2011考研-新东方-概率与统计讲义

新东方在线考研数学基础班电子版教材——概率与树理统计

第一章 随机事件和概率

第一节 基本概念

1、排列组合初步

（1）排列组合公式

nAm?m! 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

(m?n)!m! 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

n!(m?n)!nCm?例1．1：方程

117的解是 ??xxxC5C610C7A． 4 B． 3 C． 2 D． 1

例1．2：有5个队伍参加了甲A联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？

(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m3n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m3n 种方法来完成。

例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？

例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？

例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域

的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种 B．140种 C．160种 D．180种

(4)一些常见排列

①特殊排列 相邻 彼此隔开

顺序一定和不可分辨

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例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下

要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。

例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？

例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，

问有多少种排法？

②重复排列和非重复排列（有序）

例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？

③对立事件

例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？

例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？

④顺序问题

例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）

2、随机试验、随机事件及其运算

（1）随机试验和随机事件

如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。

例如：掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件；电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数（泊松分布）；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件（正态分布）。 在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： （1） 每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； （2） 任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用?来表示，例如?1,?2,??n（离散）。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用?表示。 一个事件就是由?中的部分点（基本事件?）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，?表示事件，它们是?的子集。

如果某个?是事件A的组成部分，即这个?在事件A中出现，记为??A。如果在一次试验中所出现的?有??A，则称在这次试验中事件A发生。

如果?不是事件A的组成部分，就记为??A。在一次试验中，所出现的?有??A，

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则称此次试验A没有发生。

? 为必然事件，?为不可能事件。

（2）事件的关系与运算 ①关系：

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：A?B 如果同时有A?B，B?A，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：A?B，或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者AB，它表示A发生而B不发生的事件。

A、B同时发生：A?B，或者AB。A?B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事

件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

?-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥

未必对立。 ②运算：

结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C

分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)

德摩根率：i?1?A??Aii?1??i

A?B?A?B，A?B?A?B

例1．16：一口袋中装有五只乒乓球，其中三只是白色的，两只是红色的。现从袋中取球两次，每次一只，取出后不再放回。写出该试验的样本空间?。若?表示取到的两只球是白色的事件，?表示取到的两只球是红色的事件，试用?、?表示下列事件：

（1）两只球是颜色相同的事件C，

（2）两只球是颜色不同的事件D，

（3）两只球中至少有一只白球的事件E。

例1．17：硬币有正反两面，连续抛三次，若Ai表示第i次正面朝上，用Ai表示下列事件：

（1）前两次正面朝上，第三次正面朝下的事件C，

（2）至少有一次正面朝上的事件D， （3）前两次正面朝上的事件E。

3、概率的定义和性质

（1）概率的公理化定义

设?为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：

1° 0?P(A)?1， 2° P(Ω) =1

3° 对于两两互不相容的事件A1，A2，?有

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????P???Ai????P(Ai)?i?1?i?1

常称为可列（完全）可加性。 则称P(A)为事件A的概率。

（2）古典概型（等可能概型）

1° ????1,?2??n?， 2° P(?1)?P(?2)??P(?n)?1。 n设任一事件A，它是由?1,?2??m组成的，则有

P(A)=?(?1)?(?2)???(?m)? =P(?1)?P(?2)???P(?m)

?mA所包含的基本事件数? n基本事件总数例1．18：集合A中有100个数，B中有50个数，并且满足A中元素与B中元素关系a+b=10的有20对。问任意分别从A和B中各抽取一个，抽到满足a+b=10的a,b的概率。 例1．19：5双不同颜色的袜子，从中任取两只，是一对的概率为多少？

例1．20：在共有10个座位的小会议室内随机地坐上6名与会者，则指定的4个座位被坐

满的概率是 A．

1 14 B．

1 13 C．

1 12 D．

1 11例1．21：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的概率？（有序） 例1．22：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的概率？（有序） 例1．23：3白球，2黑球，任取2球，2白的概率？（无序）

注意：事件的分解；放回与不放回；顺序问题。

4、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯）

（1）加法公式

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)

例1．24：从0，1，?，9这十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率： A＝“三个数字中不含0或者不含5”。

（2）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB)

当B?A时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P(B)=1- P(B)

例1．25：若P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3，求P(A+B)和P(A+B).

例1．26：对于任意两个互不相容的事件A与B， 以下等式中只有一个不正确，它是：

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(A) P(A-B)=P(A) (B) P(A-B)=P(A) +P(A∪B)-1 (C) P(A-B)= P(A)-P(B) (D)P[(A∪B)∩(A-B)]=P(A) (E)p[A?B]=P(A) -P(A∪B)

（3）条件概率和乘法公式

定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称件概率，记为P(B/A)?P(AB)为事件A发生条件下，事件B发生的条P(A)P(AB)。 P(A)条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 例如P(Ω/B)=1?P(B/A)=1-P(B/A) 乘法公式：P(AB)?P(A)P(B/A)

更一般地，对事件A1，A2，?An，若P(A1A2?An-1)>0，则有

P(A1A2?An)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)??P(An|A1A2?An?1)。

例1．27：甲乙两班共有70名同学，其中女同学40名，设甲班有30名同学，而女生15名，问在碰到甲班同学时，正好碰到一名女同学的概率。

例1．28：5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问以下事件的概率？ ①第一次打开；②第二次打开；③第三次打开。

（4）全概公式

设事件B1,B2,?,Bn满足

1°B1,B2,?,Bn两两互不相容，P(Bi)?0(i?1,2,?,n)， 2°则有

nA??Bii?1，

P(A)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)???P(Bn)P(A|Bn)。

此公式即为全概率公式。

例1．29：播种小麦时所用的种子中二等种子占2％，三等种子占1.5％，四等种子占1％，其他为一等种子。用一等、二等、三等、四等种子播种长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，试求种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率。

例1．30：甲盒内有红球4只，黑球2只，白球2只；乙盒内有红球5只，黑球3只；丙盒

内有黑球2只，白球2只。从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的概率是：

A．0.5625 B．0.5 C．0.45 D．0.375 E． 0.225

例1．31：100个球，40个白球，60个红球，不放回先后取2次，第2次取出白球的概率？第20次取出白球的概率？

（5）贝叶斯公式

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kcr6.html