《数学发展简史》

《数学发展简史》

主讲教师：王幼军

目 录

导言：为什么学习数学史 第一讲： 早期文明中的数学 1．古埃及的数学 2．巴比伦的数学 3．中国早期的数学 第二讲：古希腊的数学

1．希腊数学——从爱奥尼亚到亚历山大 2．亚历山大时期 第三讲：中国古代的数学 1．汉以前的中国数学

2．从魏晋到隋唐时期的中国数学 3．十二、三世纪的宋元数学 第四讲：印度与阿拉伯的数学 1．印度的数学 2．阿拉伯数学 第五章：数学的复兴 1．中世纪的欧洲数学

2．经验主义数学观的形成及其对于近代数学实践的影响 3．三次、四次方程的求根公式的解决 4．三角学的历史 第六讲：近代数学的兴起 1．对数

2．解析几何的诞生 3．微积分的产生与发展 4．概率论的产生 第七讲：近代数学的发展 1．几何学的发展 2．代数学的发展 3．分析学的发展 4．公理化运动

第八讲：现代数学概观

1．集合论悖论与数学基础的研究 2．纯数学的发展 3．应用数学的发展 4．六十年代以后的数学

导言：为什么学习数学史

1．为了更全面、更深刻地了解数学

每一门学科都有它的历史，文学有文学史，哲学有哲学史，天文学有天文学史等等。数学有它自己的发展过程，有它的历史。它是活生生的、有血有肉的。无论是概念还是体系，无论是内容还是方法，都只有在与其发展过程相联系时，才容易被理解。可以说，不懂得数学史，就不能真心地理解数学。数学课本上的数学，经过多次加工，已经不是原来的面貌；刀斧的痕迹，清晰可见。数学教师要把课本上的内容放到历史的背景上考察，才能求得自己的理解；然后，才有可能帮助学生理解。

2．为了总结经验教训，探索发展规律

我国自古以来就非常重视历史、“前事之不忘，后事之师”（《战国策·赵策一》）早已成为人们的共识。英国哲学家培根（Francis Bacon， 1561—1626）的名言“历史使人明智”（Histories make men wise）也是尽人皆知的成语。数学有悠久的历史，它的成长道路是相当曲折的。有时兴旺发达，有时衰败凋残。探索它的发展规律，可以指导当前的工作，使我们少走或不走弯路，更好地做出正确的判断，制定合理的政策。

3．为了教育的目的

（1）激发兴趣，开阔眼界，启发思维，

经验证明，在数学课中加入数学史的讲授会使学生兴趣盎然。任何一个静止的事物，如果和它的历史联系起来，就会对它有浓厚的兴趣。教师讲授一条定理，如果不仅仅给出推导和证明，还指出它的思考路线，以及学者研究和发现定理的经过，课堂空气会立刻活跃起来。教师也可以适当介绍和本定理有关的典故和趣事。学生开阔了眼界．知道一个定理的发现过程竟如此曲折，印象会非常深刻。讲述定理的来龙去脉，可以开拓学生的思维，使他们从多个方面去思考问题。（如果不是专门的数学史课，史料的加入宜适而止，否则会喧宾夺主，冲淡了主题）

（2）表彰前贤，鼓励后进。

数学是人类智慧的结晶，是全世界人民宝贵的精神财富。今天数学的繁荣昌盛，实得力于千百年来数学工作者的辛勤劳动。饮水必须思源，数典不可忘祖，他们的丰功伟绩，理应载人史册。数学史的主要内容之一，就是记述他们的生平事迹和重要贡献，以供后人参考借鉴。其目的在于总结先辈的经验教训，学习他们不畏艰苦的创业精神。表彰前贤，足以鼓励后进。

4．文化的目的

数学是文明的一个组成部分。数学不仅仅是形式化、演绎化的思维训练，也不仅仅是一门严肃的、抽象的学科，数学其实是丰富多彩的文化的产物，数学中的几乎每一步进展都反映了推进者的个人背景、时

间和地点的影响，也受到当时流行的价值观、社会思想和当时所有的资源的影响。所以，数学不仅是一种单纯的知识活动，它也拥有丰富的历史文化向度，人类丰富多彩的文化为它染上了浓重眩目的文化色彩。几乎任何一门数学分支的发展都反映了一定时代和地域所流行的价值观和各种因素的影响，这些因素包括游戏娱乐、美学欣赏、宗教信仰、哲学思考和实用价值探索等，在数学中它们是如此紧密地交织在一起，只要拆散和剔除其中的任何一个方面都将给数学带不可估量的损失。

为了探索及揭露数学发展的规律，也为了叙述的方便，常常将整个发展史划分为若干个阶段，这就是数学史的分期。分期的标准主要有两种，一种是根据数学本身的特点（通常叫做“内史”，另一种是根据社会的历史背景（“外史”），三是根据所接受的对象。本课程综合上述看法，采取下面的分期。1早期文明中的数学，2．初等数学的发展，4近代数学的兴起，5近现代数学发展，6现代数学发展概述。

学习资源：

1. 李文林．数学史教程．北京：高等教育出版社，20020

2. 梁宗巨，王青建，孙宏安，《世界数学通史》（上下册），辽宁教育出版社，2004 3. 王青建，《数学史简编》，科学出版社，2004 4. 张奠宙．数学史选讲．上海：上海科学技术出版社，1997

5. J.F.斯科特著，《数学史》，侯德润 张兰译，广西师范大学出版社，2002 6. (美国)卡茨著，《数学史通论》，李文林等译，高等教育出版社，2004 7. [美]H.伊夫斯，《数学史概论》（修订本），欧阳绛译，山西经济出版社，1986 8. 刘钝 (1993)，《大哉言数》，沈阳：辽宁教育出版社

9. M·克莱茵. 数学：《确定性的丧失》，李宏魁译.长沙:湖南科学技术出版社,1999. 10. 李迪主编，《中外数学史教程》，福建教育出版社，1993

11. 汪晓勤，韩祥临．中学数学中的数学史．北京：科学出版社，2002

12. http://math.ntu.edu.tw 13. http://math.ntnu.edu.tw/~horng

14. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/

15. http://math.clarku.edu/~djoyce

第一讲：早期文明中的数学

数学最早起源于适合人类生存的大河流域，例如尼罗河流域的埃及、两河流域的巴比伦、黄河长江流域的中国等。伴随着这些早期文明的发展，数学也开始了它的萌芽和进程。

在有文字记载之前人类就已经有了数概念。起初人们只能认识“有”还是“没有”，后来又渐渐有了

法等。

第二讲：古希腊的数学

数学作为一门独立和理性的学科开始于公元前600年左右的古希腊。古希腊是数学史上一个“黄金时期”，在这里产生了众多对数学主流的发展影响深远的人物和成果，泰勒斯、毕达哥拉斯、柏拉图、欧几里德、阿基米德等数学巨匠不胜枚举。此外，在初等数学时期，东方的中国、印度与阿拉伯等地区也发展出了独具特色的数学知识。在中世纪后期的欧洲，在独特的中世纪文化中，东西方数学知识逐渐融合，为下一个阶段数学的快速发展奠定了基础。

