数字信号处理知识点

《数字信号处理》辅导

一、离散时间信号和系统的时域分析 （一） 离散时间信号

（1）基本概念

信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。

连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。 模拟信号：是连续信号的特例。时间和幅度均连续。

离散信号：时间上不连续，幅度连续。常见离散信号——序列。 数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。 （2）基本序列（课本第7——10页）

?1,n?0?1,n?01）单位脉冲序列 ?(n)?? 2）单位阶跃序列 u(n)??

0,n?00,n?0???1,0?n?N?13）矩形序列 RN(n)?? 4）实指数序列 anu(n)

?0,n?0,n?N5）正弦序列 x(n)?Asin(?0n??) 6）复指数序列 x(n)?ej?ne?n （3）周期序列

1）定义：对于序列x(n)，若存在正整数N使x(n)?x(n?N),???n?? 则称x(n)为周期序列，记为x(n)，N为其周期。

注意正弦周期序列周期性的判定（课本第10页）

2）周期序列的表示方法： a.主值区间表示法 b.模N表示法 3）周期延拓

设x(n)为N点非周期序列，以周期序列L对作x(n)无限次移位相加，即可得到周期序列x(n)，即

x(n)?i????x(n?iL)

?当L?N时，x(n)?x(n)RN(n) 当L?N时，x(n)?x(n)RN(n)

（4）序列的分解

序列共轭对称分解定理：对于任意给定的整数M，任何序列x(n)都可以分解成关于c?M/2共轭对称的序列xe(n)和共轭反对称的序列xo(n)之和，即

x(n)?xe(n)?xo(n),???n??

并且

11xe(n)?[x(n)?x?(M?n)] xo(n)?[x(n)?x?(M?n)]

22（4）序列的运算 1）基本运算

运算 序列相乘 序列相加 序列翻转 尺度变换 用单位脉冲序列表示 性质描述 y(n)?x1(n)x2(n)y(n)?ax(n) y(n)?x1(n)?x2(n) y(n)?x(?n) （将x(n)以纵轴为对称轴翻转） y(n)?x(mn) （序列x(n)每隔m-1点取一点形成的序列） x(n)?i????x(i)?(n?i) ? 2）线性卷积：

将序列x(n)以y轴为中心做翻转，然后做m点移位，最后与x(n)对应点相乘求和——翻转、移位、相乘、求和

定义式： y(n)?线性卷积的计算：A、图解 B、解析法

C、不进位乘法（必须掌握）

m????x(m)x(n?m)?x(n)?x(n)

1212?3）单位复指数序列求和（必须掌握）

?en?0N?1?j?n1?e?j?Ne?j?N/2(ej?N/2?e?j?N/2)e?j?N/2(ej?N/2?e?j?N/2)/(2j)???j?/2j?/2?j?/2??j?/2j?/2?j?/21?e?j?e(e?e)e(e?e)/(2j)

sin(?N/2)?e?j?(N?1)/2sin(?/2)如果??2?k/N，那么根据洛比达法则有

sin(?N/2)?N?(0)(k?0)(或N?(N)(k?N))

sin(?/2)可以结合作业题3.22进行练习

（5）序列的功率和能量

能量：E?n????|x(n)|?2

N1功率：P?lim|x(n)|2 ?N??2N?1n??N（6）相关函数——与随机信号的定义运算相同

（二） 离散时间系统

1．系统性质 （1）线性性质

定义：设系统的输入分别为x1(n)和x2(n)，输出分别为y1(n)和y2(n)，即

y1(n)?T[x1(n)],y2(n)?T[x2(n)]

统的输对于任意给定的常数a、b，下式成立

y(n)?T[ax1(n)?bx2(n)]?ay1(n)?by2(n)

则该系统服从线性叠加原理，为线性系统，否则为非线性系统。 判定系统的线性性质时，直接用定义 （2）时不变性质

统的如果系统对输入信号的运算关系在整个运算过程中不随时间变化，则称该系统是时不变系统。即对任意给定的整数i，若下式成立：

y(n?i)?T[x(n?i)]

则称该系统为时不变系统，否则为时变系统。 判定系统的时不变性质时，直接用定义 （3）系统的因果性

定义：如果系统n时刻的输出序列只取决于n时刻及以前的输入序列，而与n时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，即系统是因果系统，否则是非因果系统。

