北京市房山区2017-2018 学年高二上学期期末数学试卷（理科） Word版含解析

2017-2018学年北京市房山区高二（上）期末

数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（ ） A．（1，0），2 B．（﹣1，0），2 C． D． 2．抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（ ） A．

B．1

C．2

D．4

3．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（ ） A．2x+y=0 B．2x+y=1 C．x+2y=0 D．x+2y=1

4．在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（ ） A．

B．0

C．

D．1

6．已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（ ）

A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴 B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴 C．恒过点（2，0）且不垂直x轴 D．恒过点（2，0）且不垂直y轴

7．已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（ ） A．2 B．±2 C．﹣2 D．0

8．已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（ ） A．若a⊥b且b∥α，则a⊥α B．若a⊥b且b⊥α，则a∥α C．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β 9．已知点A（5，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B，若|PB|=|PA|，则cos∠APB=（ ） A．0

B．

C．

D．

10．如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（ ）

A． B．2 C． D．3

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．已知命题p：“?x∈R，x2≥0”，则￢p： ． 12．椭圆x2+9y2=9的长轴长为 ．

13．若曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为 ． 14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行． ①在平面PAB内不存在直线与DC平行；

②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行； ③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行； 上述命题中正确命题的序号为 ．

15．已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值

为 ．

16．若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为 ，表面积为 ．

三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）． （1）求证：△ABC是直角三角形；

（2）若△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m的值．

18．如图所示的几何体中，2CC1=3AA1=6，CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E为棱A1D中点，平面ABE分别与棱C1D，C1C交于点F，G． （Ⅰ）求证：AE∥平面BCC1；

（Ⅱ）求证：A1D⊥平面ABE；

（Ⅲ）求二面角D﹣EF﹣B的大小，并求CG的长．

19．已知椭圆G：

的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于

A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上． （Ⅰ）求椭圆G的方程；

（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．

2017-2018学年北京市海淀区高二（上）期末

数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（ ） A．（1，0），2 B．（﹣1，0），2 C． D． 【考点】圆的标准方程．

【分析】利用圆的标准方程的性质求解．

【解答】解：圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0）， 半径为． 故选：D．

2．抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（ ） A．

B．1

C．2

D．4

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】直接利用抛物线方程求解即可．

【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2． 故选：C．

3．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（ ） A．2x+y=0 B．2x+y=1 C．x+2y=0 D．x+2y=1 【考点】双曲线的简单性质．

【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，由双曲线的渐近线方程y=±x，即可得到所求结论． 【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为

﹣y2=1，可得a=，b=1，

由双曲线的渐近线方程y=±x，

可得所求渐近线方程为y=±2x． 故选：A．

4．在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】利用空间中两直线的位置关系直接求解．

【解答】解：“直线a，b没有公共点”?“直线a，b互为异面直线或直线a，b为平行线”， “直线a，b互为异面直线”?“直线a，b没有公共点”，

∴“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的必要不充分条件． 故选：B．

5．已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（ ） A．

B．0

C．

D．1

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】根据题意，圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，C的坐标并代入直线2x+y+a=0，再解关于a的方程，即可得到实数a的值．

【解答】解：∵A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，A，B关于直线y=2x+1对称， ∴圆心C（a，0）在直线y=2x+1上， ∴2a+1=0，解之得a=﹣

故选：A．

6．已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（ ）

A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴 B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴 C．恒过点（2，0）且不垂直x轴 D．恒过点（2，0）且不垂直y轴 【考点】直线的一般式方程．

【分析】由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x即可得出定点，再利用斜率即可判断出与y轴位置关系．

【解答】解：由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x=﹣2．于是化为：y=﹣x﹣1，

∴恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴， 故选：B．

7．已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（ ） A．2 B．±2 C．﹣2 D．0

【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．

【分析】由直线的平行关系可得1×4﹣a?a=0，解得a值排除重合可得． 【解答】解：∵直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行， ∴1×4﹣a?a=0，解得a=2或a=﹣2， 经验证当a=﹣2时两直线重合，应舍去 故选：A

8．已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（ ） A．若a⊥b且b∥α，则a⊥α B．若a⊥b且b⊥α，则a∥α C．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．

【分析】利用空间线面平行、线面垂直以及面面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择． 【解答】解：对于A，若a⊥b且b∥α，则a与α位置关系不确定；故A错误；