1．希腊数学——从爱奥尼亚到亚历山大

古代希腊从地理疆城上讲，包括巴尔干半岛南部 、小亚细亚半岛西部、意大利半岛南部、西西里岛及爱琴海诸岛等地区。这里长期以来由许多大小奴隶制城邦国组成，直到约公元前325年，亚历山大大帝（ Alexander the Great）征服了希腊和近东、埃及， 他在尼罗河口附近建立了亚历山大里亚城（Alexandria ）。亚历山大大帝死后（323B.C.），他创建的帝国 分裂为三个独立的王国，但仍联合在古希腊文化的约束下，史称希腊化国家。统治了埃及的托勒密一世（ Ptolemy the First）大力提倡学术，多方网罗人才，在亚历山大里亚建立起一座空前宏伟的博物馆和图 书馆，使这里取代雅典，一跃而成为古代世界的学术文化中心，繁荣几达千年之久！

希腊人的思想毫无疑问地受到了埃及和巴比伦的影响，但是他们创立的数学与前人的数学相比较，却有着本质的区别，其发展可分为古典时期和亚历山大时期两个阶段。 一、古典时期（600B.C.-300B.C.）

这一时期始于泰勒斯（Thales）为首的爱奥尼亚学派（Ionians），其贡献在于开创了命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了第一步。稍后有毕达哥拉斯（Pythagoras）领导的学派，这是一个带有神秘色彩的政治、宗教、哲学团体，以「万物皆数」作为信条，将数学理论从具体的事物中抽象出来，予数学以特殊独立的地位。

公元前480年以后，雅典成为希腊的政治、文化中心，各种学术思想在雅典争奇斗妍，演说和辩论时有所见，在这种气氛下，数学开始从个别学派闭塞的围墙里跳出来，来到更广阔的天地里。

埃利亚学派的芝诺（Zeno）提出四个著名的悖论（二分说、追龟说、飞箭静止说、运动场问题），迫使哲学家和数学家深入思考无穷的问题。智人学派提出几何作图的三大问题：化圆为方、倍立方体、三等分任意角。希腊人的兴趣在于从理论上去解决这些问题，是几何学从实际应用向演绎体系靠拢的又一步。

正因为三大问题不能用标尺解出，往往使研究者闯入未知的领域中，作出新的发现：圆锥曲线就是最典型的例子；「化圆为方」问题亦导致了圆周率和穷竭法的探讨。

哲学家柏拉图（Plato）在雅典创办著名的柏拉图学园，培养了一大批数学家，成为早期毕氏学派和后来长期活跃的亚历山大学派之间联系的纽带。欧多克斯（Eudoxus）是该学园最著名的人物之一，他创立了同时适用于可通约量及不可通约量的比例理论。柏拉图的学生亚里士多德（Aristotle）是形式主义的奠基者，其逻辑思想为日后将几何学整理在严密的逻辑体系之中开辟了道路。 （1）泰勒斯﹝Tales of Miletus，约公元前625-前547﹞

古希腊哲学家、自然科学家。生于小亚细亚西南海岸米利都，早年是商人，曾游历巴比伦、埃及等地。泰勒斯是希腊最早的哲学学派──伊奥尼亚学派的创始人，他几乎涉猎了当时人类的全部思想和活动领域，被尊为“希腊七贤”之首。而他更是以数学上的发现而出名的第一人。他认为处处有生命和运动，并以水为万物的本源。泰勒斯在埃及时还曾利用日影及比例关系算出金字塔的高，说明相似形已有初步认识。在天文学中他曾精确地预测了公元前585年5月28日发生的日食，还可能写过《航海天文学》一书，并已知按春分、夏至、秋分、冬至划分四季是不等长的。

证明命题是希腊几何学的基本精神，泰勒斯在数学方面的划时代贡献是开始引入了命题证明的思想，它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论。这在数学史上是一次不寻常的飞跃，其重要意义在于： 1. 保证命题的正确性，使理论立于不败之地；

2. 揭露各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，为进一步发展打下基础； 3. 使数学命题具有充份的说服力，令人深信不疑。

数学自此从具体的、实验的阶段过渡到抽象的、理论的阶段，逐渐形成一门独立的、演译的科学。

毕达哥拉斯（以下简称毕氏）于纪元前580年左右出生于生于希腊东部萨摩斯﹝今希腊东部小岛﹞，正是希腊黄金时代的初期，也是罗马帝国建国的时代。在我们东方来说，就是释迦牟尼与孔子的道学，正流行的时代。毕达哥拉斯早年曾在锡罗斯岛向费雷西底﹝Pherecydes﹞学习，又曾师事伊奥尼亚学派的安约西曼德﹝Anaximander﹞，以后游历埃及、巴比伦等地，接受古代流传下来的天文、数学知识。他最后定居在克罗托内﹝Crotone﹞，在那里建立一个宗教、政治、学术合一的团体──毕达哥拉斯学派，它是继伊奥尼亚学派后古希腊第二个重要的学派。这个团体后来在政治斗争中遭到破坏，他逃到塔兰托(Metapontum) ，后终于被杀害。毕氏学派有一个教规，就是一切发现都归功于学派的领袖，且对外保密，故讨论其学术成就时，很难将毕达哥拉斯本人和他的学派分开。

毕氏学派将抽象的数作为万物的本源，“万物皆数”使他们的信条之一。但是，研究数的目的不是为了实际应用，而是通过揭露数的奥秘来探索宇宙的永恒真理。他们将学问分为四类，即算术、音乐﹝数的应用﹞、几何﹝静止的量﹞、天文﹝运动的量﹞；根据“简单整数比”原理创造一套音乐理论；对数作过

深入研究，并得到很多结果，将自然数进行分类，如奇数、偶数、完全数、亲合数、三角数、平方数、五角数、六角数等等；发理勾股定理﹝西方称为毕达哥拉斯定理﹞和勾股数﹝西方称为毕达哥拉斯数﹞；发现五种正多面体；发现不可通约量,甚至于音乐上也可目睹到他所遗留的许多事迹。下面我们来列举十数种毕氏学派的贡献,供大家见赏。

毕达哥拉斯定理是说：一直角三角形中的斜边平方等于两直角边之平方和。如设三角形 ABC 三个边为 a,b,c，其中 c 为斜边 （如图一），则其间的关系为：a2 + b2 = c2

（3），芝诺﹝Zero of Elea，约公元前490-约前425﹞

芝诺生活在古希腊的埃利亚城邦，他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德﹝Parmenides﹞的学生和朋

友。芝诺因其悖论而著名，并因此在数学和哲学两方面享有不朽的声誉。数学史家F?卡约里﹝Cajori﹞说：“芝诺悖论的历史，大体上也就是连续性、无限大和无限小这些概念的历史。”由于芝诺的著作没能流传下来，故只能通过批评他的亚里士多德及其诠释者辛普里西奥斯才得以了解芝诺悖论的要旨的。现存的芝诺悖论至少有8个，其中关于运动的4个悖论：二分说、阿基里斯追龟说、飞箭静止说、运动场悖论尤为著名。前三个悖论揭示的是事物内部的稠密性和连续性之间的区别，是无限可分和有限长度之间的矛盾。他并不是简单地否认运动，而是反对那种认为空间是点的总和、时间是瞬刻的和的概念，他想证明在空间作为点的总和的概念下运动是不可能的。第4个悖论是古代文献中第一个涉及相对运动的问题。

