广东省茂名市2013届高三第一次高考模拟数学理试题

绝密★启用前 试卷类型：A

茂名市2013年第一次高考模拟考试数学试卷（理科）

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟。

第一部分 选择题（共40分）

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的）

1. 设集合A?{x|?1≤x≤2?,B?{x|?1≤x≤1?，则（ ）

2. 计算：i(1?i)2?（ ）

A．2i

B．-2i C.

2 D. -2

12)?（ ）

3. 已知f(x)是奇函数，当x?0时，f(x)?log2x，则f(?A. 2 B. 1 C. ?1 D. ?2

????4. 已知向量a?(x?1,2),b?(2,1),则a?b的充要条件是（ ）

A．x?0

B．x?5

C．x??1

D．x??1212

5. 若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为

可以是（ ）

，则该几何体的俯视图

6. 已知函数y?sinx?cosx，则下列结论正确的是（ ） A. 此函数的图象关于直线x??C. 此函数在区间(???4,4

?4对称 B. 此函数的最大值为1

)上是增函数 D. 此函数的最小正周期为?

7. 某程序框图如图所示，该程序运行后， 输出的x值为31，则a等于（ ）ks5u A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

?x?y?3?8. 已知x、y满足约束条件?x?y??1，

?y?1?若0?ax?by?2，则

b?2a?1的取值范围为（ ）

A. [0，1] B. [1，10] C. [1，3] D. [2，3]

第二部分 非选择题（共100分）

二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分，每小题5分，满分30分）。 （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答。 9. 已知等比数列{an}的公比q为正数，且a3?a9?2a52，则q= . 10. 计算

.

0）11. 已知双曲线x2?ky2?1的一个焦点是（5，，则其渐近线方程为 .

12. 若(2x?1x)n

的展开式中所有二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 .

13. 已知21?1?2,22?1?3?3?4,23?1?3?5?4?5?6,24?1?3?5?7?5?6?7?8,… 依此类推，第n个等式为 .

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的只算前一题得分。 14. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的参数方程为??x?2?cos??y?sin? (θ为参数)，则曲线C上

的点到直线3x-4y+4=0的距离的最大值为 15.（几何证明选讲选做题）如图，⊙O的直径AB＝6cm，P是AB

延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC， 若∠CPA＝30°，PC＝_____________

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分12分）

如图，角A为钝角，且sinA?两边上不同于点A的动点.

（1）若AP=5，PQ =35，求AQ的长； （2）设?APQ??,?AQP??,且cos??17.（本小题满分12分）

某连锁超市有A、B两家分店，对该超市某种商品一个月30天的销售量进行统计：A分店的销售量为200件和300件的天数各有15天；B分店的统计结果如下表：

销售量（单位：件） 天 数 200 10 300 15 400 5 1213,求sin(2???)的值.

35，点P、Q分别是在角A的

（1）根据上面统计结果，求出B分店销售量为200件、300件、400件的频率；

（2）已知每件该商品的销售利润为1元，?表示超市A、B两分店某天销售该商品的利润之

和，若以频率作为概率，且A、B两分店的销售量相互独立，求?的分布列和数学期望.

18.（本小题满分14分）

如图，PDCE为矩形，ABCD为梯形，平面PDCE^平面ABCD， ?BAD??ADC?90?，AB?AD?12CD?a,PD?2a.

（1）若M为PA中点，求证：AC∥平面MDE； （2）求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小．

19.（本小题满分14分）

已知数列{an},{bn}中，a1?b1?1，且当n?2时，an?nan?1?0，bn?2bn?1?2n?1. 记n的阶乘n(n?1)(n?2)?3?2?1?n！

（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：数列{（3）若cn?anan?2nbn2n}为等差数列；

?bn?2，求{cn}的前n项和. ks5u

20.（本小题满分14分）

已知椭圆C1：

xa22?yb22?1 （a?b?0）的离心率为

33，连接椭圆的四个顶点得到的四

边形的面积为26.

（1）求椭圆C1的方程；ks5u

（2）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂

直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；

（3）设O为坐标原点，取C2上不同于O的点S，以OS为直径作圆与C2相交另外一点R，求

该圆面积的最小值时点S的坐标．

21.（本小题满分14分）

3（1）若a?1，求g(x)的单调减区间；

已知函数g(x)?1ax?2x?2x，函数f(x)是函数g(x)的导函数.

32（2）若对任意x1，x2?R且x1?x2，都有f(x1?x22)?f(x1)?f(x2)2，求实数a的取值范

围；

（3）在第（2）问求出的实数a的范围内，若存在一个与a有关的负数M，使得对任意

x?[M,0]时|f(x)|?4恒成立，求M的最小值及相应的a值.