离散时间LTI系统具有因果性的充要条件是：系统的单位脉冲响应h(n)满足

h(n)?0,n?0

（4）系统的稳定性

定义：对任意有界的输入，系统的输出都有界，则该系统是稳定的，否则是不稳定的。

离散时间LTI系统具有因果性的充要条件是：系统的单位脉冲响应h(n)满足绝对可和，即?|h(i)|??

i????（5）对离散时间LTI系统的描述 （1）时域：差分方程 （2）Z域：系统函数H(z) 2．信号过系统

y(n)?h(n)?x(n)

用线性卷积的相关知识计算，信号系统学的基本性质可以套用

二、离散时间信号和系统的频域分析 （一） 离散时间信号

1．序列傅里叶变换（Sequence Fourier Transform）（即本书中的离散时间信号的傅里叶变换） （1）定义

SFT：X(e)?SFT[x(n)]?1ISFT：x(n)?ISFT[X(e)]?2?j?j?n????x(n)e??X(e???j?n,??????

?j?)ej?nd?,???n??

说明：

1、物理意义：序列傅里叶变换本质上是序列的一种分解，它将一般序列分解为无穷多个数字角频率[??,?]中的复指数序列。称X(ej?)为序列x(n)的频谱，其模|X(ej?)|称为幅频特性，其幅角arg[X(ej?)]??(?)称为相频特性。

2、尽管序列x(n)是离散时间信号，但它的序列傅里叶变换对数字角频率?而言却是连续函数，因此，序列x(n)的傅里叶变换是连续的。 3、X(ej(??2?))?n????x(n)e??j(??2?)n?X(ej?)

由上式可知，序列傅里叶变换X(ej?)是以2?为周期的周期函数，其原因正是由于ej?n对?而言以2?为周期，即数字角频率相差2?的所有单位复指数序列等价。因此，对??????的所有单位复指数序列只有一个周期。对于离散时间信号，由于的周期性，使得??0或2?的整数倍都表示信号的直流分量，而?的奇

数倍表示信号的最高频率。 （2）性质 名称 线性性质 时移性质 频移性质 性质描述 SFT[ax1(n)?bx2(n)]?aSFT[x1(n)]?bSFT[x2(n)] SFT[x(n?m)]?e?j?nSFT[x(n)] SFT[ej?0nx(n)]?X(ej(???0)) 共轭对称性质 SFT[xR(n)]?Xe(ej?),SFT[jxI(n)]?Xo(ej?)SFT[xe(n)]?Re[X(e)],SFT[xo(n)]?jIm[X(e)]线性卷积性质 SFT[x(n)?y(n)]?SFT[x(n)]SFT[y(n)] 帕斯瓦尔定理 相乘性质 序列乘以n （3）基本序列的傅里叶变换 序列 傅里叶变换 1 j?j?n????|x(n)|2??12?????|X(ej?)|2d? SFT[x(n)y(n)]?12?????X(ej?)Y(ej(???))d? SFT[nx(n)]?j[dX(ej?)/d?] ?(n) 1 2??(?) e?j?(N?1)/2sin(RN(n) anu(n)(|a|?1) ?N)/sin() 22?(1?ae?j?)?1 ej?0n(2?/?0为有理数) cos?0n(2?/?0为有理数) sin?0n(2?/?0为有理数) u(n) 2??(???0) ?[?(???0)??(???0)] ?j?[?(???0)??(???0)] (1?e?j?)?1???(?) 2．Z变换（不熟悉的复习信号系统相关内容，或本书2.3相关内容） （1）定义

?ZT：X(z)??ZT[x(n)]?IZT：x(n)?IZT[X(z)]?（2）性质——课本49页表2.3.3

n????x(n)zc?nRx??|z|?Rx? Rx??|z|?Rx?

2?j?1X(z)zn?1dz（3）收敛域与基本序列Z变换——课本45页表2.3.1、表2.3.2 3. 离散时间信号Z变换与SFT的关系

Z变换是由SFT推广得到的，反过来，如果某序列的Z变换的收敛域包括z?ej?，则也可以通过ZT求得序列的SFT。即

X(z)|z?ej??n????x(n)e??j?n?X(ej?)