芝诺编造这些悖论的目的何在，历来有许多争论。有人认为是为了反对“多”与“变化”，以维护他的师父 Parmenides（约纪元前五世纪）的万有是“一”与“不变”之学说。从毕氏学派失败的背景来观察，芝诺是对于离散性、连续性、无穷大、无穷小等诡谲概念作诘疑。千古以来可以说是切中数学的核心。芝诺的功绩在于把动和静的关系、无限和有限的关系、连续和离散的关系惹人注意地摆了出来，并进行了辩证的考察。虽然不能肯定他对古典希腊数学的发展有无直接的重要影响，但有一点决不是偶然的巧合：柏拉图写作对话《巴门尼德》篇时，因为其中讨论的主要话题之一是芝诺的观点，芝诺也是书中的主角之一，因此在柏拉图学园中很自然地热烈讨论起芝诺悖论来。当时欧多克索斯正在柏拉图学园中攻读和研究数学与哲学。欧多克索斯在稍后的时间里创立了新的比例论，从而克服了因发现无理数而出现数学危机，并完善了穷竭法，巧妙地处理了无穷小问题。

罗素称赞道：“几乎所有从芝季诺时代到今日所建构出的有关时间、空间与无穷的理论，都可以在季诺的论证里找到背景基础。”

（4），诡辩学派

希波战争以后，希腊商务繁荣，雅典成为文人荟萃的中心。爱奥尼亚学派的哲学家Anaxagoras（B.C.499——427）开始将爱奥尼亚的哲学输入雅典，毕达格拉斯学派的人也群聚于此，只是过去秘密的作风已不复见。雅典人崇尚公开的精神。在公开的讨论中，要想取得胜利，必须具有雄辩、修辞、哲学及数学知识。于是“诡辩学派”应运而生。“诡辩”(Sophism)一词是使人智慧的意思，也译作“哲人学派”或“智人学派”。

经过两千多年的努力，数学家利用代数方法终于证明了三大难题都无解。化圆为方相当于求√π，它不是任何整系数方程的根，因而不可能用尺规作出，1882年由德国数学家林德曼证明。倍立方相当于求3√2，法国数学家范齐尔于1837年证明用尺规作不出等分任意角难在任意，有些角如90度角三等分是可以的。

（5），柏拉图﹝Plato，约公元前427——前347﹞

公元前427年，柏拉图出生于雅典，他自幼受到良好而完备的教育，少年时代勤奋好学、多才多艺且体格健壮。除了家庭的熏陶之外，给他影响最为深远的莫过于正直善辩的哲学家苏格拉底﹝Socrates﹞了，而苏格拉底以不敬神和蛊惑青年的罪名被处死的悲剧给柏拉图极大的刺激，随着年岁的增长，他对当时的政客、法典和习俗愈来愈感到厌恶，从而决心继承苏格拉底的哲学思想，并从事于缔造理想国家的理论研究。柏拉图曾在非洲海岸昔兰尼跟狄奥多鲁斯﹝Theodorns﹞学数学，并成为著名的阿尔希塔斯的知心朋友。约公元前387年，他回到雅典创办他的著名学园，这是一所为系统地研究哲学和科学而开设的高等院校，成为早期毕氏学派和后来长期活跃的亚历山大里亚数学学派之间联系的纽带。公元前347年，柏拉图以八十岁高龄死于雅典。

作为一位哲学家，柏拉图对于欧洲的哲学乃至整个文化的发展，有着深远的影响。特别是他的认识论，数学哲学和数学教育思想，在古希腊的社会条件下，对于科学的形成和数学的发展，起了不可磨灭的推进作用。

从柏拉图的著作中，可以看到数学哲学领域的最初的探究。柏拉图的数学哲学思想是同他的认识论，特别是理念论分不开的。他认为数学所研究的应是可知的理念世界中的永恒不变的关系，而不是可感的物质世界中的变动无常的关系。因此，数学的研究对象应是抽象的数和理想的图形。他在《理想国》中说：“我所说的意思是算术有很伟大和很高尚的作用，它迫使灵魂就抽象的数进行推理，而反对在论证中引入可见的和可捉摸的对象。”他在另一处谈到几何时说：“你岂不知道，他们虽然利用各种可见的图形，并借此进行推理，但是他们实际思考的并不是这些图形，而是类似于这些图形的理想形象。??他们力求看到的是那些只有用心灵之日才能看到的实在。”

如果说数学概念的抽象化定义始于毕达哥拉斯学派，那么，柏拉图及其学派则把这一具有历史意义的工作大大地向前推进了。他们不仅把数学概念和现实中相应的实体区分开来，并把它和在讨论中用以代表它们的几何图形严格地分开。柏拉图是从理念论的角度去探讨数学概念的涵义的。亚里士多德阐释说，柏拉图是将数学对象置于现实对象与理念之间的，数学对象因其常驻不变而区别于现实对象，又因其可能有许多同类对象而区别于理念。

柏拉图十分强调脱离直观印象的纯理性证明，并严格地把数学作图工具限制为直尺圆规。这种主张对于形成欧几里德几何公理演译体系，不无促进作用。

柏拉图也十分重视整数的学问，他在很大程度上继承了毕氏学派的『万物皆数』的观点。他认为宇宙间的天体以至万物都是按照数学规律来设计的。依赖感官所感觉到的世界是混乱和迷离的，因而是不可靠的和无价值的，只有通过数学才能领悟到世界的实质。

此外，柏拉图学派在数学中引入了分析法和归谬法；他给出了点、线、面、体的定义；他对轨迹也有较早的认识，还研究了棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的问题。在算术方面，他们发现了级数的不少重要性质。在天文学方面，他们不只是追寻天文观测的表象，而是寻求完美的有关天体的数学理论。总之，柏拉图学派主张严密的定义与逻辑证明，促成了数学的科学化。

自公元前387年开始，柏拉图就把创建和主持学园教育作为自己最重要的事业。虽然他认为学园的办学宗旨是培养具有哲学头脑的优秀政治人材，直至造就一个能够胜任治国重任的哲学王，但他深信：从事数学研究能培养人的思维能力，并因此是哲学家和那些要治理他的理想国的人所必须具备的基本素养。故学园在具体课程设计上继承和发展了毕氏学派的以数学为主课的方针。据说，他的学园门口写着：“不懂几何者，不得入内”。

柏拉图倡导多层次的数学教育，在某种意义上也体现了一种因材施教的原则。柏拉图首次提出了普及数学教育的主张：『应该严格规定贵城邦的全体居民务必学习几何。??经验证明，学过几何的人在学习其它任何学问时，要比未学过几何的人快得多。』在柏拉图的指导下，学园的数学教育取得极大的成功。在公元前四世纪的希腊，绝大多数知名数学家都是柏拉图的学生或朋友，他们以柏拉图学园为数学交流活动的中心场所，形成以柏拉图为核心的学派，史称柏拉图学派。

美国数学史家博耶评论说：“虽然柏拉图本人在数学研究方面没有特别杰出的学术成果，然而，他却是那个时代的数学活动的核心??，他对数学的满腔热诚没有使他成为知名数学家，但却赢得了‘数学家的缔造者’的美称。”

（6），歐多克索斯﹝Eudoxus，约公元前400-前347﹞

欧多克索斯是古希腊时代成就卓著的数学家和天文学家， 生于尼多斯。曾受教于柏拉图及阿尔希塔斯。

图形的基本几何特点，采用特别的符号来表示它们，并对它们进行运算来产生新的性质。莱布尼兹把他的研究叫做位置分析或位置几何学，并另外宣称应建立一门能直接表示位置的真正几何的学问，这是拓扑学的先声。

1736年，欧拉解决了著名的哥尼斯堡七桥问题。这个问题是，能否在散步中连续地经过如图（6-1的左图）所示的七座桥且每座桥只走一次。欧拉解决问题的方式具有拓扑意义，他简化了这个问题的表示法，用点代表陆地，用线段或弧代表桥，将问题改变成：能否一笔画出下图中的右图。

