2014高考立体几何易错题集

立体几何易做易错题选

一、选择题：

1．在正方体ABCD-A1B1C1D1,O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM( )

A 是AC和MN的公垂线 B 垂直于AC但不垂直于MN

C 垂直于MN，但不垂直于AC D 与AC、MN都不垂直

正确答案：A 错因：学生观察能力较差，找不出三垂线定理中的射影。

2．已知平面 ∥平面 ，直线L 平面 ,点P 直线L,平面 、 间的距离为8，则在 内到点P的距离为10，且到L的距离为9的点的轨迹是（ ）

A 一个圆 B 四个点 C 两条直线 D 两个点

正确答案：B 错因：学生对点线距离、线线距离、面面距离的关系不能灵活掌握。

3．正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹（ ）

A 线段B1C B BB1的中点与CC1中点连成的线段

C 线段BC1 D CB中点与B1C1中点连成的线段

正确答案：A 错因：学生观察能力较差，对三垂线定理逆定理不能灵活应用。

4．给出下列命题：①分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线②同时与两条异面直线垂直的两直线不一定平行③斜线b在面α内的射影为c，直线a⊥c，则a⊥b④有三个角为直角的四边形是矩形，其中真命题是( )

正确答案：①

错误原因：空间观念不明确，三垂线定理概念不清

5．已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有( )

A、7 B、8 C、9 D、10

正确答案：A 错误原因：4+8—2=10

6．下列正方体或正四面体中，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是( ) S Q R Q P S Q S D C B A

正确答案：D 错误原因：空间观点不强

7． a和b为异面直线，则过a与b垂直的平面( )

A、有且只有一个 B、一个面或无数个 C、可能不存在 D、可能有无数个 正确答案：C 错误原因：过a与b垂直的夹平面条件不清

8．给出下列四个命题：

（1）各侧面在都是正方形的棱柱一定是正棱柱.

（2）若一个简单多面体的各顶点都有3条棱，则其顶点数V、面数F满足的关系式为2F－V=4.

（3）若直线l⊥平面α，l∥平面β，则α⊥β.

（4）命题“异面直线a、b不垂直，则过a的任一平面与b都不垂直”的否定.

其中，正确的命题是

A．（2）（3） B．（1）（4） C．（1）（2）（3） （ ） D．（2）（3）（4）

正确答案：A

9．如图，△ABC是简易遮阳棚，A，B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太

阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成

的角应为（ ）

A．75° B．60° C．50° D．45°

正确答案：C

10．一直线与直二面角的两个面所成的角分别为α，β，则α+β满足（ ）

A、α+β<900 B、α+β≤900 C、α+β>900 D、α+β≥900

答案：B

点评：易误选A，错因：忽视直线与二面角棱垂直的情况。

11．在正方体AC1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A1B成300角的平面的个数为（ ）

A、2个 B、4个 C、6个 D、8个

答案：B

点评：易瞎猜，6个面不合，6个对角面中有4个面适合条件。

12．△ABC的BC边上的高线为AD，BD=a，CD=b，将△ABC沿AD折成大小为θ的二面角B-AD-C，若

a，则三棱锥A-BCD的侧面三角形ABC是（ ） b

A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、形状与a、b的值有关的三角形 答案：C

点评：将平面图形折成空间图形后线面位置关系理不清，易瞎猜。 cos

13．设a，b，c表示三条直线， , 表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（ ）。

(a)c ，若c ，则 // (b)b ，c ，若c// ，则b//c

(c)b ，若b ，则 (d)b ，c是 在 内的射影，若b c，则b

正解：C

C的逆命题是b ,若 ，则b a显然不成立。

误解：选B。源于对C是 在 内的射影理不清。

14． 。 和 是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面 和 平行的是（ ）

a 和 都垂直于平面 b 内不共线的三点到 的距离相等

c l,m是 平面内的直线且l// ,m// d l,m是两条异面直线且l// ,m// ,m// ,l//

正解：D

对于A, , 可平行也可相交；对于B三个点可在 平面同侧或异侧；对于C,l,m在平面 内可平行，可相交。

对于D正确证明如下：过直线l,m分别作平面与平面 , 相交，设交线分别为l1,m1与l

2,m2，由

已知l// ,l// 得l//l1,l//l2，从而l1//l2，则l1// ，同理m1// ， // 。

误解：B

往往只考虑距离相等，不考虑两侧。

15． 已知AB是异面直线的公垂线段，AB=2，且a与b成30角，在直线a上取AP=4，则点P到直线b的距离是（ ）。

A. 22 B. 4 C. 2 b

D. 22或2

正解：A。过B作BB’∥a，在BB’上截取BP’=AP，连结PP’，过P’作P’Q b连结PQ， PP’ 由BB’和b所确定的平面， PP’ b

PQ即为所求。在Rt PQP’中，PP’=AB=2,P’Q=BP’,sin P'BQ=AP sin30 =2,

PQ=2。

误解：D。认为点P可以在点A的两侧。本题应是由图解题。

16．若平面 外的直线a与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是 （ ）

（A）(0,

2) （B）[0,

2) （C）(0,

2] （D）[0,

2]

