整式教学探讨 - 3

整式教学探讨

——人教版第十五章

东胜区教研中心 曹燕

一、本章教材整体分析

1、教学内容及地位

第十五章整式属于《数学课程标准》四大领域中 “数与代数”中的内容，其核心知识是：整式四则运算和因式分解。在这一章，要让学生了解整式的概念，继而学会简单的整式加减乘除运算以及用提公因式法、公式法两种方法分解因式。这些知识是在以前学习了有理数运算、列简单的代数式和一次方程以及不等式的基础上引进的，也是以后学习分式和根式运算、一元二次方程以及函数等知识的基础，同时又是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学工具，因此，本章在初中学段占有重要地位。

2、教学目标 《课准》总目标 目标1：了解整式的概念 人教材具体目标 目标1：理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别和联系。 目标2：会进行简单的整式加、目标2：（1）在理解同类项概念的基础上，掌握合并同减运算 类项的方法，掌握添括号的法则，能正确地进行同类项的合并和去括号与添括号。 （2）会进行整式的加、减运算。 目标3：会进行简单的整式乘法目标3：会进行简单的整式乘法运算 运算（其中的多项式相乘仅指一 次式相乘） 目标4：会推导乘法公式： 目标4：会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公(a+b)(a－b)=a2－b2；式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算。 (a+b)2=a2+2ab+b2，了解公式的 几何背景，并能进行简单计算 目标5：会用提公因式法、公式目标5:理解因式的意义并感受分解因式与整式乘法是法（直接用公式不超过二次）分相反方向的变形，掌握提公因式法和运用公式法（直解因式（指数是正整数） 接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解分解因式的一般步骤,能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解。 目标5.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算率与乘法公式简化运算。 目标解析:

⑴《课准》总目标与人教材具体目标整体要求偏低,建议从两个方面把握：

①《课标》是由国家教育部制订的，教材的版本可以不同，但《课标》是同一个，从中考角度讲，中考内容一定不能超出《课标》要求的范围，因此应以《课标》为准绳把握教学目标。

②《课标》是国家对义务教育阶段数学课程的基本规范和要求，它只规定了学生在相应学段应该达到的最低、最基本的要求，因此又要根据学生的具体情况和教材编写的特点，提出不同层次的教学目标。 ⑵ 解析每个目标

①目标1中学习整式有关概念的目的归结到底是为整式运算服务的，如果对单项式、多

项式、整式等概念没有准确的理解，就不能准确地进行整式运算，因此选定人教材目标（理解和掌握这一较高要求）。

②目标2，教材中增加了同类项、合并同类项及其添、去括号的目标要求，实际上，整式加减的关键是化简整式，而化简的主要方法是合并多项式中的同类项，因此，合并同类项是本章重点，人教版中加入这一具体目标非常必要，在中考中，同类项是一个考查热点。教材中对整式加、减、乘运算都比《课标》中的要求高，因此课本上编拟的题目难度已足够，不要再随意加深，学生掌握算理就可以了。

③目标3中《课标》对整式乘法运算的要求——其中的多项式相乘仅指一次式相乘，是对多项式与多项式相乘的难度作一个要求，如计算：(x2+1)(x+2)则是超课标了，因此以《课标》为准。

③目标4中对乘法公式的要求不仅是能利用公式进行（简单）的乘法运算，更要引起老师们注意的是，目标要求会“推导”乘法公式，因此在教学中要从代数、几何多个角度出发推导公式。

④目标5中，《课标》要求：会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）分解因式（指数是正整数）。首先初中阶段对分解因式只要求掌握两种方法，即对于旧大纲中另外两种方法分组分解法和十字相乘法则不做要求；其次，直接用公式不超过二次，如把多项式a8-1分解因式则是超课标了；最后，多项式中的字母指数仅限于正整数的情况，不考虑指数是负数，分数或字母的情况，如把多项式a-4-1或多项式an-an+1+an+2分解因式的题目一律不要求。另外，教材（熟练地运用）比课标（会应用）中的目标提出更高要求，建议老师们根据自己学生的情况进行分层目标要求。

