微积分第四章不定积分习题课

不定积分

高等数学习题课电子教程

哈尔滨工程大学理学院工科数学教学中心

Department of Mathematics, College of Sciences

不定积分

高等数学习题课电子教程主要内容介绍 典型例题选讲 课堂自主练习

Department of Mathematics

不定积分

基 本 概 念熟练掌握的概念原函数、不定积分等 原函数、

理解的概念不定积分的性质

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不定积分

基本计算能力基本积分公式 换元积分法 分部积分法 有理函数的积分 简单的无理函数的积分Department of Mathematics

不定积分

应掌握的定理、性质、公式 应掌握的定理、性质、原函数存在定理 分部积分公式 换元积分公式

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不定积分

怎样计算不定积分？ 怎样计算不定积分？不定积分计算的基本思想： 不定积分计算的基本思想： 求不定积分是求导的逆运算 导数基本公式——积分基本公式 积分基本公式 导数基本公式 微分法——积分法 积分法 微分法 逆运算Department of Mathematics

反想

不定积分

例1

∫

sin2x 4 cos x4

dxd(cos2 x) = 2sin xcos x= ∫2

解

原式 =

∫

2 sin x cos x 4 cos 4 x

d (cos

2

x)2

4 (cos

x )2

cos x )+C = arcsin( 2

例2 解

∫cot x a∫aln sin x

lnsinx

dx

I =

cos x dx = sin x

∫

a ln sin x (ln sin x ) ′dx

= a

∫

ln sin x

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a lnsin x d (ln sin x ) = +c ln a

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练习1 练习=

∫ln( x +

dx 2 2 1 + x ( ln( x + 1 + x )1 + x 2 ) ]′ 1 + x2

1

∫

[ln( x +

dx = 2 ( ln( x +

1 + x 2 )) + c

练习2 练习

∫ 1+ e 2 x

1

dx 2x

2 x e 1 ( 1 + e )′ dx = =∫ 2 x ∫ 1 + e 2 x dx 2 1+ e

1 d(1 + e 2 x ) 1 dx = ln(1 + e 2 x ) + c = ∫ 2 x 2 1+ e 2Department of Mathematics

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练习3 练习

e (1+ sin x) dx. 求∫ 1+ cos xxx

解

x x e (1+ 2sin cos ) 2 2 dx 原式= ∫ 2 x 2cos 2 1 x x x = ∫ (e + e tan )dx 2 2 x 2cos 2 x x x x x x = ∫ [(e d(tan ) + tan de ]= ∫ d(e tan ) 2 2 2x

x = e tan + C. 2 Department of Mathematics

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练习4 练习

∫

1

dy y +1y +1 = t

解： 令2

y = t 12

(

)

2

2( t 1)2t 2 dt = 4( ∫ t 1)dt 原式=∫ t4 3 4 = t 4t = ( 3 3Department of Mathematics

y + 1 ) 4(3

y + 1) + c

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练习5 练习

∫

x 1+ x2 + (1+ x2 )3xdx

dx.

解答： 解答：I=∫ =∫ 1 + x 2 + (1 + x 2 ) 1 + x 2 xdx 1 + x2 1 d (1 + x 2 ) = ∫ 1 + 1 + x2 2 1 + x2 1 + 1 + x2

=∫

d (1 + 1 + x 2 ) 1 + 1 + x2

= 2 1 + 1 + x2 + C

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练习6 练习 解 令

∫

e

3 x

x

sin (e3 x

3

3 x

) dx3 x

u=e

du = e3 x

3 2 x

dx

∫

e3

x

2 1 2 3 2 = ∫ 1 cos u d cos u = cos u cos u + C 3 3 3

(

x

sin (e

3

)

2 3 ) dx = ∫ sin u du 3

2 3 = [cos e 3

x

1 3 3 x cos e ] + c 3

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练习7 练习

7cos x 3sin x 计算 ∫ dx 5cos x + 2sin x5 cos x + 2 sin x + 2 cos x 5 sin x dx ∫ 5 cos x + 2 sin x

7 cos x 3 sin x

解答： 解答： ∫ 5 cos x + 2 sin x dx =

d ( 5 cos x + 2 sin x ) = ∫ dx + ∫ = x + ln 5 cos x + 2 sin x + c 5 cos x + 2 sin x练习8 练习

计算xe x

∫

xe x e 2x

dx ( x > 1)x ex 2 d (e x 2) = 2 x e x 2 2∫ e x 2dx

解答： 解答：∫

ex 2

dx = ∫

ex = 2( x 2) e x 2 + 4 2 arctan 1 + c 2Department of Mathematics

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练习9 练习

dx 计算积分 ∫ 4sin x + 3cos x + 5

x 解答： 解答：令 t = tan , 则 2 1 dt dx ∫ 4 sin x + 3 cos x + 5 = ∫ ( t + 2)2 = x + c tan + 2 2

cos2 x dx 练习10 计算积分 ∫ 练习 1+ sin x cos xcos 2 x 解答： 解答： ∫ 1 + sin x cos x dx =

dx ∫ sec 2 x + tan x 令 u = tan x 则

du 1 1 2 tan x + 1 I=∫ arctan = ln 1 + sin x cos x + +c 2 2 (1 + u + u )(1 + u ) 2 3 3Department of Mathematics