错解：C

错因：直线在平面 外应包括直线与平面平行的情况，此时直线a与平面 所成的角为0

正解：D

17．如果a,b是异面直线，P是不在a,b上的任意一点，下列四个结论：（1）过P一定可作直线L与a , b都相交；（2）过P一定可作直线L与a , b都垂直；（3）过P一定可作平面 与a , b都平行；（4）过P一定可作直线L与a , b都平行，其中正确的结论有（ ）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

答案：B

错解：C 认为（1）（3）对 D 认为（1）（2）（3）对

错因：认为（2）错误的同学，对空间两条直线垂直理解不深刻，认为作的直线应该与a,b 都垂直相交；而认为（1）（3）对的同学，是因为设能借助于两个平行平面衬托从而对问题的分析欠严密。

18．空间四边形中，互相垂直的边最多有（ ）

A、1对 B、2对 C、3对 D、4对

答案：C

错解：D 错因：误将空间四边形理解成四面体，对“空间四边形”理解不深刻。

19．底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是

A、一定是正三棱锥 B、一定是正四面体 C、不是斜三棱锥 D、可能是斜三棱锥

正确答案：（D）

错误原因：此是正三棱锥的性质，但很多学生凭感觉认为如果侧面是等腰三角形，则侧棱长相等，所以一定是正三棱锥，事实上，只须考察一个正三角形绕其一边抬起后所构成的三棱锥就知道应选D

20．给出下列四个命题：

（1） 各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱

（2） 若一个简单多面体的各顶点都有三条棱，则其顶点数V，面数F满足的关系式为2F-V=4

（3） 若直线L⊥平面α，L∥平面β，则α⊥β

（4） 命题“异面直线a,b不垂直，则过a的任一平面和b都不垂直”的否定，其中，正确的命题是 （ ）

A、（2）（3） B、（1）（4） C、（1）（2）（3） D、（2）（3）（4）

正确答案：（A）

错误原因：易认为命题（1）正确

二填空题：

1. 有一棱长为a的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大（仍保持为球的形状），则气球表

面积的最大值为__________.

错解：学生认为球最大时为正方体的内切球，所以球的直径为a，球的表面积为 a。这里学生未能弄

，所以正确答案为：2 a。

2. 已知正三棱柱ABC ABC底面边长是10，高是12，过底面一边AB，作与底面ABC成60角的截面

面积是___________________。

错解：

。学生用面积射影公式求解：S底 111022S100 S截＝底0 。错误原因是

4cos60

没有弄清截面的形状不是三角形而是等腰梯形。正确答案是：

3. 过球面上两已知点可以作的大圆个数是_________个。

错解：1个。错误原因是没有注意球面上两已知点与球心共线的特殊情况，可作无数个。

正确答案是不能确定。

4. 判断题：若两个平面互相垂直，过其中一个平面内一点作它们的交线的垂线，则此直线垂直于另一个平

面。

正确。错误原因是未能认真审题或空间想象力不够，忽略过该点向平面外作垂线的情况。正确答案是本题不对。

5. 平面 外有两点A,B，它们与平面 的距离分别为a,b，线段AB上有一点P，且AP:PB=m:n，则点P到

平面 的距离为_________________. na mb。错误原因是只考虑AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面两测的情况。正确答案m n

na mbmb na是：。 或| m nm n错解为：

6. 点AB到平面 距离距离分别为12，20，若斜线AB与 成30的角，则AB的长等于_____.