（2）泛函分析

泛函分析有两个源头。第一个源头是变分法。早在17世纪末18世纪初，约翰·伯努利关于最速降线的工作就可以看成是泛函数研究的开端。这个问题及后来提出的各种变分问题一般都可归结为求形如 或更复杂一些的积分的极值。这里函数 是在某个集合Y上变动。变分法研究以函数y为自变元的函数J(y)。把这里的y视为点，Y视为函数空间的观念是在很晚才形成的。泛函的抽象理论开始于意大利数学家沃尔泰拉（1860-1940）关于变分法的工作，他研究所谓“线的函数”时指出：每一个线的函数是一个实值函数F，它的值取决于定义在某个区间[a, b]上的函数y(x)的全体。全体y(x)被看作一个空间，每个y(x)看作空间中的一个点。对于y(x) 的函数J(y)，沃尔泰拉曾引进连续、微商和微分的定义。法国数学家阿·达马首先称这种函数的函数J(y)为“泛函”，而阿·达马的学生莱维则给泛函的分析性质的研究冠上了泛函分析的名称。

（3）抽象代数学

抽象代数是20世纪初期的数学中最伟大的成果之一，它的产生可以追溯到19世纪。在19世纪，代数学中发生了几次革命性的变革最终促进了抽象代数学的产生，首先是由于阿贝尔和伽罗瓦等人的工作结束了代数学中以解方程为主的时代，并促使人们对于代数学所研究的对象采取一种更为抽象的形式，并且，他们的工作也是后来抽象群论的第一个来源，

自19世纪以来，引起代数学的变革并最终导致抽象代数学产生的工作还有许多，这些工作大致可以分属于群论、代数理论和线性代数这三个主要方面。到19世纪末期，数学家们从许多分散出现的具体研究对象抽象出它们的共同特征来进行公理化研究，完成了来自上述三个方面工作的综合，至此可以说，代数学已发展成为抽象代数学。近代一些德国数学家对这一综合的工作起到主要作用，自十九世纪末戴德金和希尔伯特的工作开始，在韦伯（1842-1913）的巨著《代数教程》的影响下，施泰尼茨（1871-1928）于1911年发表了重要论文《域的代数理论》，对抽象代数学的建立贡献很大。

（4）布尔巴基学派

随着三大理论支柱的建立，20世纪以来，数学越来越向着日益抽象的趋势发展，三十年代，对于推动

这种趋势进一步发展的是尼古拉·布尔巴基的工作。

1939年，布尔巴基出版了一部书名朴实的长篇巨著——《数学原理》，全书分成许多卷，这本书马上引起了数学界极大关注。但是，关于书的作者人们却一无所知，1949年，有人在一篇有关布尔巴基教授的生平简介中提到，他从前是波尔达维亚皇家科学院院士，当时居住在法国的南锡。但是以后不久，大约在1953-1954年，他似乎又与南加哥大学数学研究所有了联系。

3. 应用数学的发展

20世纪现代数学变得抽象化的同时，数学应用的范围也变得更加广泛了。数学不仅仅应用于天文、物理、力学等传统的领域，而且涉及到了人们以往认为的与数学的相互关系不大的生物、地理、化学等领域。今天，可以说几乎所有的科学领域都渗入了数学的概念和方法，而数学本身由于在这些学科上的应用也不断地丰富起来，数理统计学和生物数学的兴起和发展充分说明了这一点。

与数理统计学的兴起和发展相互推动的是另一门应用学科——生物数学的兴起。以往生物学的研究工作大多停留在描述生命现象和定性研究的阶段，对数学的需求自然显得不太迫切，许多人对于“生物学的研究中究竟能用到多少数学知识？”这个问题持消极态度，但事实证明生物学的深入研究必然会遇到大量数学问题。生物界现象的复杂程度远远超过物理现象和化学现象。特别是在定量研究方面更加困难，因此，进行研究所使用数学工具必然多样化。如基因的地理分布、种群的年龄分布、森林病毒的蔓延等等。这些问题的研究都要涉及到种群大小的计算、估计和预测，这是概率论的基本内容。沃尔泰拉模型中用的微分方程、进化论和试验设计发展了数理统计学；遗传结构离不开抽象代数等等。这些都是数学与生物学相互结合的典型事例。到现在为止，生物数学已经有了生物统计学、生物微分方程、生物系统分析、生物控制、运筹、对策等分支。有人预言：“21世纪可能是生物数学的黄金时代。”

应用数学最迅猛的发展开始于四十年代。第二次世界大战期间反法西斯战争的需要，以及战后经济发展的需要等大大促进了该学科的发展。例如：

计算机的出现，使计算数学迅猛发展。一些由于计算量过大而搁置不用的应用方法，这时获得了新的实用价值。线性规划、动态规划、优选法等最优化理论迅速成长起来。应用数学有了电子计算机，如虎添翼，20世纪初期强调抽象理论的趋势至此有了新的变化。

4. 六十年代以后的数学

20世纪60年代以后，数学理论更加抽象。这个时期，除了某些重大的传统科目，如集合论、代数、拓扑、泛函、分析、概率论、数论等等学科有许多重大的进展外，还有许多新兴的分支出现，其中，最引人注目是：非标准分析、模糊数学、突破理论。此外，由于电子计算机的广泛应用，使得数学发展的趋势又有了新变化。

（1）非标准分析

在牛顿—莱布尼兹时代，微积分的基础理论是不严格的；那时，牛顿、莱布尼兹的无穷小游移不定——有时被认为是0，有时被认为不是0，他们自己不能自圆其说，因此，遭到了很多的批评，直到19世纪，才由柯西、波尔查诺、魏尔斯特拉斯等人把微积分的理论建立在严格的极限理论基础上。从此，分析中的无穷小量和无穷大量作为数就再也不存在了，偶而提到，也只是“某变量趋于无穷大”之类的句子，只不过是习惯性的说法而已。但是，1960年秋，罗宾逊（Robinson，Abraham，1918-1974，生于德国人，犹太人，1962年去美国）在普林顿大学的一次报告中却指出，利用新的方法可以使分析学中久已废黜的“无穷小”、“无穷大”的概念重新纳于合法的地位。1961年在《荷兰科学院报告》上刊登了罗宾逊的题为“非标准分析”的文章，表明这一新分支已经形成。

（2）模糊数学

经典集合论已经成为现代数学的基础。在经典集合论中，当确定一个元素是否属于某集合时，只能有两种回答：“是”或者“不是”，它只能表示出现实事物的“非此即彼”状态，然而在现实生活中，却有着大量的“亦此亦彼”的模糊现象，比如“高个子”、“年轻人”、“漂亮的人”等一些更复杂的情况，这样一类问题以经典集合论为基础的数学就不能处理。为了解决这类矛盾，1965年，美国加利福尼亚州立大学的扎德（Zadeh，L.A，1921-）发表了论文《模糊集合》，其中，他提出了一种崭新的数学思想。他引进了“隶属度”的概念。

此后，在电子计算机的配合下，形成了一个数学的新分支——模糊数学，并且很快应用到各个领域中去。

（3）突变理论

如果说微积分的主要研究对象是连续变化的现象，那么突变理论的基本思想则是运用拓扑学、奇点理论和结构稳定性等数学工具描述客观世界各种形态、结构的突然性变化，如火山爆发、胚胎变异、神经错乱、市场崩溃等一系列不连续的变化现象。

