量纲分析法建模

§5 量 纲 分 析 法 建 模

量纲分析(Dimensional Analysis)是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，它在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则，确定各物理量之间的关系．本节在一个例子的引导下先介绍量纲齐次原则和著名的BuckinghamPi定理，然后用这个定理讨论一个力学问题的建模方法，并介绍量纲分析在物理模拟中的应用．最后给出一种简化模型的方法——无量纲化． 一、量纲齐次原则

许多物理量是有量纲的，有些物理量的量纲是基本的，另一些物理量的量纲则可 以由基本量纲根据其定义或某些物理定律推导出来．例如在研究动力学问题时常把长 度l、质量m和时间t的量纲作为基本量纲，记以相应的大写字母L，M和T．于 是速度v、加速度a的量纲可以按照其定义分别用LT根据牛顿第二定律用质量和加速度量纲的乘积LMT万有引力定律f?km1m2r2?1和LT?2表示，力f的量纲则应

?2表示．有些物理常数也有量纲，如

fr2中的引力常数k，由 k?m1m2?1可知其量纲应从力f、距离r

和质量m的量纲求出，为LMT?2·L2·M?2=L3MT?2．通常，一个物理量q的量纲

记作[q]，于是上述各物理量的量纲为[l]=L，[m]=M，[t]=T，[v]=LT-1，[a]=LT-2，[f] =LMT-2，[k]= L3M?1T?2.

对于无量纲量?，我们记[?]=1(因为可视为[?]=L0M0T0)．

用数学公式表示一个物理定律时，等号两端必须保持量纲的一致，或称量纲齐次性(Dimensional Homogeneity)．量纲分析就是利用量纲齐次原则来寻求理量之间的关系

[6,20]

．在叙述主要定理之前先看一个例子．

单摆运动 这是一个熟知的物理现象，质量为m的小球系在长度为l的线的一端，稍偏离平衡位置后小球在重力mg作用下(g为重力加速度)做往复摆动，忽略阻力．求摆动

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周期t的表达式．

在这个问题中出现的物理量有t，m，l，g，设它们之间有关系式

其中?1，?2，?3是待定常数，?是无量纲的比例系数．取(1)式的量纲表达式即

?t???m???l???g??123将[t]=T，[m]=M，[l]=L，[g]=LT代入得

-2

按照量纲齐次原则应有

(3)的解为?1=0，?2=1/2，?3=-1/2，代人(1)式得t??(4)式与用力学规律得到的结果是一致的．

为了导出量纲分析建模的一般方法，将这个例子中各个变量之间的关系写作

lg （4）

进而假设(5)式形如 tmy1y2ly3gy4?? （6）

其中y1～y4是待定常数，?是无量纲常数．将t，m，l，g的量纲用基本量纲L，M，T表示为[t]?LMT,[m]?LMT,[l]?LMT,[l]?LMT达式可写作(注意到[?]?LMT)

00000101010010?2，则(6)的量纲表

即 Ly3?y4My2Ty1?2y4?LMT000 （7）

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量纲齐次原则给出 （8）

此方程组有一个基本解

y?(y1,y2,y3,y4)T?(2,0,?1,1) （9）

代回(6)式得 t2l?1g?? （10） 而(5)式等价于

F(?)? （11）

(10)，(11)两式就是用量纲齐次原则从(5)式得到的结果．前面给出的(4)式只是它的特殊表达形式.

把从(5)式到(11)式的推导过程一般化，就是著名的Pi定理． 定理 设有m个物理量q1,q2,?,qm，

是与量纲单位的选取无关的物理定律*,X1,X2,?,Xn是基本量纲，n≤m．

n

q1,q2,?,qm的量纲可表为[qi]??i?1Xiij,j?1,2,...,m (13)

a矩阵A?{aij}n?m称量纲矩阵．若A的秩RankA?r (14) 设线性齐次方程组(y是m维向量) Ay?0 (15)

T 的m-r个基本解为ys?(ys1,ys2,?,ysm),s?1,2,?,m?r (16)

m 则?i??j?1qjsj

y 为m-r个相互独立的无量纲量．且

与(12)式等价．F表示一个未定的函数关系． [航船的阻力]

长l、吃水深度h的船以速度v航行，若不考虑风的影响，那么航船受的阻力f除依

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赖于船的诸变量l，h，v以外，还与水的参数——密度?、粘性系数?，以及重力加速度g有关．下面用量纲分析方法确定阻力f和这些物理量之间的关系． 我们按照Pi定理中(12)～(18)式的步骤进行．

1．航船问题中涉及的物理量有：阻力f，船长l，吃水深度h，速度v，水的密度?，水的粘性系数?，重力加速度g，要寻求的关系式记作

(19) 2．这是一个力学问题，基本量纲选为L，M，T．上述各物理量的量纲表为

其中?的量纲由基本关系p???v?x

得到．其中p是压强(单位面积受的力)，所以

??v??LT???x?[p]?LMT?2?L?2?LMT?1?2;v是流速，x是尺度，所以??1?L?1?T?1．

并且有n=3

3．由(20)立即可写出量纲矩阵

并且计算 RankA?3(?r) (22) 4．解齐次方程Ay?0 (23) 方程(23)有m-r=7—3=4个基本解，可取为

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5．(24)式给出4个相互独立的无量纲量

而(19)式与

等价，?是未定的函数，(25)、(26)两式表达了航船问题中各物理量间的全部关系． 6，为得到阻力f的显示表达式，由(25)及(26)中?4的式子可写出

其中?表示一个未定函数．在流体力学中无量纲量

vlg(??2?1/2)称Froude数，

lv??(??3)称Reynold数(雷诺数)，分别记作Fr?1vlg,Re?lv?? (28)

则(27)式又表示为 f?l???(,Fr,Re) (29)

h22 这就是用量纲分析方法确定的航船阻力与各物理量之间的关系，这个结果用通常的机理分析是难以得到的．虽然这里函数?的形式无从知道，但是在下面将会看到这个表达式在物理模拟中的用途．

评注 从上面的例子可以看出，量纲分析方法在建立物理问题的数学模型中能够得到一些重要的、有用的结果，但是也有较大的局限性．在应用和评价这个方法时以下几点值得注意．

1．正确确定各物理量 面对一个实际问题将哪些物理量包括在量纲分析的基本关系式f(·)=0中，对所得结果的合理性是至关重要的．对于航船问题，如果在(19)式中忽略了水的密度?或粘性系数?，则得到的结果就会不同．各物理量的确定主要靠经验和物理知识，无法绝对保证所得结果是正确或有用的．

2．合理选取基本量纲 基本量纲选少了，无法表示各物理量，当然不行；选多了也

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