错解：16. 错误原因是只考虑AB在平面同侧的情形，忽略AB在平面两测的情况。正确答案是：16或64。

7. 判断若a,b是两条异面直线，p为空间任意一点，则过P点有且仅有一个平面与a,b都平行。

错解：认为正确。错误原因是空间想像力不行。忽略P在其中一条线上，或a与P确定平面时恰好与b平行，此时就不能过P作平面与a平行。

8．与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有______个。

正确答案：7个

错误原因：不会分类讨论

9．在棱长为1的正方体ABCD——A1B1C1D1中，若G、E分别为BB1，C1D1的中点，点F是正方形ADD1A1的中心，则四边形BGEF在正方体六个面上的射影图形面积的最大值为________。 0

正确答案： 1 2

错误原因：不会找射影图形

10．△ABC是简易遮阳板，A、B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为使遮阴的阴影面ABD面积最大，遮阳板ABC与地面所成角应为_________。

正确答案：50°

错误原因：不会作图

11．平面α与平面β相交成锐角θ，面α内一个圆在面β上的射影是离心率为1的椭圆，则角θ等于_______。 2

正确答案：30°

错误原因：分析不出哪些线段射影长不变，哪些线段射影长改变。

12．把半径为r的四只小球全部放入一个大球内，则大球半径的最小值为__________。

正确答案：(6 1)r 错误原因：错误认为四个小球球心在同一平面上 2

13． AB垂直于 BCD所在的平面，AC ,AD ,BC:BD 3:4，当 BCD的面积最大时，点

A到直线CD的距离为。正确答案：

14．在平面角为600的二面角 l 内有一点P，P到α、β的距离分别为PC=2cm，PD=3cm，则P

到棱l的距离为____________ 13 5

2cm 3

点评：将空间问题转化为平面问题利用正弦定理求解，转化能力较弱。

15．已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、PC两两垂直，D是底面三角形内一点，且∠DPA=450，∠DPB=600，

则∠DPC=__________

答案：600

点评：以PD为对角线构造长方体，问题转化为对角线PD与棱PC的夹角，利用cos2450+cos2600+cos2

α=1得α=600，构造模型问题能力弱。

16．正方体AC1中，过点A作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角都相等，试写出满足条件

的一个截面____________

答案：面AD1C

点评：本题答案不唯一，可得12条棱分成三类：平行、相交、异面，考虑正三棱锥D-AD1C，易瞎猜。 答案：

17．自半径为R的球面上一点P引球的两两垂直的弦PA、PB、PC,则PA PB PC=_____。

正解:4R,可将PA,PB,PC看成是球内接矩形的三度,则PA PB PC应是矩形对角线的平方,即球直径的平方。

误解：没有考虑到球内接矩形，直接运算，易造成计算错误。

18．直二面角α－l－β的棱l上有一点A，在平面α、β内各有一条射线AB，AC与l成450，AB ,AC ，则∠

2222222

错解：600

错因：画图时只考虑一种情况

正解：600或1200

19．直线l与平面α成角为300，l A,m ,A m则m与l所成角的取值范围是

错解：[ 300 , 1200]

错因：忽视两条直线所成的角范围是[0,90]

正解：[ 300 , 900]

20．若AB的中点M到平面 的距离为4cm，点A到平面 的距离为6cm，则点B到平面 的距离_____cm。 错解：2

错因：没有注意到点A、B在平面 异侧的情况。

正解：2、14

21．已知直线L∩平面 =O，A、B∈L，OA= 4 ，AB 8；点A到平面 距离为1，则点B到平面 的距离为 。

答案：1或3

错解：3

错因：考虑问题不全面，点A，B可能在点O的同侧，也可能在O点两侧。

22．异面直线a , b所成的角为60 ，过空间一定点P，作直线L，使L与a ,b 所成的角均为60 ，这样的直线L有 条。

答案：三条

错解：一条

错因：没有能借助于平面衬托，思考问题欠严谨。过P作a //a,b //b,由a ,b 确定一平面 ，画a ,b 相交所成角的平分线m、g，过m, g分别作平面 的垂面 , ，则在 , 中易找到所求直线共有3条。

23．点P是 ABC所在平面外一点，且P在 ABC三边距离相等，则P点在平面ABC上的射影是 ABC的 心。

答案：内心或旁心

错解：内心

错因：P在平面ABC内的正射影可能在 ABC内部，也可能在 ABC外部。

24．四面体的一条棱长为x，其它各棱长为1，若把四面体的体积V表示成x的函数f(x)，则f(x)的增区间为 ，减区间为 。 00

6正确答案：（0，2 3 ， 2

错误原因：不能正确写出目标函数，亦或者得到目标函数以后，不能注意x的隐藏范围。

25．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AD的中点，则点A1到平面为EF的距离为 正确答案：2 3

错误原因：不少学生能想到用等积法解，但运算存在严重问题。

26．点P在直径为2的球面上，过P作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和为最大值是

正确答案：2 5

错误原因：找不到解题思路

三、解答题：

1. 由平面 外一点P引平面的三条相等的斜线段，斜足分别为ABC，O为⊿ABC的外心，求证：OP 。

错解：因为O为⊿ABC的外心，所以OA＝OB＝OC，又因为PA＝PB＝PC，PO公用，所以⊿POA，⊿POB，⊿POC都全等，所以 POA＝ POB＝ POC＝RT ，所以OP 。

错解分析：上述解法中 POA＝ POB＝ POC＝RT ，是对的，但它们为什么是直角呢？这里缺少必要的证明。

正解：取BC的中点D，连PD，OD， PB PC,OB OC, BC PD,BC OD, BC 面POD, BC PO,

同理AB PO， PO .