上式表明，SFT正是序列的ZT在z?ej?的值

（二） 离散时间系统

1.系统函数的收敛域与系统因果性和稳定性

当且仅当系统函数H(z)的收敛域为小于单位圆的某个圆的园外时，系统是因果稳定的。

2.系统函数的零极点分布与系统因果性和稳定性

若系统是因果稳定的，则H(z)的极点必定在单位圆内。 3.系统函数的零极点分布对系统频率响应特性的影响

1、对极点而言：当单位圆上的点转到某个极点附近时，|H(ej?)|在这附近出现峰值。极点越靠近单位圆，振幅特性的峰值越大，当极点出现在单位圆上时，振幅特性将出现无穷大，系统不稳定。

2、对零点而言：当单位圆上的点转到某个零点附近时，|H(ej?)|在这附近出现谷点。当零点出现在单位圆上时，振幅特性为零。零点可以位于单位圆外，不影响稳定性。 两个概念——

1、最小相位系统：系统H(z)的全部零极点都在单位圆内，某点在单位圆上逆时针旋转一周时，系统的相位变化最小。

2、最大相位系统：H(z)的全部零点在单位圆外，系统的相位变化最大。

说明：处于坐标原点的零极点不影响系统的幅频响应；利用零极点分析系统的幅频响应，仅对低阶系统有效。

（三） 离散时间信号与模拟（连续）时间信号

1．时域关系

设连续时间信号xa(t)，离散时间信号x(n)，则

x(n)?xa(nT)?xa(t)|t?nT

2．频域关系

1?X(e)|???T??Xa[j(??m?s)]

Tm???j?在时域对信号抽样，其频域的特征就是频谱以采样频率?s为周期进行周期延拓。

一个域的离散必然导致另一个域的周期延拓 一个域的周期延拓必然导致另一个域的离散

对应变量的关系：??单位：rad??单位：Hz

???T

由于???s，所以?max??sT?2?

三、离散傅里叶变换（DFT）

（一） 离散傅里叶级数变换（DFST）

说明：周期序列不满足绝对可和的条件，不适用于序列傅里叶变换的定义式，但是它可以展开成离散傅里叶级数（Discrete Fourier Series，DFS），利用离散傅里叶级数可以得到周期序列的离散傅里叶变换表示式。 1.定义

nkDFST：X(k)??x(n)WN,???k??

n?0N?11N?1?nkIDFST：x(n)??X(k)WN,???n??

Nn?0注：1、周期单位复指数序列WnkN?e?j2?nkN,W?nkN?ej2?nkN

周期单位复指数序列对n、k而言都是以N为周期的，即

(n?N)knkWN?WN,???n,k?? n(k?N)nkWN?WN,???n,k??

(nk?N)nkWN?WN,???n,k??

2、周期为N的周期序列x(n)可以分解成N个周期复指数序列的和，这些周期复

指数序列的数字角频率为傅里叶级数

X(k)决定。 N2?k(k?0,1,2,???,N?1)周，它们的幅度和相位由离散N2.基本周期序列的离散傅里叶级数变换

时域序列 离散傅里叶级数变换（DFST） 1 ?(n) 1 ej2?mnNN?(k) N?(k?m) N[?(k?m)??(k?m)]/2 ?jN[?(k?m)??(k?m)]/2 cos(2?mn/N) sin(2?mn/N) 3.周期序列的离散傅里叶变换

2?X(e)?Nj?k?????X(k)?(??2?k) N可类比信号系统中周期信号的傅里叶变换，具体推导过程见课本76页。

（二） 离散傅里叶变换（DFT）

1.定义

nkDFT：X(k)??x(n)WN,0?k?N?1

n?0N?11N?1?nkIDFT：x(n)??X(k)WN,0?n?N?1

Nn?0要点：

（1）DFT没有实际的物理含义，但是可以理解为SFT的等间隔采样，即

X(k)?X(ej?)|（2）变换区间：[0,N-1]，有限长N点

??2?kN,0?k?N?1

（3）变换结果：与序列长度N有关，当N足够大时，X(k)的包络趋近于X(ej?)曲线

（4）频谱分析的意义：

如果x(n)是模拟信号的采样，采样间X(k)表示?k?(2?/N)k频点的幅度谱线，

隔为T，???T?2?f/T，则k与相应的模拟频率的关系为：?k?即fk?2?k?2?fkT Nk1Hz。所。对模拟频率域而言，N点DFT意味着频域采样间隔为

NTNT1为频率分辨率。而NT表示时域采样的区间NT以用DFT进行谱分析时，称F?长度(即观察时间或记录长度TP?NT)，显然为了提高分辨率就必须是记录长度足够大。