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dx 练习11 计算积分 ∫ 练习 1+ x + 1+ x11 解答： 解答：令 t = xx + x + 1 ,则 8 1 x 解答： 解答： ∫ dx = ∫ dx 4 (1 + x 8 ) 2 4 (1 + 1 8 ) 2 x t4 1 二式相减得： 二式相减得： x = t dx = dt 2 3 2t 1 tan 2t t 4 2 令x = tan t = 11 ∫ sec 4 1 sec tdt x dx 1 t 4 dx 计算积分 ∫ = 4 8 2 t dt 练习12 练习 4

x +1 x =

1 t

∫ 1+

1 2x3 x + 1 + x (1+ ∫ t )( t + 1)x 4 = (arctan 8

1 x 1 x( x + 1) + c = x ln( x + x + 1) + 2 2 2

x )+ c 8 1+ x

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例4

f ( x) f ( x) f ′′( x) 求∫ [ 的值 ]dx 3 f ′( x) f ′ ( x)2

解答： 解答：

∫=

f ( x ) [ f ′2 ( x ) f ( x ) f ′′( x )] dx 3 f ′ ( x)

∫

f ( x ) f ′2 ( x ) f ( x ) f ′′( x ) dx 2 f ′( x ) f ′ ( x)

f ( x) f ( x) ′ =∫ [ ] dx f ′( x ) f ′( x ) f ( x) f ( x) =∫ d f ′( x ) f ′( x ) 1 f ( x) 2 = [ ] +C 2 f ′( x )Department of Mathematics

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2x2 例 5 设 f ( x2 + 1) = ln 2 , x 1 且 f [ ( x)] = ln x ,求： φ( x)dx ∫2( x 2 + 1) 2 f ( x 2 + 1) = ln 2 解答： 解答：由于 ( x + 1) 2

则

2x 2 f ( x ) = ln x 2

2 ( x ) 2 f [ ( x )] = ln = ln x ( x) 2

2 ( x ) 2 2。 x 1) ( = x, ( x ) = 2 x ( x) 2x 1 ∫ φ ( x)dx = 2∫ 2 x dx = 2(ln x 2 + x ) + cDepartment of Mathematics

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恒正， 例 6 设 f (x)的原函数 F(x)恒正，且1 F(0) = 2当 x ≥ 0时，有 f ( x)F( x) = sin x + 2 试求 f (x)2

1 2 解答： 解答： f ( x )F ( x )dx = ∫ F ( x )dF ( x ) = F ( x ) + c1 ∫ 2

又∫

1 1 1 f ( x )F ( x )dx = ∫ (sin x + )dx = ( 2 x sin 2 x ) + c 2 2 2 22

1 F ( x ) = 2 x sin 2 x + c 22

由 F ( 0) = 2 可得 c = 4 ,则

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1 F ( x ) = 2 x sin 2 x + 4 2

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dx 练习12 练习 设 y( x y) = x,求 ∫ x 3y 解答： 解答：设 x y = t ,则 y = x t ,将其带入2

y( x y ) 2 = xt3

中有： 中有：x t )t 2 = x (2 2

t t ( t 3) x= 2 ,y= 2 , dx = 2 dt 2 t 1 t 1 ( t 1)

t 2 ( t 2 3) dt 2 3 2 ∫ t 3t ( t 1) 2 2 t 1 t 1 t 1 1

2 = ∫ 2 dt = ln t 1 + C = ln ( x y ) 2 1 + C t 1 2 2 dx =∫ x 3y 1Department of Mathematics

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练习13 练习

求 m 1, x}dx ax{

∫

解答： 解答：设 f ( x ) = max{1, x } ,则 x f ( x) = 1 x x < 1 -1 ≤ x ≤ 1

由于 f ( x ) 在 ( ∞ ,+∞ )

上连续， x > 1 上连续，所以存在原函数F ( x )x < 1 -1 ≤ x ≤ 1 x>1

x2 + C1 2 F ( x) = x + C2 x2 + C3 2Department of Mathematics

连续， 由于 F ( x ) 连续， 所以必有

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x2 lim+ ( x + C 2 ) = lim ( + C1 ) x → 1 x → 1 2 1 即：C1 C 2 + = 0 2 1 x2 C lim ( x + C 2 ) = lim ( + C 3 ) 即： 2 C 3 + = 0 + x →1 x →1 2 21 令 C = C1 C 2 = C + C3 = C + 1 2 x2 x < 1 +C 2 1 -1 ≤ x ≤ 1 ∫ max{1, x }dx = x + 2 + C 2 x +1+ C x>1 2 Department of Mathematics

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