对于B，若a⊥b且b⊥α，则a与α位置关系不确定；可能平行、可能在平面内，也可能相交；故B 错误；

对于C，若a⊥α且b∥α，根据线面垂直和线面平行的性质定理，可以得到a⊥b；故C正确； 对于D，若a⊥α且α⊥β，则a∥β或者a在平面β内，故D错误； 故选：C．

9．已知点A（5，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B，若|PB|=|PA|，则cos∠APB=（ ） A．0

B．

C．

D．

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】求出P的坐标，设P在x轴上的射影为C，则tan∠APC=

=

，可得∠APB=120°，即可求出

cos∠APB．

【解答】解：由题意，|PB|=|PF|=PA|，∴P的横坐标为3，不妨取点P（3，2设P在x轴上的射影为C，则tan∠APC=∴∠APC=30°， ∴∠APB=120°， ∴cos∠APB=﹣．

=

，

），

故选：C．

10．如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（ ）

A． B．2 C． D．3

【考点】点、线、面间的距离计算．

【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段B1P的长度的最大值．

【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 设P（a，b，0），则D1（0，0，2），E（1，2，0），B1（2，2，2），

=（a﹣2，b﹣2，﹣2），∵B1P⊥D1E，∴

=（1，2，﹣2），

=a﹣2+2（b﹣2）+4=0，

∴a+2b﹣2=0，

∴点P的轨迹是一条线段，当a=0时，b=1；当b=0时，a=2，

设CD中点F，则点P在线段AF上，

当A与P重合时，线段B1P的长度为：|AB1|=当P与F重合时，P（0，1，0），

=2；

|=

|=

=3，

=

．

=（﹣2，﹣1，﹣2），线段B1P的长度|

当P在线段AF的中点时，P（1，，0），∴线段B1P的长度的最大值为3． 故选：D．

=（﹣1，﹣，﹣2），线段B1P的长度|

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．已知命题p：“?x∈R，x2≥0”，则￢p： ?x∈R，x2＜0 ． 【考点】命题的否定．

【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．

【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“?x∈R，x2≥0”，则￢p：?x∈R，x2＜0． 故答案为：?x∈R，x2＜0．

12．椭圆x2+9y2=9的长轴长为 6 ． 【考点】椭圆的简单性质．

【分析】将椭圆化为标准方程，求得a=3，即可得到长轴长2a． 【解答】解：椭圆x2+9y2=9即为

+y2=1，

即有a=3，b=1， 则长轴长为2a=6． 故答案为：6．

13．若曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为 （2，+∞） ． 【考点】双曲线的简单性质．

【分析】将双曲线的方程化为标准方程，由题意可得m＞0且m﹣2＞0，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，

可得﹣=1，即有m＞0，且m﹣2＞0，

解得m＞2． 故答案为：（2，+∞）．

14．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行． ①在平面PAB内不存在直线与DC平行；

②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行； ③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行； 上述命题中正确命题的序号为 ①②③ ．

【考点】棱锥的结构特征．

【分析】①用反证法利用线面平行的性质即可证明．

②设平面PAB∩平面PDC=l，则l?平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，即可判断； ③用反证法利用线面平行的性质即可证明． 【解答】解：①用反证法．

设在平面PAB内存在直线与DC平行， 则CD∥平面PAB，

又平面ABCD∩平面PAB=AB，平面ABCD∩平面PCD=CD， 故CD∥AB，与已知矛盾，故原命题正确； ②设平面PAB∩平面PDC=l，

则l?平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行， 故在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行，命题正确； ③用反证法．

设平面PAB与平面PDC的交线l与底面ABCD平行， 则l∥AB，l∥CD，

可得：AB∥CD，与已知矛盾，故原命题正确． 故答案为：①②③．

15．已知向量 ．

，则

与平面BCD所成角的正弦值为

【考点】直线与平面所成的角．

【分析】求出平面BCD的法向量，利用向量法能求出【解答】解：∵向量∴

=

=（﹣1，2，0），

=

与平面BCD所成角的正弦值．

，

=（﹣1，0，3），

设平面BCD的法向量为=（x，y，z）， 则设

，取x=6，得=（6，3，2），

与平面BCD所成角为θ，

=

=．

则sinθ=

∴与平面BCD所成角的正弦值为．

故答案为：．

16．若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为

，表面积为 3

．

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】几何体为三棱锥，棱锥底面为等腰三角形，底边为2，底边的高为1，棱锥的高为．棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点．