但是，突变理论产生的时间毕竟很短，它的理论还远不够完善，对它也还存在着不同的意见和看法，因此，现在对它做出更准确的评价，似乎为时尚早。

（4）电子计算机对数学发展的影响

20世纪科学技术的卓越成就之一是电子计算机的产生。自从1944年第一台计算机问世以来，计算机已经深深地影响到整个人类的生活，包括数学在内，人们普遍认为，电子计算机的出现标志着一个新时代——信息时代的到来。

1．四色问题的解决

四色问题称四色猜想，1852年由伦敦大学的学生佛·格思里（Francis Guthrie）提出，当时他观察到：如果近邻区域着以不同的颜色，那么用四种颜色足够给任何画在平面上的地图着色。他由此提出疑问：是否能够从数学上对此加以证明。

2．几何学的新动向

自欧几里得时代以来，几何学一直是基础数学的一个主要支柱，由于本世纪中期的新数学运动的影响，几何学经历了几十年衰退，但是到了七十年代，数学中的几何学观念又开始复兴，这主要靠的是新理论工具的开发和计算机图像显示的威力，客观地说，几何学在数学上又在起着核心作用，就如同在古希腊时代一样。举例来说，在1986年的3名菲尔兹奖获得者中，几何学占了2名，这是为了奖励迈克尔·弗里德曼（Michael Freedman）和西蒙·唐纳森（Simou Donaldson）在四维流形几何方面的贡献。

计算机绘图为把几何学技术推广到其它数学领域提供了新的有效手段。开始相互合作，最近在美国明尼苏达大学进行的几何学大型计算的研究项目就是一个例子。

3．非线性动力学

对非线性问题（如流体的紊流）的数学的分析只是在最近几年才能进行，这是因为新的解析法、巧妙的数值模拟和计算机图象显示，使这类问题的解决已成为可能。应用范围从机翼剖面的设计到等离体物理学，从油料回收到燃烧过程的研究等。

家笛卡儿带有强烈的唯意志论特征的一段话：“数学真理，如同其他一切受造之物一样，也都是由上帝所确立，并依赖于上帝。??上帝能够做我们所理解的一切事情，我们不可以说上帝无法做我们所不理解的事情。因为，认为我们的想象力可以穷尽上帝力量的那种想法是？越而狂妄的。”所以，对于此时的欧洲学者来说，上帝就是一位至高无上的数学家，人类不可能指望像上帝那样清楚地明白上帝的意图，但人至少可以通过谦恭的态度和理性的思考来接近上帝的思想，就可以明白神创造的世界。近代数学的产生和进展就直接得益于这种宗教观念的提升和促进，由此为近代数学发展超越古希腊阶段提供了一个必要的形而上学基础。

十二世纪是数学史上的大翻译时期，是知识传播的世纪，由穆斯林保存下来的希腊科学和数学的经典著作，以及阿拉伯学者写的著作开始被大量翻译为拉丁文，并传入西欧。当时主要的传播地点是西班牙和西西里，著名的翻译家有巴思的英国修士阿德拉特﹝Adelard﹞、克雷莫纳的格拉多﹝Gherardo﹞、切斯特的罗伯特﹝Robert﹞等等。

十四世纪相对地是数学上的不毛之地，这一时期最大的数学家是法国的N?奥雷斯姆

﹝Oresme﹞，在他的著作中，首次使用分数指数，还提出用坐标表示点的位置和温度的变化，出现了变量和函数的概念。他的工作影响到文艺复兴后包括笛卡尔在内的学者。

2．经验主义数学观的形成及其对于近代数学实践的影响

在古希腊哲学家毕达哥拉斯和柏拉图那里，数学是一门独立的、专门的学科，它被赋予了完美与和谐的性质。他们把数学孤立起来看待，认为数学是人们通往理念世界的阶梯，而当完美的数学与不完美的可感知世界产生矛盾时，现实是被校正的对象。柏拉图尤其认为在现象世界中物质阻碍了对数学理念的精确反映。柏拉图甚至憎恶“几何学”这个名词，他认为在几何学这门学科中存在着太多的使人联想起受做工作的名词，“这门学科所用的语言散发着奴隶的气息”，数学研究是一种崇高而且有哲理性的职业，但与应用有关的则是卑劣粗俗的[8]。

在文艺复兴时期，毕达哥拉斯和柏拉图所强调的自然是依照数学设计的信念广泛地为欧洲的知识分子所接受。

近代数学在这种完全崭新的文化氛围中迈开了步伐。由于技工与学者相互合作、逻辑思辨与实验科学携手大大刺激了数学中新的观点、新的理论和方法的产生，这时，数学一方面从实验的自然科学中吸取了的灵感，激发了众多新学科的创造，如对数、三角学的形成，微积分的产生与分析学的发展都是建立在自然科学的研究的基础上的。另一方面，数学的成果也日益广泛的被应用到其他自然科学的研究中去。实际上，从开普勒、笛卡尔、伽利略、牛顿到十八世纪的拉普拉斯，他们在一般方法上或具体研究中都是以数

学家的身份去探索自然的。依靠数学的指导，建立定量化的规律，从而导出了极有价值的科学成果。

这一时期，在数学中首先发展起来的是透视法。艺术家们把描述现实世界作为绘画的目标，研究如何

把三维的现实世界绘制在二维的画布上。

文艺复兴时期更出版了一批普及的算术书，内容多是用于商业、税收测量等方面的实用算术。印度─

阿拉伯数码的使用使算术运算日趋标准化。

符号代数学的最终确立是由16世纪最著名的法国数学家韦达﹝Viete﹞完成的。他在前人工作的基础

上，于1591年出版了名著《分析方法入门》﹝In artem analyticam isagoge﹞，对代数学加以系统的整理，并第一次自觉地使用字母来表示未知数和已知数，使代数学的形式更抽象，应用更广泛。韦达在他的另一部著作《论方程的识别与订正》﹝De aequationum recognitione et emendatione, 1615﹞中，改进了三、四次方程的解法，还对n = 2、3的情形，建立了方程根与系数之间的关系，现代称之为韦达定理。

文艺复兴时期在文学、绘画、建筑、天文学各领域都取得了巨大的成就。数学方面则主要是在中世纪大翻译运动的基础上，吸收希腊和阿拉伯的数学成果，从而建立了数学与科学技术的密切联系，为下两个世纪数学的大发展作了准备。

3．三次、四次方程的求根公式的解决

代数学在文艺复兴时期获得了重要发展。最杰出的成果是意大利学者所建立的三、四次方程的解法。卡尔达诺在他的著作《大术》﹝Ars magna，1545﹞中发表了三次方程的求根公式，但这一公式的发现实应归功于另一学者塔尔塔利亚﹝Tartaglia﹞。四次方程的解法由卡尔达诺的学生费拉里﹝Ferrari﹞发现，在《大术》中也有记载。稍后，邦贝利﹝Bombelli﹞在他的著作中阐述了三次方程不可约的情形，并使用了虚数，还改进了当时流行的代数符号。