2. 一个棱长为6cm的密封正方体盒子中放一个半径为1cm的小球，无论怎样摇动盒子，求小球在盒子不能

到达的空间的体积。

错解：认为是正方体的内切球。用正方体的体积减去内切球的体积。

错误原因是空间想像力不够。

正解：在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：8[1 (314 34 1)] 8 ，833除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个1 1 4的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为

1[1 1 4 ( 12) 4] 48 12 。其他空间小球均能到达。故小球不能到达的空间体积为：4

440(8 ) 48 12 56 (cm3)。 33

3．斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为a的正三角形，侧棱长等于b，一条侧棱AA1与底面相邻两

边AB、AC都成450角，求这个三棱柱的侧面积。

解：过点B作BM⊥AA1于M，连结CM，在△ABM和△ACM中，∵AB=AC，∠MAB=∠MAC=450，

MA为公用边，∴△ABM≌△ACM，∴∠AMC=∠AMB=900，∴AA1⊥面BHC，即平面BMC为直截面，又BM=CM=ABsin450=

=(1+2)ab

点评：本题易错点一是不给出任何证明，直接计算得结果；二是作直截面的方法不当，即“过BC作平

面与AA1垂直于M”；三是由条件“∠A1AB=∠A1AC ∠AA1在底面ABC上的射影是∠BAC

的平分线”不给出论证。

4．如图在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知底面ABC是底角等于30，底边AC=4的等腰三角形，且22a，∴BMC周长为2xa+a=(1+2)a，且棱长为b，∴S22侧B'C AC,B'C 22，面B'AC与面ABC成45 ，A'B与AB'交于点E。

1) 求证：AC BA'；

2) 求异面直线AC与BA'的距离；

3) 求三棱锥B' BEC的体积。

正解：①证：取AC中点D，连ED，

E是AB'的中点， 'C 2 B'C AC, DE AC

又 ABC是底角等于30 的等腰 ，

BD AC,BN DE D

AC 面BDE, AC BE,即AC BA'

②解：由①知 EDB是二面角B' AC B的一个平面角，

EDB＝45 ，ED 2,BD ADtan30 23

在3 2 3

DBE中：EB2 ED2 BD2 2ED BDcos45 2 4 22 2 22 EB 2, BDE是等腰Rt ,ED BE,ED是异面直线AC与BA'的距离，为2 ③连A'D,ED EA' ED 2, A'D BD,又AC 面BED， A'D 面BED, A'D AC, A'D 面ABC且A'D 2

1118VB' ABC S ABC A'D (BD AC) A'D 3 3323

114VB' BEC VC BEB' VC ABB'' VB' ABC' 3 223

误解：求体积，不考虑用等积法，有时，硬算导致最后错解。

5．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4,M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M点的最短路线长为29，设这条最短路线与C1C的交点为N。求

4) 该三棱柱的侧面展开图的对角线长；

5) PC和NC的长；

6) 平面NMP和平面ABC所成二面角（锐

角）的大小（用反三角函数表示）

正解：①正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是一

个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为

92 42

②如图

1

，将侧面BC1旋转120使其与侧面AC1

在同一平面上，点P运动到点P1的位置，连接MP1，则MP1就是由点P沿棱柱侧面经过CC1到点M的最短路线。

设PC＝x，则P1C＝x，

在Rt MAP3＋x) 2 29,x 2 1中，（22

MCP1C24 , NC MAP1A55

③连接PP（如图2），则PP1就是NMP与平面ABC的交线，作NH PP又CC1 平面ABC，11于H，连结CH，由三垂线定理得，CH PP1。

NHC就是平面NMP与平面ABC所成二面角的平面角。

在Rt PHC中， PCH

1 PCP1 60, CH 12

NC4 CH5在Rt NCH中，tan NHC

误解：①不会找29 的线段在哪里。

②不知道利用侧面BCC1 B1展开图求解。

③不会找二面角的平面角。

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