（Ⅱ）（Ⅲ）题等，考生是比较熟悉的，但要完整解答这几道题就不那么容易了，这就要求考生的思维能力要有一定的深刻性。

4． 多考点想，少考点算

如理科（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）、（9）、（13）、（14）、（15）题及文科（1）、（2）、（4）、（6）、（7）、（13）题都不需要过多的计算就可得出结论。理科（9）、（14）、（15）题如果考生想通了，借助于数形结合的思想计算就很简单，如果不加分析就用代数方法计算就比较难。

5． 低起点，广入口，高结尾

今年文理科试题起点都较低，一方面有利于稳定考生情绪，迅速进入较佳状态；另一方面也让不同程度的考生都能正常发挥自己的水平。

很多试题入口较宽，例如（11）题这个排列组合问题可以用直接法也可以用间接法求解；（15）、（19）题立体几何题目都可以用推理、空间向量两种方法去求解；理科（20）题、文科（21）题可以直接计算向量 ，也可以通过三角形的中线性质转化。

压轴题设置了一定的难度，有利于高校选拔新生。文科（22）题与理科（22）题是姊妹题，但该题理科最后难度比文科略高，但该题第（Ⅰ）问既是一个低起点的问题，也是后两问的一个提示。

全套试题梯度明显，区分度较好。基础题主要考查高中数学最基本的概念和方法；中档

16

题多在知识的交汇处考查主干知识，如第（7）、（9）、（14）、（16）、（18）（Ⅰ）、（19）、（20）（Ⅱ）题等；难度大一点的题如第（11）、（21）（Ⅱ）（Ⅲ）、（22）（Ⅱ）（Ⅲ）题必须是数学能力很强的考生才可能做好。

6．试题注意了文理科的差异

文科试题的起点比理科低，如（1）、（13）题；全卷对文理科安排了有部分差异的姊妹题8个，完全相同的题10个，全然不同的题4个。

总之，今年的试题较好的体现了考试大纲的精神，同时又立足于现行高中数学教材及教学实际，是一套较好的试题。

说明《四川省09年高考数学试题评析》参考了成都八中 傅勤的《09年四川高考数学试题简评》文章出处：

http://www.zk789.net/HtmlContent/EduExamNews/GaoKao/XinXi/0906/1028.html

2009年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数学（文史类）

一，选择题：

（1） 设集合S?xx?5,T?x?x?7??x?3??0，则S?T? (A) {x∣-7＜x＜-5} (B) {x∣3＜x＜5 } (C) {x∣-5＜x＜3} (D) {x∣-7＜x＜5}

17

????

(2)函数y?2x?1（x∈R）的反函数是

（A）y?1?log2x（x＞0） (B) log2(x?1)（x＞1） （C）y??1?log2 （x＞0） (D) log2(x?1)（x＞-1）

（3）等差数列an?的公差不为零，首项a1=1，a2是a1和a5等比中项，则数列an?的前10项之和是

（A）90 (B) 100 (C) 145 (D) 190 （4）已知函数f(x)?sin(x????2)(x?R)，下面结论错误的是

（A）函数f(x)的最小正周期为2?

(B) 函数f(x)在区间?0,???上是增函数 ??2?(C) 函数f(x)的图像关于直线x?0对称 (D) 函数f(x)是奇函数

（5）设矩形的长为a，宽为b，其比满足b:a?5?1?0.618，这种矩形给人美感，称2为黄金矩形。黄金矩形常应用于工艺品设计中。下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：

甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639 乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620

根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是 （A）甲批次的总体平均数与标准值更接近。 （B）乙批次的总体平均数与标准值更接近

（C）两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 （D）两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定

（6）如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA?平面ABC，PA=2AB,则下列结论正确的是 （A）PB?AD

（B）平面PAB?平面PBC

18

（C）直线BC//平面PAE

（D）直线PD与平面ABC所成的角为45

（7）已知a，b，c，d为实数，且c?d，则“a>b”是“a?c?b?d”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

0x21??1(b?0)的左、右焦点分别为F1、（8） 已知双曲线F2，其一条渐进线方程为2b2?????????y?x,点p(3,y0)在该双曲线上，则PF1?PF2?