③

①

②

3、本章教学重点、难点

本章教学重点是整式四则运算和因式分解的两种基本方法，教学难点进行整式的四则运算，熟练掌握因式分解的两种方法和变形技巧。

4、学法教法探讨

⑴把握教学要求，加强知识之间的联系

在本章教学中，要切实把握教学要求,防止随意拓宽内容和加深题目的难度,避免因

要求过高而挫伤了学生学习的积极性。建议在教学中，面向全体以《课标》目标为准则把握教学，而教材中增加或加深的目标只为部分学有余力的学生准备。

在整式运算的教学中，要强调运用“数”的运算律，通过对数与式的联系与分析，使学生理解由“特殊（具体）到一般（抽象），又由一般到特殊”这一对事物的一种重要认识过程，培养学生初步的辨证唯物主义观点，将整式的乘法和因式分解安排在同一章，也是为了加强他们之间的联系。

⑵改变教学方式，加强学生的自主活动

本章概念多，知识点细，教学中，要设置合理的问题情境，引导学生观察、思考、探究和归纳。要鼓励学生自学整式中的有关概念，通过典型练习题的设置，让学生去判断、辨析，最后总结概括，使学生能准确理解相关概念。《课标》中最基本的理念是以人为本，教师一定要改变满堂灌的陈旧教学方式，把课堂还给学生，要试着改变自己的角色，你会对学生有新的认识，也许还会有意想不到的收获。

⑶适时渗透数学思想方法

本章主要涉及的数学思想方法有：类比思想、一般到特殊再到一般的基本数学思想、转化思想、数形结合思想、分类讨论思想。

二、逐节进行分析（分四部分进行）

对章前引言内容应给予一定重视

一般地，章节前面的引言内容是一章的主线，是本章主要内容的经典浓缩，教学中，我们要给予一定重视。第十五章“整式”以实际背景“长方形绿地”切入，引出数学问题“整式运算和因式分解”，即本章的核心知识，进而指出只有学习了本章知识，才能解决前面提到的实际问题，体现出“知识来源于生活，最后又应用于生活”的一般认识规律。但需注意课堂时间的把握，建议引言部分不要超过五分钟，以防冲淡本节课的重点。

第一部分 整式的加减

教学重点 熟练进行合并同类项 教学难点 1.合并同类项 2.去括号

教学关键 使学生明确整式加减的作用是把整式“化简”，而化简的主要方法是合并多

项式中的同类项。

课时建议 本节内容概念多，知识点多，属于《课标》中重点要求的内容，建议增加课时，共安排

4课时。单项式相关概念1节，多项式相关概念1节，同类项的概念及合并同类项1节，去括号及整式加减的应用1节。

教学建议一：结合人教版《新实验教材》七年级上册第二章整式的加减进行教学

人教版《数学实验教材》于2007年6月完成了第一次修改，并于今年秋季开始试行，也即我区初一年级开始使用本套教材，与旧教材相比，新教材符合学生的认知规律，能更好地落实《课标》目标。如在七年级上册第二章“一元一次方程”之前特意增加了一章“整式的加减”内容，这就为学习一元一次方程做了很好的铺垫。而新教材中“整式的加减”与旧教材第十五章整式 中“15.1整式的加减”的内容相比，有明显优势且教师易于操作。如新教材中，单项式概念后面紧跟着相应的例题和练习（即把旧教材164页练习 1提前），对单项式概念有了一定认识的基础上再学习多项式，做到目标的逐一落实，而旧教材中多项式概念后面没有配备相应例题，可选用新教材七年级上册57页例2.加以充实，15.1.2整式的加减可直接改用新教材七上2.2整式的加减(内容包括合并同类项、去括号以及整式的加减运算)，因为新教材中无论是问题情境的导入，还是例题、习题的梯度都有较合理的配置，并把“合并同类项”这一重点知识与“去括号和添括号”这一难点内容分成两部分逐一突破，学生易于接受，教师易于操作，目标易于实现。