茂名市2013年第一次高考模拟考试数学试卷（理科）

参考答案及评分标准

一、选择题(每小题5分，共40分)

题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 A 5 C 6 C 7 D 8 B 二、填空题（每小题5分，共30分） 9.

22； 10. e； 11. y??2x； 12. ?160；

13. 2n?1?3?5???(2n?1)?(n?1)?(n?2)?(n?3)???(n?n)； 14. 3； 15. 33. 三、解答题（共80分）

16. 解：（1）??A是钝角，sinA?35，?cosA??45 ……ks5u………………1分

在?APQ中，由余弦定理得：PQ2?AP2?AQ2?2AP?AQcosA

所以AQ2?8AQ?20?0 ……………ks5u………4分

解得AQ?2 或?10（舍去负值），所以AQ?2 …………………………6分 （2）由cos??121313在三角形APQ中，????A??

,得sin??5 …………………………7分

又sin(???)?sin(??A)?sinA?cos(???)??cosA?435, …………………………8分 …………………………9分

5?sin(2???)?sin[??(???)]?sin?cos(???)?cos?sin(???)………11分 ?513?45?1213?35?5665

………………………12分

11217. 解：（1）B分店销售量为200件、300件、400件的频率分别为，

3和

16 ………3分

（2）A分店销售量为200件、300件的频率均为

12， ……………4分

?的可能值为400，500，600，700，且 ……………5分

P（?=400）=?2113??1216?， P（?=500）=

12?1312??1612?131?12?512，

P（?=600）=?2116， P（?=700）=

12?12， ………9分

?的分布列为

? 400 16500 512600 13700 112P ……………10分

E?=400?16+500?512+600?13+700?112=

16003（元） …………………12分

18.（1）证明：连结PC,交DE与N,连结MN，

?PAC中，M,N分别为两腰PA,PC的中点 ∴MN//AC………………2分

因为MN?面MDE,又AC?面MDE，所以AC//平面MDE ………………4分 （2）解法一：设平面PAD与PBC所成锐二面角的大小为?，以D为空间坐标系的原点，分

别以DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则

????????2a),B(a,a,0),C(0,2a,0) PB?(a,a,?2a),BC?(?a,a,0) ………6分

???? 设平面PAD的单位法向量为n1，则可设n1?(0,1,0) ……………………………7分

P(0,0,

???设面PBC的法向量n2?(x,y,1)，应有 ?????????n2?PB?(x,y,1)?(a,a,?2a)?0 ??????????n2?BC?(x,y,1)?(?a,a,0)?0

??ax?ay?2a?0 即：?

???ax?ay?0?2x?????22?2解得：?，所以n2?(,,1) …………………………………………12分

222?y???2

2?????n?n212 ∴cos????1??? ……………………………………………………13分 ??21?2n1?n2 所以平面PAD与PBC所成锐二面角为60°………………………………………14分 解法二：延长CB、DA相交于G，连接PG，过点D作DH⊥PG ，垂足为H，连结HC ……………………6分 ∵矩形PDCE中PD⊥DC，而AD⊥DC，PD∩AD=D ∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥PG，又CD∩DH=D ∴PG⊥平面CDH，从而PG⊥HC ………………8分 ∴∠DHC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的平面角 ………………………………………………10分 在Rt?△PDG中，DG?2AD?2a，PD=在Rt△CDH中，tan?DHC?CDDH?2a233a?2a 可以计算DH?233a …12分

3 ……………………………13分

所以平面PAD与PBC所成锐二面角为60°………………………………………14分

19. 解：（1）?an?nan?1?0, n?2，a1?1

?an?nan?1?n(n?1)an?2?n(n?1)(n?2)an?3????

?n(n?1)(n?2)?3?2?a1?n！ …………………………………………2分

又a1?1?1!，?an?n！ ………………………………………………………3分 （2）由bn?2bn?1?2n?1两边同时除以2n得

∴数列{bn2nbn2n?bn?12n?1?12即

bn2n?bn?12n?1??12 …4分

bn2}是以n12为首项，公差为?12)?1?n212的等差数列 …………………………5分

n?12?(n?1)(?，故bn?2(1?1n?1an?1n?2n2) ……………………………6分

nn?1（3）因为

anan?2a1a3??1(n?1)(n?2)a2a4?13?,bn?2??n?2 ………………8分

记An=

An?(12?13a3a5?14?????14an?2?15

1n?11n?2121n?2)?()?()?????(?)?? ………10分

n记{bn?2}的前n项和为Bn

012n?1则Bn??1?2?2?2?3?2?????n?2 ① 12n?1n∴2Bn??1?2?2?2?????(n?1)?2?n?2 ②

由②-①得：Bn?2?2?2?????2012n?1?n?2?n1?2n1?212?n?2?(1?n)?2?1

nn……………………………………………………………………………………13分 ∴Sn?c1?c2?c3?????cn=An?Bn?(1?n)?2?n?1n?2……………14分

