考研数学强化班高等数学讲义一至三章

2010考研强化班高等数学讲义

主讲：汪诚义

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考研强化班高等数学讲义(一至三章)

第一章 函数、极限、连续

§1.1 函数

(甲) 内容要点 一、函数的概念 1．函数的定义 2．分段函数 二、基本初等函数的概念、性质和图象 三、复合函数与初等函数

四、考研数学中常出现的非初等函数 1．用极限表示的函数

3．反函数 4．隐函数

??x2n?1??(1) y?limfn(x), 例 f(x)?lim??2n??x? n??n????x?1??(2) y?limf(t,x)，例 f(x)?lim?t?x?sint??t?xsinx??xsint?sinx

2．用变上、下限积分表示的函数

(1) y?(2) y?则

?xaf(t)dt

其中f(t)连续，则

dy?f(x) dx???2(x)1(x)f(t)dt

其中?1(x),?2(x)可导，f(t)连续，

dy?(x)?f[?1(x)]?1?(x) ?f[?2(x)]?2dx五、函数的几种性质

1． 有界性：设函数y?f(x)在X内有定义，若存在正数M，使x?X都有f(x)?M，

则称f(x)在X上是有界的。

2． 奇偶性：设区间X关于原点对称，若对x?X，都有f(?x)??f(x)，则称f(x)在X

上是奇函数。

若对x?X，都有f(?x)?f(x)，则称f(x)在X上是偶函数，奇函数的图象关于原

,当f为奇函数?0?f(x)dx??a点对称；偶函数图像关于轴对称。重要公式? ?a2f(x)dx,当f为偶函数??0?a3． 单调性：设f(x)在X上有定义，若对任意x1?X,x2?X，x1?x2都有

f(x1)?f(x2)[f(x1)?f(x2)]则称f(x)在X上是单调增加的[单调减少的]；若对任

意x1?X，x2?X,x1?x2都有f(x1)?f(x2)[f(x1)?f(x2)]，则称f(x)在X上是单调不减[单调不增]

（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）

f?(x)?0,则f(x)单调增加若在(a,b) 内，

?f(x)?0,则f(x)单调减少4． 周期性：设f(x)在X上有定义，如果存在常数T?0，使得任意x?X，x?T?X，

都有f(x?T)?f(x)，则称f(x)是周期函数，称T为f(x)的周期。 由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。 例f(x)?sin?x(??0常数)周期?=(乙) 典型例题

一、定义域与值域

例1 设f(x)的定义域为[?a,a]（a?0）求f(x2?1)的定义域

解：要求?a?x?1?a，则1?a?x?1?a， 当a?1时，

222??

1?a?0，?x2?1?a，则x?1?a

当0?a?1时，1?a?0，?1?a?x?1?a 也即1?a?x?1?a或?1?a?x??1?a

?3?x3,x??2?例2 求y?f(x)??5?x,?2?x?2的值域，并求它的反函数。

?1?(x?2)2,x?2?解：x??2，y?3?8?11，x?33?y，

?2?x?2，3?y?5?x?7，x?5?y， x?2，y?1?(x?2)2?1，x?2?1?y，

所以y?f(x)的值域为(??,1)?[3,7]?(11,??) ?2?1?y,y?1反函数x???5?y,3?y?7

??33?y,y?11二、求复合函数有关表达式 例1 设f(x)?x1?x2，求f[f(f(x))]?fn(x) n重复合解：f2(x)?f[f(x)]?f(x)1?f2(x)?x1?x2/1?x21?x2?x1?2x2，若

fxk(x)?1?kx2，ffk(x)xx2xk?1(x)?1?f2?2/1? k(x)1?kx1?kx2?1?(k?1)x2根据数学归纳法可知，对正整数，fn(x)?x1?nx2

例2 已知f?(ex)?xe?x，且f(1)?0，求f(x)

解：令ex?t，x?lnt，因此f?(ex)?f?(t)?lntt， f(x)?f(1)??xlntx11tdt?12ln2t1?2ln2x

f(1)?0，∴f(x)?12ln2x 三、有关四种性质

例1 设F?(x)?f(x)，则下列结论正确的是 [ ]

（A）若f(x)为奇函数，则F(x)为偶函数 （B）若f(x)为偶函数，则F(x)为奇函数 （C）若f(x)为周期函数，则F(x)为周期函数

则

（D）若f(x)为单调函数，则F(x)为单调函数 例2 求I??1?1x[x5?(ex?e?x)ln(x?x2?1)]dx

解 f1(x)?ex?e?x是奇函数，?f1(?x)?e?x?ex??f1(x)

f2(x)?ln(x?x2?1)是奇函数， ?f2(?x)?ln(?x?x?1)?ln2(x2?1)?x2x?x?12

?ln1?ln(x?x2?1)??f2(x)

因此x(ex?e?x)ln(x?于是I?x2?1)是奇函数

10?1?1x6dx?0?2?x6dx?2 7例3 设f(x),g(x)是恒大于零的可导函数，且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0，则当a?x?b时，下列结论成立的是

[ ]

（B）f(x)g(a)?f(a)g(x) （D）f(x)g(x)?f(a)g(a)

（A）f(x)g(b)?f(b)g(x) （C）f(x)g(x)?f(b)g(b)

思考题：两个周期函数之和是否为周期函数 例1．f(x)?sinxx?cos 23例2．f(x)?sin?x?sin2x 四、函数方程

例1．设f(x)在[0,??)上可导，f(0)?0，反函数为g(x)，且

?f(x)0g(t)dt?x2ex，求

f(x)。

?x(?)xex2解：两边对求导得g[f(x)f]?x2ex，于是xf?(x)?x(2?x)ex，故

f?(x)?(?x2x)e，f(x)?(x?1)ex?C，由f(0)?0，得C??1，则

f(x)?(x?1)ex?1。

例2 设f(x)满足sinf(x)?解：令g(x)?sinf(x)，则

11sinf(x)?x，求f(x) 3311g(x)?g(x)?x，

3311111g(x)?2g(2x)?2x， 3333311111g(x)?g(x)?x， 3232333334……

111g(x)?x，

3n?13n?13n3n32(n?1)1111各式相加，得g(x)?ng(nx)?x[1????n?1]

933911?g(x)?1，∴limng(nx)?0

n??33g(x)?lim[1?n??1111???n?1]?9911?19?9 8因此g(x)?9x，于是 899f(x)?arcsinx?2k?或(2k?1)??arcsinx（k为整数）

88思考题

设b?a均为常数，求方程

sin(x?b)ln[(x?b)?(x?b)2?1]?sin(x?a)ln[(x?a)?(x?a)2?1]?0的一个解。

§1.2 极限

(甲) 内容要点

一、极限的概念与基本性质 1．极限的概念

(1) 数列的极限limxn?A

n??(2) 函数的极限limf(x)?A；limf(x)?A；limf(x)?A

x???x???x??x?x0f(x)?A；limf(x)?A limf(x)?A；lim??x?x0x?x02．极限的基本性质

定理1 （极限的唯一性 ） 设limf(x)?A，limf(x)?B，则A=B 定理2 （极限的不等式性质） 设limf(x)?A，limg(x)?B 若变化一定以后，总有f(x)?g(x)，则A?B

反之，A?B，则变化一定以后，有f(x)?g(x)（注：当g(x)?0，B?0情形也

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