建议二: 把主动权还给学生，真正体现学生的主体地位

1.教师设置情境,让学生参与进来。

在学习单项式（多项式）的有关概念后，可以设置问题：请同学们举出几个单项式（多项式）的例子，并试着求其系数和次数；在合并同类项时，设置问题：请写出两个是同类项的单项式，并把这两个单项式相加，进而合并同类项。新教材七上63页 如何化简式子“100t+252t”中，可让学生自己先给“t”赋值并计算，通过一定量的练习自然引出分配律的运用，进而归纳出合并同类项的方法（教学时，学生亲自动手后，可组织学生进行组内交流讨论，教师参与指导并注意控制难度）。总之，开放型问题的设置，让学生用自己举的例子学习新知，不仅激发学生极大的兴趣和动力，更有利于培养

学生独立思考问题和归纳、抽象概括问题的能力。

2.尝试使用题组教学法

建议三：将概念分解，呈现知识的形成过程

在教学中,要把握《课标》,以教科书为基础，探讨知识发生的过程，并和学生一起研究如何由具体到抽象概括得到性质、法则、概念以及公式，这将有利于让学生领会到数学的基本思想和方法。 知识1：学习单项式的有关概念 （1）设置问题情境：

思考1：先填空，再看看列出的式子有什么特点 (1)(新增)一辆汽车的行驶速度是100千米/时，

①行驶2小时所走过的路程为100×2千米.（用算式表示） ②行驶t小时所走过的路程为100t千米.

(2) 一辆汽车的行驶速度是v千米/时，行驶t小时所走过的路程为vt千米. (3)如图15.1—1（162页，已知正方体边长为a）,则其表面积为6a2,体积为a3. 注: 设计问题时，尽量选数与字母相乘的运算特征明显的,课本P162思考的（4）- n乘法运算的特征不够明显，建议删去。 （2）单项式概念的理解 从两个方面把握:①数或字母的积

数与数的积 数与字母的积 字母与字母的积

②单独的一个数或字母也是单项式.

（3）单项式的系数与指数概念的突破 设置典型练习:指出下列单项式的次数和系数 ①x ②-y ③-2xy2 ④x2y3z ⑤34x3⑥2? 知识2：合并同类项（需抓好三个关键环节） 1、 掌握同类项的概念，会识别同类项；

同类项的概念把握：①所含字母相同，并且②相同字母的指数也相同的项；③几个常数项也是同类项。

23

(1)将概念中的几个要点逐一把握

观察：3x2与2x2；3ab2与-4ab2在结构上有哪些相同点和不同点？(借助多媒体动画演示观察同类项的系数、字母、相同字母的指数的特征)

总结：是否是同类项与项的系数无关，只与字母及其指数有关。 (2)判断下列两个单项式是否是同类项

①2x2y与-x2y; (是) ②3a3b2c与a3b2;(否,不符合①) ③x2y与5xy5 (否,不符合②) ④-x2y与5xy2;(否,不符合②) ⑤-2x2y与5yx2;(是,运用运算律)

2、明确合并同类项的目的是为了“化简”，即减少多项式的项数；

3、明确“合并”是指同类项中的系数的加减，保持同类项的字母和字母的指数不变。 展示易错点：①关注整式的加减与数的加减的区别. 如： 5x-2x与5-2的区别是什么？ 5x-2x

=（x + x + x + x + x）-（x + x ） =3x

整式的加减——合并同类项

尝试题组教学法模式

目标1．引入同类项的概念并呈现合并同类项法则的形成过程

题组一：一辆客车先以80千米/时的速度行驶了2小时，接着又以100千米/时的速度又行驶了2小时

（1）这辆客车通过的全部路程为 ． （2）若把题设中的时间改为4.5小时，则通过的全部路程为 ． （３）若时间改为t小时，则通过的全部路程为 ．

总结提炼：上述问题（3），有两种列式：80×t+100×t和（80+100）×t；由分配律可知：80×t+100×t =（80+100）×t. 题组二：填空：

5-2

=3

这一区别要

讲到位!!!