A ?12 B ?2 C 0 D 4

?ABC?90，（9） 如图，在半径为3的球面上有A.B.C三点，BA=BC，

球心O到平面ABC的距离是

?32，则B.C两点的球面距离是 2 A

?4 B ? C ? D 2? 33（10） 某企业生产甲、乙两种产品。已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；

生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是

A 12万 B 20万 C 25万 D 27万

（11） 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3为女生中有且只有

两位女生相邻，则不同排法的种数是

A 60 B 48 C 42 D 36

（12） 已知函数f?x?是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有

5xf(x?1)?(1?x)f(x)，则f()的值是

215 A 0 B C 1 D

22第Ⅱ卷

本卷共10小题，共90分.

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

19

（13）抛物线y2?4x的焦点到准线的距离是 . （14）(2x?作答）

（15）如图，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的各条棱长都相等，

M是侧棱CC1的中点，侧异面直线AB1和BM所成的角的大小是 . （16）设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f:V?V,a?V,记a的象为f(a).若映射f:V?V满足：对所有a,b?V及任意实数?、?都有

16)的展开式的常数项是 .（用数字2xf(?a??b)??f(a)??f(b),则f称为平面M上的线性变换，现有下列命题：

① 设f是平面M上的线性变换，a、b?V,则f(a?b)?f(a)?f(b);

② 若e是平面M上的单位向量，对a?V,设f(a)?a?e,则f是平面M上的线性变换； ③ 对a?V,设f(a)??a,则f是平面M上的线性变换；

④ 设f是平面M上的线性变换，a?V，则对任意实数k均有f(ka)?kf(a). 其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）

在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且nsi（Ⅰ）求A+B的值；

（Ⅱ）若a?b?2?1,求a、b、c得值.

5A?ns,i5B?.1010

（18）（本小题满分12分）

为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡），向省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡），某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中在省外游客中有

3是省外游客，其余是省内游客，412持金卡，在省内游客中有持银卡. 33（Ⅰ）在该团中随即采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；

20

（Ⅱ）在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相当的概率.

（19）（本小题满分12分）如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB=AE,FA=FE,∠AEF=45°.

（Ⅰ）求证：EF⊥平面BCE；

（Ⅱ）设线段CD、AE的中点分别为P、M，求证：PM∥平面BCE； （Ⅲ）求二面角F-BD-A的大小.

（20）（本小题满分12分）

已知函数f(x)?x?2bx?cx?2的图象在与x轴交点处的切线方程是y?5x?10. （Ⅰ）求函数f(x)的解析式；

32（Ⅱ）设函数g(x)?f(x)?1mx,若g(x)的极值存在，求实数m的取值范围以及函数3g(x)取得极值时对应的自变量x的值.

（21）（本小题满分12分）

x2x22已知椭圆2?2?1(a?b?o)的左、右焦点分别为F1、F2,离心率e?，右准线

ab2方程为x=2.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

21

??????????226l（Ⅱ）过点F,求直线1的直线与该椭圆相交于M、N两点，且|F2M?F2N|?3l的方程式.

（22）（本小题满分14分）

设数列?an?的前n项和为sn,对任意的正整数n，都有an?5sn?1成立，记

bn?4?an(n?N?). 1?an（Ⅰ）求数列?an?与数列?bn?的通项公式；

（Ⅱ）设数列?bn?的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rk?4k成立？若存在，找出一个正整数k;若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）记cn?b2n?b2n?1(n?N?),设数列|cn|的前n项和味Tn，求证：对任意正整数n，都有Tn?

3. 2数学（文史类）参考答案

一．

选择题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分.

(1)C (2)C (3)B (4)D (5)A (6)D

(7) B (8)C (9)B (10)D (11)B (12)A 二．填空题：本题考查基本概念和基本运算。每小题5分，满分60分.