4．三角学的历史

早期三角学不是一门独立的学科，而是依附于天文学，是天文观测结果推算的一种方法，因而最先发展起来的是球面三角学．希腊、印度、阿拉伯数学中都有三角学的内容，可大都是天文观测的副产品．例如，古希腊门纳劳斯（公元100年左右）著《球面学》，提出了三角学的基础问题和基本概念，特别是提出了球面三角学的门纳劳斯定理；50年后，另一个古希腊学者托勒密著《天文学大成》，初步发展了三角学．而在公元499年，印度数学家阿耶波多也表述出古代印度的三角学思想；其后的瓦拉哈米希拉（约505～587）最早引入正弦概念，并给出最早的正弦表；公元10世纪的一些阿拉伯学者进一步探讨了三角学．当然，所有这些工作都是天文学研究的组成部分．直到纳西尔丁（1201～1274）的《横截线原理书》才开始使三角学脱离天文学，成为纯粹数学的一个独立分支．而在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯（1436～1476）．

近代三角学是从欧拉的《无穷分析引论》开始的．他定义了单位圆，并以函数线与半径的比值定义三角函数，他还创用小写拉丁字母ａ、ｂ、ｃ表示三角形三条边，大写拉丁字母Ａ、Ｂ、Ｃ表示三角形三个角，从而简化了三角公式．使三角学从研究三角形解法进一步转化为研究三角函数及其应用，成为一个比较完整的数学分支学科．而由于上述诸人及19世纪许多数学家的努力，形成了现代的三角函数符号和三角学的完整的理论

第六讲：近代数学的兴起

在数学史上，十七世纪初到十九世纪20年代这段时间被称为近代数学时期。对数的产生、牛顿、莱布尼茨的微积分、帕斯卡等人的概率论等都是这一阶段的重要成果。

1．对数

16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数。

德国的史提非（1487-1567）在1544年所著的《整数算术》中，写出了两个数列，左边是等比数列（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意）。

英国的布里格斯在1624年创造了常用对数。

1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）。 最早传入我国的对数著作是《比例与对数》，它是由波兰的穆尼斯（1611-1656）和我国的薛凤祚在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中，2叫「真数」，0.3010叫做「假数」，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用 「假数」为「对数」。

2.解析几何的诞生

几何学及综合几何式的思考方式是希腊数学的传统。几何学几乎是数学的同义词，数量的研究也包含其中。这种趋势直到十七世纪上半叶才渐有改变；那时候代数学已较成熟，同时科学发展也逼使几何学寻求更有效的思考工具，更能量化的科学方法。在此双重刺激之下，解析几何学就诞生了。

在希腊人的观点中，圆锥曲线就是圆锥被平面割截的截痕，但若死守这种观点，圆锥曲线的性质就甚难推演。Apollonius 由圆锥截痕的定义导出圆锥曲线中一些几何量所具有的代数关系式，然后以这些关系式为基础再导出其它的性质。这些关系式，经稍微的变形，用现代的观点来看是这样的。

代数学本身尚未完全成熟也使解析几何的想法未能迅速推广开来。那时，负数的观念并不成熟，尤其是，几何的量不能与负数有关，所以许多可以统一处理的情形，都得分成好几个状况，分别处理，而且只有在第一象限才有图形。

3.微积分的产生与发展

微积分思想的萌芽可以追溯到古希腊时代。公元前5世纪，德谟克利特创立原子论，把物体看成由大量的不可分割的微小部份﹝称为原子﹞迭合而成，从而求得物体体积。公元前4世纪，欧多克索斯建立了确定面积和体积的新方法──穷竭法，从中可以清楚地看出无穷小分析的原理。阿基米得成功地把穷竭法、原子论思想和杠杆原理结合起来，求出拋物线弓形面积和回转锥线体的体积，他的种种方法都孕育了近代积分学的思想。

事实上，17世纪早期不少数学家在微积分学的问题上做了大量的工作，但只停留在某些具体问题的细节之中，他们缺乏对这门科学的普遍性和一般性的认识。微积分学的最终创立要归功于英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹。

4.概率论的产生

（1）．概率的起源——随机性游戏

作为一门经验科学的古典概率论最直接起源于一种相当独特的人类行为思想的探索：人们对于机会性游戏的研究思考。所谓机会性游戏是靠运气取胜一些游戏，如赌博等。这种游戏不是哪一个民族的单独发明，它几乎出现在世界各地的许多地方，如埃及、印度、中国等。在自古至今各国文献的记载中，有关赌博等机会性游戏的记载的文献是非常丰富的，赌博手册的存在、各种随机发生器的发明，各个时代和国家经常展开的反对赌博的斗争活动等都是早年机会性游戏流传的明证。

帕斯卡和费马正确解决了“点问题”的这一事件被伊夫斯）称为“数学史上的一个里程碑”。

（2）．概率论与统计学的结合

概率论产生于人类的一种特殊的活动——机会性的游戏，而培育它成长壮大的其他因素却丰富多彩。首先是一门与经济、政治和宗教信仰等有密切关系的关于数据的学问——统计学对概率论发展产生了重大的影响。

正是伯努利具体地指出了概率论可以走出赌桌旁而迈向更广阔的天地这一光辉前景。他的大数定律成为概率论从一系列人们视之为不怎么高尚的赌博问题转向在科学、道德、经济、政治等方面有价值和有意义的应用的一块塌脚石，从而吸引了欧拉、拉格郎日、达朗贝尔、孔多塞、拉普拉斯等一大批数学家投身于其中。

（3）．概率论与分析学等领域的结合

伯努利的工作也显示了逐渐发展的统计是概率论施展潜力的最重要的舞台。但是由于统计学所研究的许多现象比赌博中的输赢等现象要复杂得多，许多问题涉及到连续和无限的情形，这样主要以离散组合方法为主的古典概率论就显得不是很充分了。所幸的是十八世纪分析学的发展为概率论方法的扩展提供了及时的条件，于是分析的方法开始大规模地进入了概率论研究的领域。早期在这方面做出重要尝试的是与伯

努利几乎同时对概率论做出重要贡献的另一位数学家棣莫弗（1667—1754）。

在数学分析与概率论的结合方面做出有益尝试的数学家们还有：伯努利家族众多科学成员中的一员丹尼尔.伯努利（Daniel Bernoulli，1700—1782）研究了由他的哥哥尼古拉.伯努利（Nikolaus）在1713年首先提出的著名的彼得堡（Petersburg）悖论。丹尼尔.伯努利在其工作中还明确地示范了怎样将微积分（60年前发明的）应用于概率的研究。欧拉（Leonard Euler，1707—1783）分类整理了许多概率问题；拉格朗日（Joseph Lagrange，1736—1813）更是系统地把微积分应用于概率论，由此把概率论推进了一大步。

（4）．概率论与社会科学的结合

在十八世纪，除了当时非常有效的数学工具——数学分析，以及统计学和误差测量等方面与概率论的广泛结合之外，概率论发展的另一个重要特征就是它的应用范围大幅度地向社会学领域中扩展，这种倾向与当时的社会精神氛围有着极其密切的关系。在十八世纪，“理性”是贯穿始终的一个中心，这个词表达出了这个世纪的人们的希望和为之奋斗的一切东西。所谓理性一般是指正确方法的关键，它也指自然界的秩序，也表示逻辑上有效的论证，就像数学中的论证那样。所以，数学一直被作为秩序和理性的典范。而此时正是经典的自然科学领域结出辉煌硕果的时期，许多知识分子也希望建立一门像自然科学那样以数学的方法为基础的关于人和社会的科学。这一切与自笛卡尔以来人们所认为的数学具有普遍特征的观点是一脉相承的。