b …………1分

20. 解：（1）解：由e?由题意可知

3312，得a?3c，再由c?a?b，解得a?2222262?2a?2b?26，即a?b?6 …………………………………2分

?6a?b?解方程组?2得a???ab?63,b?2 ………………………………………3分

所以椭圆C1的方程是

x23?y22?1 ………………………………………………3分

（2）因为MP?MF2，所以动点M到定直线l1:x??1的距离等于它到定点F2（1，0）的距离，所以动点M的轨迹C2是以l1为准线，F2为焦点的抛物线，…6分

所以点M的轨迹C2的方程为y2?4x …………………………………………7分

???????（3）因为以OS为直径的圆与C2相交于点R，所以∠ORS = 90°，即OR?SR?0

……………………………………………………………………………………8分

???????设S （x1，y1），R（x2，y2），SR＝（x2-x1，y2-y1），OR=（x2，y2）

222???????y2(y2?y1)所以OR?SR?x2(x2?x1)?y2(y2?y1)??y2(y2?y1)?0

16?16?因为y1?y2，y2?0，化简得y1???y2?? ……………………………10分

y2??所以y1?y2?222当且仅当y2?256y2y222?32?2y2?2256y22?32?64，

2562即y2＝16，y2＝±4时等号成立. ………………………12分

圆的直径|OS|=2x1?y1?222y1416?y1?214y1?16y1?min4214(y1?8)?64

22因为y1≥64，所以当y1＝64即y1=±8时，OS?85， ……………13分

所以所求圆的面积的最小时，点S的坐标为（16，±8）……………………14分

21. 解：（1）当a?1时，g(x)?由g'(x)?0解得?2?13x?2x?2x，g'(x)?x?4x?2 …………………1分

3226?x??2?6 ……………………2分

6,?2?6)；………………3分

?当a?1时函数g(x)的单调减区间为(?2?（2）易知f(x)?g'(x)?ax2?4x?2

依题意知 f(?a(??x1?x22)?f(x1)?fx(222

)2x1?x22)?4(22x1?x22)?2?ax1?4x1?2?ax2?4x2?22

a4(x1?x2)?0 …………………………………………………………5分

因为x1?x2，所以a?0，即实数a的取值范围是(0,??) ；………………6分 （3）解法一：易知f(x)?ax?4x?2?a(x?22a)?2?2a24a，a?0.

显然f(0)??2，由（2）知抛物线的对称轴x??①当?2?2?0 ………………7分

4a??4即0?a?2时，M?(?2a,0)且f(M)??4

令ax?4x?2??4解得x??2?4?2aa ……………………8分

此时M取较大的根，即M??0?a?2， ?M??2?4?2aa??24?2a?2 …………………9分

?24?2a?2??1 ………………………10分

2a②当?2?4a??4即a?2时，M??且f?M??4

令ax2?4x?2?4解得x??2?4?6aa ……………………11分

?64?6a?2此时M取较小的根，即M??a?2， ?M??2?4?6aa? ………………12分

?64?6a?2??3当且仅当a?2时取等号 …………13分

由于?3??1，所以当a?2时，M取得最小值?3 ……………………14分 解法二：对任意x?[M,0]时，“|f(x)|?4恒成立”等价于“f(x)max?4且

f(x)min??4”

由（2）可知实数a的取值范围是(0,??)

故f(x)?ax2?4x?2的图象是开口向上，对称轴x??①当?2a?M?0时，f(x)在区间[M,0]上单调递增，

2a?0的抛物线……7分

∴f(x)max?f(0)??2?4， 要使M最小，只需要

f(x)min?f(M)?aM2?4M?2??4………8分

若??16?8a?0即a?2时，无解

若??16?8a?0即0?a?2时，………………9分 解得M??2?4?2aa??2a（舍去） 或M??2?4?2aa??1

故M??1（当且仅当a?2时取等号）…………10分 ②当M??在(?f(?2a2a2a时，f(x)在区间[M,?2a]上单调递减，

,0]递增，f(0)??2?4, )??2?4a??4则a?2，…………………11分

2要使M最小，则f(M)?aM?4M?2?4即

aM2?4M?6?0 ……………………………………………………………12分

?2?4?6aa4?6aa?解得M?或M???2a（舍去）

??3（当且仅当a?2时取等号）……13分

?2??64?6a?2综上所述，当a?2时，M的最小值为?3. …………………………………14分

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