22

(13) 2 (14) -20 (15) 90 (16) 134 三．解答题

(17)本小题主要考查同角三角函数间的系统、两角和差的三角函数公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力.

解(Ⅰ)∵A、B为锐角，sinA=

55,sinB=

1010,

∴cosA=

1?sin2A?253101?sin2B?,cosB=510

∴cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB=∵0

253105102??*?5105102

?∴A+B=4. ?????????6分

?(Ⅱ)由(Ⅰ)知C=34,∴sinC=

22.

abc??由正弦定理 sinAsinBsinC得

5a?10b?2c,即a?2b,c?5b

∵a-b=∴

2?1,

2b?b?2?1,∴b=1

∴a=

2,c?5. ???????????12分

(18)本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概率计算，考查运用概率知识实际问题的能力。

解（I）由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡。

设事件A为“采访该团2人，恰有1人持银卡。

11C6C2P(A)?230?

C367 23

所以采访该团2人，恰有1人持银行卡的概率是

2 7（Ⅱ）设事件B为“采访该团2人中，持金卡人数与持银卡人数相等”， 事件A， 1为“采访该团2人中，0人持金卡，0人持银卡”事件A2为“采访该团2人中，1人持金卡，1人持银卡”，

P(B)?P(A1)?P(A2)

112C9CC21?2?26C36C36

13??33544?105

所以采访该团2人中，持金卡人数与持银卡人数相等的概率是分

44………………………..12105（19题）本小题主要考查平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。 解法一：

（Ⅰ）因为平面ABEF?平面ABCD,BC?平面ABCD，BC?AB，

平面ABEFI平面ABCD?AB

所以BC?平面ABEF

因为?ABE为等腰直角三角形，AB?AE, 所以?FEB?45?45?90 即EF?BE

因为BC?平面BCE,BE?平面BCE

000BCIBE?B,

所以EF?平面BCE

//1(Ⅱ)取BE的中点N，连结CN,MN,则MN?AB?PC,

2//所以PMNC为平行四边形，所以PM//CN

24

因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内， 所以PM//平面BCE

(Ⅲ)由EA?AB,平面ABEF?平面ABCD,易知EA?平面ABCD. 作FG?AB交BA的延长线与G则，FG//EA,从而，FG?平面ABCD. 作GH?BD于H,连结FH,则由三垂线定理知，BD?FH。 因此?FHG为二面角F?BD?A的平面角 因此FA?FE,?AEF?450, 所以?AFE?900,?FAG?450,

设AB?1,则AE?1,AF?2 2FG?AF?sinFAG?1 20在Rt△BGH中∠GBH=45,BG=AB+AG=1+

13=。 22GH=BG ?sinGBH?3232?? 224FG3? GH22 ………………….12分 3在Rt△FGH中，tanFHG?故二面角F-BD-A的大小为arctan解法二：

（Ⅰ）因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE， 所以AE⊥AB,

又因为平面ABEF⊥平面ABCD，AE?平面ABEF 平面ABEF ?平面ABCD= AB 所以AE⊥平面ABCD 所以AE⊥AD

因此，AD，AB，AE两两垂直，建立如图所示的直角坐 标系A?xyz.

25

设AB=1，则AE=1，B（0，1，0），D（1，0，0）， E（0，0，1），C（1，1，0） 因为FA=FE，∠AEF=45, 所以∠AEF=90. 从而，F（0，?0011，）. 22?????????11???EF?(0,?,?),BE?(0,?1,1),BC?(1,0,0).

22????????????????11EF?BE?0???0,EF?BC?0

22所以EF⊥BE，EF⊥BC.

因为BE?平面BCE，BC?平面BCE，BC?BE=B，

所以EF⊥平面BCE. …………………………………4分

11）.P（1, ,0）. 22?????11从而PM=（?1,?，）.

