离散数学试卷及答案

离散数学试题与答案试卷一

一、填空 20% （每小题2分）

1．设 A?{x|(x?N)且(x?5)},B?{x|x?E且x?7}（N：自然数集，E+ 正偶

数） 则 A?B? 。 2．A，B，C表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。

3．设P，Q 的真值为0，R，S的真值为1，则

A B C ? ?(P?(Q?(R??P)))?(R??S)的真值= 。

4．公式(P?R)?(S?R)??P的主合取范式为 。

5．若解释I的论域D仅包含一个元素，则 ?xP(x)??xP(x) 在I下真值为 。

6．设A={1，2，3，4}，A上关系图为

则 R2 = 。

7．设A={a，b，c，d}，其上偏序关系R的哈斯图为

则 R= 。

8．图的补图为 。

9．设A={a，b，c，d} ，A上二元运算如下：

* a b c d a b c d a b c d b c d a c d a b d a b c 那么代数系统的幺元是 ，有逆元的元素为 ，它们的逆元分别为 。

10．下图所示的偏序集中，是格的为 。

二、选择 20% （每小题 2分）

1、下列是真命题的有（ ） A． {a}?{{a}}；

B．{{?}}?{?,{?}}；

C． ??{{?},?}； D． {?}?{{?}}。 2、下列集合中相等的有（ ）

A．{4，3}??；B．{?，3，4}；C．{4，?，3，3}；D． {3，4}。 3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（ ）个。 A． 23 ； B． 32 ； C． 23?3； D． 32?2。

4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（ ） A．若R，S 是自反的， 则R?S是自反的； B．若R，S 是反自反的， 则R?S是反自反的； C．若R，S 是对称的， 则R?S是对称的； D．若R，S 是传递的， 则R?S是传递的。

5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下

R?{?s,t?|s,t?p(A)?(|s|?|t|}则P（A）/ R=（ ）

A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}； D．{{?}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}

6、设A={?，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“?”的哈斯图为（ ）

7、下列函数是双射的为（ ）

A．f : I?E , f (x) = 2x ； B．f : N?N?N, f (n) = ； C．f : R?I , f (x) = [x] ； D．f :I?N, f (x) = | x | 。 （注：I—整数集，E—偶数集， N—自然数集，R—实数集） 8、图 中 从v1到v3长度为3 的通路有（ ）条。

A． 0； B． 1；

C． 2；

D． 3。

9、下图中既不是Eular图，也不是Hamilton图的图是（ ）

10、在一棵树中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点则该树有（ ）个4

度结点。

A．1； B．2； C．3； D．4 。

三、证明 26%

１、R是集合X上的一个自反关系，求证：R是对称和传递的，当且仅当

< a, b> 和在R中有<.b , c>在R中。（8分）

２、f和g都是群到< G2, *>的同态映射，证明是的一个子

群。其中C={x|x?G1且f(x)?g(x)} (8分)

３、G= (|V| = v，|E|=e ) 是每一个面至少由k（k?3）条边围成的连通平面

e?k(v?2)k?2图，则

， 由此证明彼得森图（Peterson）图是非平面图。（11分）

四、逻辑推演 16%

用CP规则证明下题（每小题 8分） 1、A?B?C?D,D?E?F?A?F 2、?x(P(x)?Q(x))??xP(x)??xQ(x)

五、计算 18%

1、设集合A={a，b，c，d}上的关系R={ ,< b , a > ,< b, c > , < c , d >}用矩阵运算求出R的传递闭包t (R)。 （9分）

2、如下图所示的赋权图表示某七个城市v1,v2,?,v7及预先算出它们之间的一些直接通信线路造价，试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小。 （９分）

试卷一答案：

一、填空 20% （每小题2分）

1、{0，1，2，3，4，6}； 2、(B?C)?A；3、1； 4、(?P?S?R)?(?P??S?R)； 5、1；6、{<1,1>, <1,3>, <2,2>, <2,4> }；7、{,,,,} ? IA ；8、

9、a ；a , b , c ,d ；a , d , c , d ；10、c; 二、选择 20% （每小题 2分）

题目 答案

三、证明 26%

1、 证：

“?” ?a,b,c?X1 C D 2 B、C 3 C 4 A 5 D 6 C

7 A 8 D 9 B 10 A 若, ? R由R对称性知

, ? R

“?” 若 ? R， ? R有 ? R 任意 a,b?X，因

? R若 ? R? ? R 所以R是对称的。

若 ? R， ? R 则 ? R ??b,c??R ? ? R 即R是传递的。 2、 证

f(b?1?a,b?C)?f?1?1，

g(b?1?1有

)?g?1

f(a)?g(a),f(b)?g(b)?1，

?1又

(b),(b)?f(b?1)?f?1(b)?g?1?1(b)?g(b)

?f(a★b)?f(a)*f(b)?g(a)*g(b)?g(a★b)

?a★b?1?C ?< C , ★> 是 < G1 , ★>的子群。

3、 证：

r2e?①设G有r个面，则

2?v?e?r?v?e?2ek即得

e??d(F)?rkii?1，即

r?2ek。而 v?e?r?2故

k(v?2)k?2。（8分）

e?k(v?2)k?2②彼得森图为k?5,e?15,v?10，这样

不成立，

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kcqg.html