（5）DFT的隐含周期性

1）DFT是SFT的等间隔采样，而X(ej?)以2?为周期；

k(k?mN)2）WN的周期性 ?WN3）时域抽样，频域周期延拓；频域采样，时域周期延拓 2.DFT的主要性质 性质 线性性质 时域循环移位性质 频域循环移位性质 时域循环卷积 频域循环卷积 复共轭序列的DFT 共轭对称性 时域（x(n)、y(n)） 频域（X(k)、Y(k)） ax1(n)?bx2(n) x((n?m))NRN(n) nlWNx(n) aX1(k)?bX2(k) ?kmWNX(k) X((k?l))NRN(k) x1(n)?x2(n) X1(k)X2(k) 1X1(k)?X2(k) Nx1(n)x2(n) x(n)? X*(N?k) xep(n) xop(n) xR(n) XR(k) jXI(k) Xep(k) jxI(n) 帕斯瓦尔定理 3.基本序列的离散傅里叶变换

1N?1|x(n)|??|X(k)|2 ?Nk?0n?02N?1Xop(k)

时域序列 离散傅里叶级数变换（DFST） 1 N?(k) N?(k?m) ?(n) RN(n) ej2?mnNRN(n) cos(2?mn/N)RN(n) sin(2?mn/N)RN(n) 4.频域采样定理

N[?(k?m)??(k?N?m)]/2 ?jN[?(k?m)??(k?N?m)]/2 设序列x(n)的傅里叶变换为X(ej?)，在区间[0,2?)内对X(ej?)进行N点等间隔采样（采样间隔为2?/N）得到序列X(k)，且X(k)对应的IDFT为xN(n)，则

xN(n)?r????x(n?rN)

? 这是因为，在频域内对X(ej?)等间隔采样，导致时域序列x(n)周期延拓，并且在区间[0,2?)采样得到的序列X(k)的IDFT是原序列以N为周期进行周期延拓后的主值序列。若序列的长度为M，那么只有当频域采样点数N?M时，才有xN(n)?x(n)，此时才能由频域采样序列X(k)恢复X(ej?)。

（三）连续信号傅里叶变换（CFT）、序列傅里叶变换（SFT）、离散傅里叶级数变换（DFST）、离散傅里叶变换（DFT）的关系

xa(t)CFT 抽样t?nTsx(n)截短周期延拓周期延拓x(n)d(n)xN(n)xN(n)SFTDFST取主值DFTSFT周期延拓周期延拓j?卷积j?抽样Xa(j?)XN(k)X(e)X(e)?D(ej?)XN(k)?s?2?/Ts取主值

各个变量对应关系：

k:0数字角频率?:0模拟频率f:0模拟角频率?:0N?12?fs2?fsk2?k/Nk/Nkfs/N2?kfsN

数字频率F:01???Ts，?s??sTs?2?fsT，??2?k/N

编者按：为什么要有DFT？

我们从外界接收到的信号都是连续信号，但是在现代人类都用计算机对信号进行处理，而计算机只能识别离散的值，所以需要对接收到的连续信号进行采样截短得到离散的序列。但是，一个域的离散必然导致另一个域的周期延拓，当对时域的连续信号进行采样时，其频谱必然进行周期延拓，所以序列的傅里叶变换是连续周期的，这样计算机就没法对其频谱进行分析。这时，对时域信号进行周期延拓，又会使其频谱离散化。经过两个域的分别离散化和周期延拓，这时得到的就是DFST的对应关系。那么，分别对两个域取主值，就可得到适合计算机处理的时域和频域序列。DFT就应运而生。（一家之言，仅供参考）

（四） 卷积的计算

1.循环卷积与线性卷积（有限长序列的卷积）

h(n)的长度为M， 设有限长序列x(n)的长度为N，它们线性卷积结果为yl(n)，长度为Lg?N?M?1；循环卷积结果为yc(n)，长度为L。则两类卷积有如下对

应关系：（设N?M） （1）当L?N时

0?n?M?2?yl(n)?yl(n?N), yc(n)??yl(n),M?1?n?N?1?（2）当L?Lg时

yc(n)?yl(n)

（3）当N?L?Lg时

?yl(n)?yl(n?L),0?n?Lg?L?1 yc(n)??y(n),L?L?n?L?1lg?