=（1+1+1+1+1）-(1+1)

(1)3x2+2x2= . (2)3ab2-5ab2= . (3)-2a2b3+5a2b3= . (4)2a+3b= . 总结提炼：(1)、(2)、(3)题应用分配律的倒用进行化简，而(4)不能化简. 目标2.掌握同类项的概念

学生讨论:上面题组二中能够进行化简的多项式中的项具有哪些共同点和不同点(要给学生留有充足的时间).

自学课本64页第二段内容,完成下面的填空:

所含 相同,并且 的项叫做同类项. 练习1、每位同学举出一组是同类项的几个单项式(写在黑板上) 练习2、判断下列两个单项式是否是同类项

①2x2y与-x2y; (是) ②3a3b2c与a3b2;(否,不符合①) ③x2y与5xy5 (否,不符合②) ④-x2y与5xy2;(否,不符合②) ⑤-2x2y与5yx2;(是,运用运算律)

总结提炼：同类项的概念把握：①所含字母相同，并且②相同字母的指数也相同的项；③几个常数项也是同类项。 目标3：利用同类项法则合并同类项

填空：合并同类项的方法： “合并”是指同类项中的系数的加减，保持同类项的字母和字母的指数不变。

练习1、黑板上列出的同类项相加，然后合并同类项 练习2、求多项式2x2-5x+x2+4x-3x2-2的值，其中x=． 总结提炼：合并同类项的目的是为了“化简”，即减少多项式的项数；

知识3．去括号的把握：去括号时，由于需要注意的问题较多，因此，学生容易出现顾此失彼的现象，因此，教师在讲解时要强调：首先确定“符号”，其次要乘以括号中的“每一项”，再配以典型练习加以巩固，注意把握练习题的难度，开始时最好每个题针对一个小问题，避免累积错误。

12第二部分 幂的乘除运算性质

教学目标 （教材新增）掌握正整数幂的乘除运算性质，能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。 教学重点 运用幂的四个运算性质进行简单的计算 教学难点 1、幂的乘方运算性质的推导

2、熟练运用幂的四个运算性质进行简单的计算

教学关键 在学生理解的基础上，准确记忆四个运算性质的结构特征

课时建议：共安排３课时.15.2.1～15.2.3整式的乘法(2课时) ，15.4整式的除法(1课时) 建议一：幂的意义要复习到位

关于底数、指数、幂的概念，尤其是幂的意义是学习幂的四个运算性质的基础，而这些概念是在有理数的乘法中学习的，储存知识的时间过长，学生可能遗忘。因此，在讲解之前，幂的意义一定要复习到位。

复习：an 表示的意义是什么？其中a、n、an分 别叫做什么?

幂

底数 a n指数

n个a ?

幂的意义：a·a· ·a = an

建议二：同底数幂相乘要分析到位 根据乘方的意义可以知道: 问题1： 1012×103

=(10×?×10)×(10×10 ×10)

12个10 3个10 =(10×10×?×10) 15个10 =1015

问题2：a×a= 问题3：a×a=

m

n

12

3

易 繁

易

感受由特殊情况获得经验，推广到一般情况的探究模式

建议三：注重思想与方法的渗透

1、由特殊到一般的思想方法.如：运算性质的推导过程。

2、类比思想..由同底数幂的乘法性质的探索过程，类比得到幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法性质的探索过程。通过类比，可引导学生自主完成后三个性质的推导和应用。

