2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义（教、学案）

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义

一、教材分析

本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.

二．教学目标

1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；

2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；

3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。 三、教学重点难点

重点： 1、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。 难点：平面向量数量积的概念 四、学情分析

我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细

五、教学方法

1．实验法：多媒体、实物投影仪。 2．学案导学：见后面的学案。

3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习

六、课前准备

1．学生的学习准备：预习学案。

2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。。

七、课时安排：1课时

八、教学过程

(一)预习检查、总结疑惑

检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。

（二）情景导入、展示目标。 创设问题情景，引出新课

1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？

期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。

2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？

期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用

3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向

量数量积的物理背景及其含义 （三）合作探究，精讲点拨 探究一：数量积的概念

1、给出有关材料并提出问题3：

（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S， 那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。

（2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空： ①W（功）是 量， ②F（力）是 量， ③S（位移）是 量， ④α是 。

（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?

期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积 2、明晰数量积的定义 （1） 数量积的定义：

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为?，我们把数量 ︱a︱·︱bb︱cos?叫做

a与b的数量积（或内积），记作：a·b，即：a·b= ︱a︱·︱b︱cos?

F α S （2）定义说明：

①记法“a·b”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“? ”代替。 ② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。

（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？

期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量a与b的模有关，还和它们的夹角有关。

（4）学生讨论，并完成下表：

?的范围 a·b的符号 0°≤?<90° ?=90° 0°

例1 ：已知｜a｜＝３，｜b｜＝６，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.

解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝０°， ∴a·b＝｜a｜·｜b｜cos0°＝3×6×1＝18； 若a与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，

∴a·b＝｜a｜｜b｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18； ②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°， ∴a·b＝０；

③当a与b的夹角是60°时，有

a·b＝｜a｜｜b｜cos60°＝3×6×

12＝9

评述： 两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，

当a∥b时，有0°或180°两种可能.

变式：对于两个非零向量a、b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角。

探究二：研究数量积的意义 1.给出向量投影的概念：

如图，我们把│b│cos?（│a│cos?） 叫做向量b在a方向上（a在b方向上）的投影， 记做：OB1=︱│b│︱cos?

2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？

期望学生回答：数量积a·b等于a的长度︱a︱与b在a的方向上的投影 ︱b︱cos? 的乘积。

3. 研究数量积的物理意义

请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积 。

探究三：探究数量积的运算性质 1、提出问题6：

比较︱a·b︱与︱a︱×︱b︱的大小，你有什么结论？ 2、明晰：数量积的性质 设a和b都是非零向量，则

3.数量积的运算律

（1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？

预测：学生可能会提出以下猜想： ① a·b= b·a ② （a·b）c=a (b·c) ③（a + b）·c =a·c +b ·c （2）、分析猜想：

猜想①的正确性是显而易见的。

关于猜想②的正确性，请同学们先来讨论：猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？

期望学生回答：左边是与向量c共线的向量，而右边则是与向量a共线的向量，显然在向量c与向量a不共线的情况下猜测②是不正确的。 （3）、明晰：数量积的运算律：

3、︱a·b︱≤︱a︱×︱b︱ 2、当a与b同向时，︱a·b︱=︱a︱︱b︱；当a与b反向时， 2︱a·b︱= -︱a︱︱b︱， 特别地，a·a=︱a︱或︱a︱=a?a 1、a⊥b a ·b=0

已知向量a、 b、c和实数λ，则： （1）a·b= b·a （2）（λa）·b=λ（a·b)= a·（λb） （3）（a + b）·c=a·c +b ·c 例2、（师生共同完成）已知︱a︱=6，︱b︱=4, a与b的夹角为60°，求

（a+2b ）·（a-3b），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？

解：（a+2b ）·（a-3b）=a.a-3a.b+2a.b-6b.b =36-3×4×6×0.5-6×4×4

= -72

评述：可以和实数做类比记忆数量积的运算律

变式：（1）(a+b)2=a2+2a·b+b2

（2）(a+b )·(a-b)= a—b

（四）反思总结，当堂检测。

教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。

设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录） （五）发导学案、布置预习。

我们已经学习平面向量数量积的物理背景及含义，那么，在下一节课我们一起来学习数量积的坐标运算。模。夹角。这节课后大家可以先预习这一部分，着重分析坐标的作用

设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。

九、板书设计 平面向量数量积的物理背景及其含义 一、 数量积的概念 二、数量积的性质 四、应用与提高 十、教学反思 概念： 例1： 1、本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课2、 概念强调 （1）记法 例2： 堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，（2）“规定” 三、数量积的运算律 3、几何意义： 最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。我首先安排让学生讨2

2

4、物理意义： 论影响数量积结果的因素并完成表格，其次将数量积的几何意义提前，这样使学生从代数和 几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。通过尝试练习，一方面

使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现，为了让学生很好的完成这两个探究活动，我始终按照先创设一定的情景，让学生去发现结论，教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。

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