【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点，棱锥底面等腰三角形的底边为2，底边的高为1， ∴底面三角形的腰为，棱锥的高为． ∴V=故答案为

，

=

，S=

+

×

×2+

=3

．

三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．

（1）求证：△ABC是直角三角形；

（2）若△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m的值． 【考点】直线与圆的位置关系；直线的斜率；圆的一般方程． 【分析】（1）证明?=﹣16+16=0，可得⊥，即可证明△ABC是直角三角形；

（2）求出△ABC的外接圆的方程，利用△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，可得圆心到直线的距离d=4，即可求m的值． 【解答】（1）证明：∵A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）， ∴=（8，4），=（﹣2，4）， ∴?=﹣16+16=0， ∴⊥，

∴ABC是直角三角形；

（2）解：△ABC的外接圆是以BC为直径的圆，方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25， ∵△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6， ∴圆心到直线的距离d=4=

，

∴m=﹣4或﹣44．

18．如图所示的几何体中，2CC1=3AA1=6，CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E为棱A1D中点，平面ABE分别与棱C1D，C1C交于点F，G． （Ⅰ）求证：AE∥平面BCC1； （Ⅱ）求证：A1D⊥平面ABE；

（Ⅲ）求二面角D﹣EF﹣B的大小，并求CG的长．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）推导出CC1∥AA1，AD∥BC，从而平面AA1D∥平面CC1B，由此能证明AE∥平面CC1B．

（Ⅱ）法1：推导出AA1⊥AB，AA1⊥AD，AB⊥AD，以AB，AD，AA1分别x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A1D⊥平面ABE．

法2：推导出AA1⊥AB，AB⊥AD，从而AB⊥A1D，再由AE⊥A1D，能证明A1D⊥平面ABE． （Ⅲ）推导出平面EFD⊥平面ABE，从而二面角D﹣EF﹣B为90°，设2，3λ），再由A1D⊥BG，能求出CG的长． 【解答】证明：（Ⅰ）因为CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD， 所以CC1∥AA1，

因为ABCD是正方形，

，且λ∈[0，1]，则G（2，

所以AD∥BC，

因为AA1∩AD=A，CC1∩BC=C， 所以平面AA1D∥平面CC1B． 因为AE?平面AA1D， 所以AE∥平面CC1B．

（Ⅱ）法1：因为AA1⊥平面ABCD， 所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，

因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，

以AB，AD，AA1分别x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则由已知可得B（2，0，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（0，1，1），

，

因为所以

， ，

，

所以A1D⊥平面ABE．

法2：因为AA1⊥平面ABCD， 所以AA1⊥AB．

因为ABCD是正方形， 所以AB⊥AD，

所以AB⊥平面AA1D， 所以AB⊥A1D． 因为E为棱A1D中点，且

，

所以AE⊥A1D，

所以A1D⊥平面ABE．

（Ⅲ）因为A1D⊥平面ABE，且A1D?平面EFD， 所以平面EFD⊥平面ABE． 因为平面ABE即平面BEF， 所以二面角D﹣EF﹣B为90°． 设

，且λ∈[0，1]，则G（2，2，3λ），

因为A1D⊥平面ABE，BG?平面ABE，

所以A1D⊥BG， 所以所以

．

，即

，

19．已知椭圆G：

的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于

A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上． （Ⅰ）求椭圆G的方程；

（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）设椭圆焦距为2c，运用离心率公式和a，b，c的关系，即可得到椭圆方程； （Ⅱ）由题意可知直线l斜率存在，可设直线l：y=k（x+1），代入椭圆方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程即可得到所求方程． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆焦距为2c， 由已知可得

，且c=1，

所以a=2，即有b2=a2﹣c2=3， 则椭圆G的方程为

；

（Ⅱ）由题意可知直线l斜率存在，可设直线l：y=k（x+1），

由

消y，并化简整理得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，

由题意可知△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则

，

因为点C，F1都在线段AB上，且|AF1|=|CB|， 所以

，即（﹣1﹣x1，﹣y1）=（x2，y2﹣yC），

所以﹣1﹣x1=x2，即x1+x2=﹣1，

所以，

解得，即．

或

．

所以直线l的方程为

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