3、转化思想，体会“新知转化为旧知”，“化易为繁，化繁为易”的化归思想。 建议四：注重学法指导的教学 幂的四个运算性质的记法

实数有三级运算:一级运算(加、减运算)，二级运算(乘、除法运算)以及三级运算(乘方、开方运算)。幂的运算性质有这样的规律，其运算往往归结到它的指数的运算，规律是指数的运算恰好比幂的运算“相应”降一级，如同底数幂的乘法运算（am·an=am+n），其结果指数运算降一级，成为加法运算；幂的乘方运算（(am)n=amn,），其结果指数降为乘法运算；幂的除法运算（：am÷an=am-n）,其结果指数降为减法运算，以及高中将要学到的幂的开方运算（am=am/n），其结果指数降为除法运算。总之，“相应”是指乘

n方降为乘法再降为加法；开方降为除法 再降为减法。

第三部分 整式的乘除

教学目标 （新增）使学生理解单项式乘以（或除以）单项式、多项式乘以（或除以）单项式以及多项式乘以多项式的法则，并运用它们进行运算 教学重点 1、会进行简单的整式乘除法运算；

2、能熟练应用乘法公式进行运算

教学难点 乘法公式的灵活应用 教学关键 准确把握公式的结构特征

课时建议 共安排５课时．15.2.4整式的乘法(2课时) ，15.3乘法公式(２课时) 习题课

(１课时)

建议一：进行教材的重新整合

设计问题情境：两个整式相乘，参与运算的整式有几种情况？

答： 根据整式的概念和运算律，两个整式相乘有三种情况：单×单，单×多，多×多； 建议二：渗透思想方法 通过分类讨论思想，让学生有条理的对整式运算的几种情况分析归类，做

到不重不漏，渗透化归思想 再次体会“新知转化为旧知”，“化易为繁，化繁为易”的化归思想.。

新知 旧知

多×多 单×多 单×单 同底数幂相乘 整式加减（化简） 易 繁 易 建议三：进行学法指导

1、 整式乘法法则的理解与记忆 情境设计 胡锦涛一行出国访问的实况片段，引出两个团体的

人如何握手，才能保证“握手”不重不漏，从而引出单项式乘以多项式、多项式乘以多项式法则的记法。

2、 检查“漏项”的办法 两个多项式相乘，在没有合并同类项之前，积的项数应该是这两个多

项式项数的积。如 (m+n)(a+b+c)= ,积的项数是2×3=6，即六项 ma+mb+mc+na+nb+nc。

3、 关注计算过程，提高计算的准确程度 防止学生跳步 ，练习时，可以多花些时间，让小组

互相检查步骤，每步在做什么要心中有数。

建议四 ：整式的除法 由整式的乘法类比整式的除法，引导学生自主完成整式除法的学习。 建议五 ：乘法公式的推导与应用

1、 从不同角度推导、验证两个公式 和乘法法则

（1） 从代数角度 由多项式的乘法法则推导得出。

（2） 从几何角度 代数恒等式几何背景教学，是对数形知识的综合应用，是数形结合思想

的典型渗透，在这里利用面积来验证乘法公式，即用“形”解决“数”的问题。

2、验证公式或乘法法则的补充练习：

练习一：用图1填空：(a+b)2=(a-b)2+ . 练习二：用图2可以说明 ：(a+b)2 ≠a2+b2

b

b

a

b a

a

图1 图2

练习三：从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小 正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式______________．

b

*

a 甲

a 乙

b

练习四： 乘法公式与图形面积关系的探究

乘法公式与图形之间的关系，可以通过实验、操作，开展数学活动来探究。 如：准备若干张长方形和正方形卡片（如下图）： a b b a a b (1) (2) (3)