第七讲：近代数学的发展

十九世纪二十年代以来，数学发展的主要特征是空前的创造精神和高度的严格精神相结合，这个世纪的数学成果超过以往所有数学成果的总和，其中最典型的成就应当属分析学的严格化；射影几何的复兴及非欧几何的诞生；代数学中群论和非交换代数学的产生；以及公理化运动化的开端等。这些事件具有重大的意义，从某种程度来说它们改变了人类的思维方法，并且最终影响到人们对数学的本性的理解，这些事件也深深地影响了二十世纪数学的发展趋势，主要反映在纯粹数学方面。

1．几何学的发展

（1）射影几何学的复兴

19世纪，几何学领域的首先的一个突出的进展是关于射影几何学的研究。

射影几何学讨论平面或空间图形的射影性质。所谓射影性质就是在射影变换下保持不变的几何性质，如三点共线、三线共点等，这些性质如此众多，且各不相同，因此，为了使这繁杂的知识变得有条理，人们常采取建立在定理的推演方法的基础上的分类原则。按照这种分类原则可以区分出“综合”与“分析”两大类方法。综合法就是欧几里得公理化方法，它将学科建立在纯粹的几何基础之上，而与代数及数的连续概念无关，其中的定量都是从一组称为公理或公设的原始例题推导出来的。分析法则是建立在引入数值

坐标的基础上，并且应用代数的技巧。这种方法给数学带来了深刻的变化，它将几何、分析和代数统一成为一个有机的体系。

（2）非欧几何的创立

19世纪几何学最重要的成就，应当首推30年代创立的非欧几何学。

非欧几何的历史，便开始于努力清除对欧几里得平行公理的怀疑。据说，在欧几里得以后果的两千多年的时间里，几乎难以发现一个没有试证过第五公设的大数学家。但是，两千多年来许多数学这在这方面的努力都失败了。这是因为：除了他们一直没有找到一个比平行公理更好的假设之外，在他们的每一个所谓“证明”中，都自觉不自觉、或明或暗地引进了一些新的假设，而每个新假设都与第五公设等价：即在某给定的公理的基础上加上第五公设可以推导出这一命题；反之；反之在此组公理基础上加上这个命题也可以推导出第五公设。所以，在本质上他们并没有证明第五公设，只是在整个公理体系中，把第五公设用等价命题来代替罢了。例如：公元4世纪的普洛克拉斯（Proclus）试图通过把平行于已知直线的线定义为和已知直线有给定固定距离所有点的轨迹的方法，来废除特殊的平行公理，但是他没有意识到，他只是把困难转移到另一个地方罢了，因为，必须证明这样的点的轨迹的确是一条直线，当然证明这一点是困难的。但如果承认这个命题是一个公理，那么容易证明：这个公理和平行公理是等价的。

到17、18世纪，许多数学家，如意大利耶稣会教士萨开里（Girolano Sacheri，1667-1733）、瑞士的兰伯特（Johann Heinrich Lambert，1728-1777）、法国的分析数学家拉格朗日（Lagrange，1736-1813）和勒让德（Legendre，1752-1833）、匈牙利的W·波尔约（WBolyai，1775-1813）等，为了试证平行公设，而改用反证法，即从第五公设不成立的情况着手，追穷它能否得出与已知定理相矛盾的结果。如果得不出，它又会产生怎样的事实。实际上，这样的思想方法，已经开辟了一条通向非欧几何的道路，并且得出了许多耐人寻味的事实。而这些事实正是从第五公设不成立这一假定下推导出来的，这恰恰就是非欧几何学中的定理。

罗巴切夫斯基（1793-1856）于1826年2月在喀山大学数理系的一次会议上提出了关于非欧几何的思想。1829年，他正式发表了题为《论几何学基础》的论文，以后，他又发表了题为《具有平行的完全理论的几何新基础》等多篇著作，论述他关于平行公设的研讨以及对新创立几何体系的探索。

到了19世纪末期，非欧几何逐渐被人们所接受，非欧几何的产生具有极为深远的意义，它把几何学从传统的模型中解放出来，“只有一种可能的几何”这个几千年来根深蒂固的信念动摇了，从而为创造许多不同体系的几何打开了大门。1873年，一位英国数学家把罗巴切夫斯基的影响比作由哥白尼的日心说所引起的科学革命。希尔伯特也称非欧几何是“这个世纪的最富有建设性和引人注目的成就”。

2.代数学的发展

（1）群论的诞生

群的思想起源于求解高次方程的根的问题。在18世纪末和20世纪初，代数学中的中心问题之一仍是代数方程的代数解法，这个问题的根本困难在于求一个未知数的n次代数方程的解法，可以用系数的加、减、乘、除和开方的有限次运算表示出根的公式，也称根式解法。

19世纪末期，群论几乎渗入到当时数学的各个领域中去，例如1872年，克莱因在他著名的“埃尔朗根纲领”中指出，变换群可用来对几何进行分类；F·克莱因和庞加莱在研究自守函数的过程中曾用到其它类型的无限群；1870年左右，S·李开始研究连续变换群的概念，并用它们阐明微分方程的解，将微分方程进行分类；在代数中，群作为一个综合的基本结构成为抽象代数在20世纪兴起的重要因素；此外，群论在近代物理学中也有重要的应用。

（2）非交换代数学的产生 1．代数结构

在19世纪早期，代数和几何有着相似的经历，人们把代数单纯地看作是符号化的算术，也就是说，在代数中，凡量都可以用字母表示，然后按照对数字的算术运算法则对这些字母进行计算，例如，这些运算法则中最基本的五条是：加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律、乘法在加法上的分配律。而随着伽罗瓦的群的概念的引入，19世纪中叶的代数在保持上述这种基础的同时，又把它大大地推广了。这时，在代数中还考察比数（自然数、整数、负数等）具有更普遍得多的性质的“数”——元素。比如，上述关于数的五条基本性质，也可以看作是其它完全不同的元素体系的性质，也就是说，存在有共同代数结构的公设，并且，逻辑上隐含于这些公设的任何定理，可被用于满足这五条基本性质的任何元素来解释。从这个观点上说，代数不再束缚于算术上，代数就成了纯形式的演绎研究。

2．向量

19世纪后期，复数成为研究平面向量的有效工具。但是，复数只能表示平面向量，而物理学中处理的量涉及的总是三维空间向量。困此，迫切需要一种能处理空间向量的数学理论。四元数的诞生自然引起了很大的反响，数学物理家们从四元数中找到了处理空间向量的数学理论，因为四元数中含有三维向量的标准研究式xi+yj+zk。但是，在哈密顿那里，向量只是四元数的部分，而不是作为独立的数学实体处理的。从四元数到向量需要迈出主要一步是把向量从四元数中独立出来。电磁理论的发明者，伟大的英国数学物理学家之一麦克斯韦（1831-1879）在区分出哈密顿的四元数的数量部分和向量部分的方向上迈出了第一步。其后，在19世纪80年代初期由数学物理学家吉布斯（1839-1903）和希维赛德（1850-1925）各自独立地开创了一个独立于四元数的新课题——三维向量分析。

3．矩阵

另一个不可交换的代数——矩阵理论是英国数学家凯莱创造的。他是在研究线性变换下的不变问题时，为简化记号引入矩阵概念的。凯莱定义了两个矩阵相等、两个矩阵的乘法、矩阵的加法。在所得到的矩阵代数中，可以证明：乘法不满足交换律。

总之，正象非欧几何的创立为新几何学的创立开辟了道路一样。四元数、超复数、向量、矩阵等新的代数体系的出现，也成为代数学上的一次革命。它们首先把数学家们从传统的观念中解放出来，并为新的代数学——现代抽象代数学的创立打开了大门。