22?????????1111（?1,? ，）（?0,? ，?）=0 于是PM?EF?2222（Ⅱ）M（0，0，

所以PM⊥FE，又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，

故PM∥平面BCE. ………………………8分

??????（Ⅲ）设平面BDF的一个法向量为n1，并设n1=（x，y，z）

????????31BD=(1，?1，0)，BF?(0,?,)

22????????x?y?0???n1?BD?0 即 ????????3?1?y?z?0???n1?BF?0?22???去y=1，则x=1，z=3，从n1=（0，0，3） ???取平面ABD的一个法向量为n2=（0，0，1） ????????????n?n3311 ?12????cosn1,n2????11|n1|?|n2|11?1故二面角F-BD-A的大小为arccos311. ……………………….12分 1126

（20）本小题考查函数、函数极值的概念，考查应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力。

解：（Ⅰ）由已知，切点为（2，0）故有f(2)=0，即4b+c+3=0 …….①

f'(2)?x3?2x2?x?2，由已知f'(2)?12?8b?c?5.

得8b?c?7?0 …..② 联立①、②，解得c=1,b=?1

于是函数解析式为f'(2)?x3?2x2?x?2 ……………..4分 （Ⅱ）g(x)?x?2x?x?2?321mx 3g'(x)?3x2?4x?1?m' ，令g(x)?0 32当函数有极值时，△?0，方程3x?4x?1?由△=4（1?m）?0，得m ?1

'①当m=1时，g(x)?0有实根x?m?0有实根， 322'，在x?左右两侧均有g(x)?0，故 33

函数g(x)?0无极值。

'②m ?1时，g(x)?0有两个实根，x1?'11(2?1?m)，x2?(2?1?m)， 33当x变化时，g(x)、g(x)的变化情况如下表：

故在m?(??,1)时，函数g(x)有极值：

1(2?1?m)时g(x)有极大值； 31当x?(2?1?m)时g(x)有极大值。………………………12分

3当x?

（21）本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理运算能力。

27

?c2???a2解得a=2,c=1

解：（Ⅰ）由条件有?2?a?2??c?b?a2?c2?1

x2?y2?1 ………………….4分 所以，所求椭圆的方程为2（Ⅱ）由（Ⅰ）知F1(?1,0)、F2(1,0)

若直线L的斜率不存在，则直线L的方程为x= —1， 将x= —1代入椭圆方程的y??2 2不妨设M (?1,22)、N (?1,?) 22???????????22?F2M?F2N?(?2,)?(?2,?)?(?4,0)

22????????????|F2M?F2N|?4,与题设矛盾。

∴直线l的斜率存在

设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y?k(x?1) 设M(x1,y1)、N(x2,y2)

?x22??y?1联立?2,消y得(1?2k2)x2?4k2x?2k2?2?0

?y?k(x?1)?2k?4k2y?y?k(x?x?2)?由根与系数的关系知x1?x2?，从而 12121?2k21?2k2??????????又∵F2M?(x1?1,y1),F2N?(x2?1,y2)，

??????????∴F2M?F2N?(x1?x2?2,y1?y2)

28

??????????2?|F2M?F2N|?(x1?x2?2)2?(y1?y2)28k2?222k2?()?()221?2k1?2k4(16k2?9k2?1)?4k4?4k2?14(16k4?9k2?1)2262??()424k?4k?13化简得40k?23k?17?0

2解得k?1或k??2

4217（舍） 40?k??1

∴所求直线l的方程为y?x?1或y??x?1

（22）本小题主要考查数列、不等式等基础知识，化归思想等数学思想方法，以及推理论证、分析与解决问题的能力。

解：（Ⅰ）当n?1时，a1?5a1?1,?a1??又∵an?5Sn?1,an?1?5Sn?1?1 ∴an?1?an?5an?1，即an?1??1 41an 41an4∴数列{an}成等比数列，其首项an?1??

14?(?)n4 ∴an?11?(?)n4（Ⅱ）不存在正整数k，使得Rk?4k成立 下证：对任意的正整数n，都有Rk?4n成立

由（Ⅰ）知bn?4?5

(?4)n?1 29

?b2k?1?b2k?8?52k12k?1(?4)?1(?)?14520 ?8?k?k16?116?415?16k?40?8?k?8k(16?1)(16?4)?5 30

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