（1） 教师任意写出一个关于a和b的二次式，此二次式需能分解成两个一次因式的乘积，且各

项系数都是整数，如a2+2ab+b2,a2-b2,4a2-b2,a2+5ab+4b2等；

（2） 学生根据教师给出的二次式，选取相应种类和数量的卡片，尝试拼成一个长方形；

如：学生用1张图（1），5张图（2），4张图（3）拼成如图2所示的长方形，验证了（a+b）(a+4b)=a2+5ab+4b2 或a2+5ab+4b2可分解为(a+b)(a+4b)的正确性。 （3） 讨论该长方形的代数意义；

（4） 有学生随意选取适当种类和数量的卡片，拼接成不同尺寸的长方形，回答该长方形表达的

代数公式。例如图3

a b

a b b b b 图3

2、公式的应用

（1）感受公式的结构特点

设计图形游戏 如（□ +○）（□ -○）=□2-○2 （□±○）2=□2±2□○+○2

（2）理解字母的广泛含义 一般地，公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等。如：计算（2x-3）2中，单项式2x表示公式中的字母“a”，而数3表示“b”，计算（2x+y+z）(2x-y-z)中，多项式（y+z）则表示公式中的“b”，而整体思想的渗透是运用公式的难点。 （3）公式的灵活应用 一题多变，一题多想---正用、逆用、变形用 练习1、已知x-y=3 ,xy=2 , 求x2＋y2、（x＋y）2的值。

2、如果二次三项式x2-6x+m2是一个完全平方式，那么m的值是多少？ 3、试说明：对一切实数，都有x2+2x+3>0

第四部分 因式分解

教学重点 1、会用提公因式法分解因式

2、会用公式法分解因式

教学难点 公式的应用和利用整体思想分解因式

教学关键 1、理解分解因式与整式乘法是相反方向的恒等变形 2、准确把握各个

公式的形式和特点

课时建议 共安排5课时，15.5因式分解(2课时) 习题课(1课时) 小结课(2课时) 建议一：准确把握教学要求，不要随意扩充

本节内容课标比旧大纲的要求降低了许多，教学中不要随意扩充，从用的角度学习分解因式

1 ?（03年海淀）若 y ? 4 y ? 4 ? x ? y ? 0 ，则xy的值等于多少？

建议二：因式分解定义的把握

在讲解因式分解的概念时，把握两个注意点，每讲一个注意点，都要配以相应的题目加以巩固，形成 图文并茂。

注意1：因式分解与整式乘法是相反方向的恒等变形，因式分解的结果必须转化为积的

2

形式。

练习：判断下列等式从左到右哪个是因式分解哪个是整式乘法 （1）X2－1= (x+1)(x－1) （2）(x+1)(x－1) =X2－1

总结：X－1 (x+1)(x－1)

注意2：因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止。 建议三：总结分解因式的一般步骤（一提，二靠）

先提公因式，其关键是如何找公因式和每一项余下的另一个因式。再套公式，即另一个因式能否用公式继续分解，其关键是找出公式中的“a”和“b”，同乘法公式相同，a和b可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式。 建议四：注重变式教学

建议老师们在平日的教学中尝试自编练习题 例1：分解因式: x2－4x+4

变式1：x2+4－4x 分析：让学生进一步掌握公式的特征. 变式2：2x2y－8xy+8y 分析：先提取公因式，再用公式法.

变式3：x (x－4)+4 分析：先退一步进行乘法运算,再用公式分解因式. 变式4：(a+b)2－4(a+b)+4 分析：渗透整体思想.

变式5：x4－8x2+16 分析：连续用两次公式(编制题目时,注意控制难度，连续用公式不能超过两次).

*

2

因式分解 整式乘法

变式6: x2－4x+3 分析：用到拆项、分组分解法以及整体思想的渗透。

例2． 提供几个典型错例，供老师参考和学生分析 （1）分解因式m2－9n2=(m+9n)(m－9n);

诊断：不明白“谁”相当于平方差公式中的b，其中这一步 “9n2=32 n2=（3 n）2用到幂的意义和积的乘方的倒用,是个难点.

”

（2）分解因式a3b－3ab+ab=ab(a2－3b)； 诊断：漏项.