2.重叠保留法和重叠相加法（无限长序列得卷积）

（1）重叠保留法

基本思路：将两个序列中长度较长或无限长的序列均匀分段，计算各个有

限长的子序列与另一短序列的线性卷积，最后将结果重叠相加起来输出。（重叠的是卷积结果）

设有限长序列h(n)的长度为M，x(n)为无限长序列，

计算步骤：1）将x(n)均匀分段，每段长度为N

x(n)??xk(n)

k?0??x(n),kN?n?(k?1)N?1 xk(n)?x(n)RN(n?kN)??0,else?2）计算每段子序列与短序列的线性卷积

?(n)?xk(n?kN)，即计算xk?(n)与h(n)的线性卷积yk?(n) 设xk3）将各子序列线性卷积的结果移位后相加得总输出

?(n?kN)，则y(n)??yk(n) 令yk(n)?ykk?0?（2）重叠保留法

基本思路：将两个序列中长度较长或无限长的序列在时间上有重叠地分段，计算各个有限长的子序列与另一短序列的线性卷积，最后保留每段结果中间N个点，相加输出。（重叠的是较长的序列）

设有限长序列h(n)的长度为M，x(n)为无限长序列，

计算步骤：1）将x(n)有重叠地分段（每一段由kN向前重叠M-1个点），每

段长度为N+M-1

?x(n),kN?M?1?n?(k?1)N?1 xk(n)??else?0,2）计算每段子序列与短序列的线性卷积

?(n)?xk(n?kN?M?1)，即计算xk?(n)与h(n)的线性卷积设xk?(n)，yk?(n)的长度为N+2M-2，将前M-1个点去掉，后M-1yk个点去掉，保留中间N个点得yk(n)

3）将各子序列线性卷积的结果移位后相加得总输出

即y(n)??yk(n)

k?0?说明：重叠保留和相加法必须掌握，公式可以不必记忆，明白其算法思想，会计算即可。而且计算时注意三步走（写在卷子上），否则答案正确也没分（与数学归纳法一样，有固定格式）。

（五） 用DFT进行频谱分析的误差

1.泄漏现象

产生原因：用DFT进行分析时，隐含对序列在时域加窗截断，使得信号的原有频率的能量向其他频率上泄漏 减少方法：（1）加大窗长，增加实际DFT计算的点数；

（2）变换时域所加窗函数的形式

2.栅栏现象

产生原因：DFT只计算??2?k/N,k?0,1,2,???,N?1的频谱 减少方法：在序列末尾加零以增加DFT的点数 3.混叠现象

产生原因：序列截断以及采样频率不完全满足采样定理

减少方法：以较高的采样频率对信号进行采样，之后序列通过数字低通滤波器，降低采样频率后再进行DFT分析

4.DFT的分辨率： 参数选择的一般原则：

a．若已知信号的最高频率防止混叠，选定采样频率 fs?2fmax

b．根据频率分辨率F，确定所需DFT的长度N?fs/F c．和N确定以后，即可确定相应模拟信号的时间长度TP?fs/N?NT,这里T是采样周期。

（六） 离散时间信号的抽取和内插

1.离散时间信号的整数倍抽取

时域：y(n)?x(Dn)

??2?kj1D?1频域：Y(e)??X(eD)

Dk?0整数倍抽取将导致数字频谱的展宽 2.离散时间信号的整数倍内插

?n?x(),n?0,?I,?2I,???时域：v(n)??I

?else?0,频域：V(ej?)?X(ej?I)

序列相邻采样点之间插零将导致数字频谱压缩

说明：即使抽取和内插的公式记不住，也要学会画图分析其过程

j?

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