3．分析学的发展

（1）微积分的严格化

自17世纪中叶微积分建立以后，分析学各个分支象雨后春笋般迅速发展起来，其内容的丰富，应用的广泛使人应接不暇。它的高速发展，使人们无暇顾及它的理论基础的严密性，因而也遭到了种种非难。到19世纪初，许多迫切的问题得到了基本解决。大批数学家又转向了微积分基础的研究工作。以极限理论为基础的微积分体系的建立是19世纪数学中最重要的成就之一。

微积分中，这种缺乏牢固的理论基础和任意使用发散级数的状况，被当时一些数学家认为是数学的耻辱。这些问题，虽然经过了整整一个半世纪的修正和改进，仍未得到完满的解决。但是人们已经从正反两方面积累了丰富的材料，为解决这些问题准备了条件。从19世纪20年代起，经过许多数学家的努力，到19世纪末，微积分的理论基础基本形成。在这方面做出突出贡献的主要有数学家波尔查诺、柯西、魏尔斯特拉斯等。

集合论的建立

在分析学的重建运动中，德国数学家康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端。到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念。他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的（不论是具体的或抽象的）事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素。人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日。

但是随着岁月的流逝，集合论日臻完善，并且以其巨大的生命力展现在人们面前。集合论的诞生被誉为是数学史上一件具有革命性意义的事件，英国哲学家罗素把康托尔的工作称为“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的成就。”康托尔生前曾充满自信地说：“我的理论犹如磐石一般坚固，任何反对它的人到头来都将搬起石头砸自己的脚??。”历史的事实证实了这一点，康托尔和他它的集合论最终获得了世界的承认，至今享有极高的声誉，它已经深入到数学的每一个角落。正如大数学家希尔伯特所指出的那样“没有人能把我们从康托尔所创造的乐园里赶走！”

4.公理化运动

概括地说，公理观点可以叙述如下：在演绎系统中，为了证明一个定理，就必须证明这个定理是某些以前已经证明过的命题的必然的逻辑推论，而这些命题本身又必须用其它命题来证明，等等。这个过程不可能是无限的，因此，必须有少数不定义的术语和公认成立而不要求证明的命题（称为公理或公设），从这些公理出发，我们可以试图通过纯逻辑的推理来导出所有其它的定理。如果科学领域的事实，有这样的逻辑顺序，那么就说这个领域是按公理形式表示了。

（1）、算术的公理化

对于分析，几何等分支的基础问题的进一步探讨，使得数学家们关心起算术的基础。然而，直到19世纪末，算术中一些最基本的概念，如：什么是数？什么是0？什么是1？什么是自然数的运算等，却很少有人解释过。

（2）初等几何的公理化

自从欧几里得时代以来，几何学就成为公理化学科的典范，很多世纪，欧几里得体系是被集中研究的对象。但是在19世纪后期，数学家们才明白：如果一切初等几何都要从欧氏系统推演出来，那么欧氏公理必须加以修改和补充。

（3）其它数学对象的公理化

公理化的思想风靡于世，它日益渗透到每一个领域中去。例如，在19世纪初解代数方程而引进的群及域的概念，在当时都是十分具体的，如置换群。只有到19世纪后半叶，才逐步有了抽象群的概念并用公理刻画它，群的公理由四条组成，即封闭性公理，两个元素相加（或相乘）仍对应唯一的元素；运算满足结合律；有零元及逆元素存在，等等。公理化的思想深深地影响着现代数学的发展。20世纪初的数学发展的趋势之一就是数学分支的公理化。例如1933年，苏联数学家A.H. 柯尔莫戈洛夫在他的《概率论基础》一书中给出了一套严密的概念论公理体系。特别应当指出的是：公理化运动最大的成果之一是它已经创立了一门新学科——数理逻辑。

第八讲 现代数学概观

“现代数学”一词已为人们所常用，但现代数学时期却很难用一个确定的年代作为开始的时间，一般来讲，是从20世纪初开始的。现在，20世纪即将结束，它留给人们一笔丰富的数学财产。这个世纪数学发展速度之快、范围之广、成就之大、远远超出人们的预料，数学的发展在改变着人们对数学的认识。数学本身也在不断分化出更多的二级、三级，甚至更细小的学科和思想，而在不同的学科之间，几乎没有共同的语言。在这里我们所能给出的，仅仅是极为粗略的概述。

1．集合论悖论与数学基础的研究

康托的集合率与数学的关系从来没有顺利过。1900年左右，正当康托的思想逐渐被人接受时，一系列

完全没有想到的逻辑矛盾，在集合论里的边缘被发现了。开始，人们并不直接称之为矛盾，而是只把它们看成数学中的奇特现象。人们认为，集合的概念结构的组成还没有达到十分令人满意的程序，只需对基本定义修改，一切事情都会好起来。

在有限集合中，推理有效的逻辑法则的一个特殊例子是排中律，布劳威尔反对把它应用于无限集中。支撑这个法则的假设是每一个数学陈述都可以判断是真或假，而不依赖于我们用于判断真值的方法。对布劳威尔来说，纯粹地假设的真值是一个错误。只有一个自明的构造通过有限步骤建立起来时，才可以说断定一个给定的数学陈述是真的。因为并不能预先保证能够找到这样的一个构造。所以我们就无权假设有一个陈述要么是真的，要么是假的。例如：布劳威尔问：“在π的小数表达式中有十个连续的数学形成0123456789的形式，这个陈述是真还是假？”因为这显然需要我们判定在π中有0123456789形式，或者证明没有这样的形式，但是因为π是一无穷小数，也就不存在作出这个决定的方法，所以人们就不能应用排中律说这个陈述是真或假的。另一方面，从直觉主义者的立场来说，断言 或是素数或是合数，而不必说二者之一成立。因为有一种方法，（如果不怕麻烦去应用它的话），也就是一个有效法则能够决定两者之一哪个是正确的。

抛弃排中律和抛弃以此为根据的非构造的存在性证明，对希尔伯特来说是过于激进的一步，以至于不能接受。他说：“禁止数学家用排中律，就象禁止天文学家用望远镜或拳击者用拳一样。”对他来说，布劳威尔不会赞同证明传统数学是相容的能够恢复数学的意义的主张。这样他写道：“用这种方式不会得到任何有数学价值的东西，没有被悖论制止的一个假的理论仍然是假的。就象一个没有被法庭禁止的犯罪行为仍然是犯罪一样。”

2.纯数学的发展

20世纪初，除了围绕惊心动魄的关于数学基础所展开的争论之外，由19世纪70年代以来发展起来的数学的抽象化和公理化的趋势一直受人重视，人们已经意识到抽象理论几乎具有囊括一切的本领。建立起这样的抽象理论成为许多数学家的奋斗目标，而这些人又影响到他们的弟子以及以后几代数学家，使得他们不但非常重视数学的公理化、严密性和抽象性，而且倾向于将这些特性永远看作数学的本质。在20世纪产生的众多的纯粹数学中，最具有代表性的应当属拓扑学、泛函分析和抽象代数学。这三门学科可以说是现代数学的三大理论支柱。20世纪，围绕着这三个领域产生了形形色色的数学分支，时至今日，人们似乎形成了这样的一个观念，一个人不能阅读用抽象代数、拓扑和泛函分析的语言写成的书籍，就不能自认为真正掌握了现代数学知识，下面简略介绍这三门学科的历史。

（1）拓扑学

有关拓扑学的某些问题可以追溯到17世纪，1679年莱布尼兹发表《几何特性》一文，试图阐述几何

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