（3）分解因式(x2+4)2－16x2=(x2+4+4x)(x2+4－4x)；

诊断：分解不彻底.

（4）分解因式x2－4x+4= x(x－4)+4；

（5）分解因式 x2－4x+4=( x－2)2= x2－4x+4=( x－2)2= x2－4x+4=? 诊断：分解因式的概念不清.

（6）分解因式(a+b) 2－9(a－b)2=(4a－2b)(－2a+4b); （7）分解因式x4－8x2+16=（x2+4）（x2－4）； 诊断：分解不彻底，首项系数必须化为正数. （8）（m+n）2+2m(m+n)+m2=(m+n+m) 2； 诊断：化简不彻底.

三．练习题与试题的设置 1．2007年中考链接

纵览近几年中考试题，“整式”部分的热点内容有：

（1）.在现实情境中进一步理解用字母表示数的意义；能分析简单问题的数量关系，并用整式表示。

参见《课标》35页例3和例4

（2007年北京市）11．在五环图案内，分别填写五个数a，b，c，d，e，如图， ，

ca b(a?b)，d，e是两个连续奇数(d?e)，且满足a?b?c?d?e，例其中a，b，c是三个连续偶数 d e 如 ．请你在0到20之间选择另一组符号条件的数填入右

2 4 6 ． 图： 5 7 （2）.能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义。 参见《课标》35页例5 （06贵州）小英对代数式3a 给出了这样的解释：西瓜每千克3元，那么买a千克西瓜，共需3a元，请你对该代数式作出另外的解释 ．

（3）.会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算。 （06年济南市）根据

如图的程序，计算当输入x=3时， 输入x y=x+5(x≤1) y=－x+5(x>1) 输出y

输出的结果 y= 2 .

（4）.会推导平方差公式和完全平方公式，并能进行简单计算

（07年鄂市）在边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形（如图1），把余下的部分沿虚线剪开，拼成一个矩形（如图2），分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的乘法公式是 (a+b)(a-b)=a-b （用字母表示）.

聊城市2007年20．

图1

图2

2

2

（1）如图3是一个重要公式的几何解释． 请你写出这个公式；

（5）.会进行简单的整式运算。

a b b a

图3

（2007年延庆县）2．下列各式计算正确的是

A．(a3)2?a5 B．a2?a3?a6 C．a6?a2?a3 D．(?2ab2)3??8a3b6 (2007年安顺市)15．下列运算正确的是（ ） A．(x?y)2?x2?y2 B．x?x?x2 C．x2?x3?x6 D．(?2x)3??8x3 （2007安徽省）2.化简（－a）的结果是

A.－a B. a C.－a D. a （2007年河南省）8．计算：(?2x2)?3x4＝ . （2007年北京市昌平区）14．化简：??2x?2??6x3?12x4??3x2

（2007年北京市）17．已知x2?4?0，求代数式x(x?1)2?x(x2?x)?x?7的值．

（6）会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过二次）分解因式。 （2007北京市朝阳区）9．因式分 3a2-27 = 3(a+3)(a-3)

(2007年安顺市)分解因式m3?m? m(m+1)(m-1) ．

5

5

6

6

2

3

（2007年上海市）2．分解因式：2a2?2ab? 2a(a-b) ． （2007年北京市）6．把代数式ax2?4ax?4a分解因式，下列结果中正确的是 A．a(x?2)2 B．a(x?2)2 C．a(x?4)2 D．a(x?2)(x?2)

（2007年北京市通州二模）如果把多项式x4?a分解因式得到的结果是(x2?9)(x?3)(x?b)，那么实数a、b的值应为

A．a= 3，b=1 B．a=9，b=－3 C．a= 27，b=3 D．a= 81，b=3

不难看出，中考热点正是《课标》中的四级知识点（其中热点⑴～⑶是三级目标⑶代数式中的四个四级知识点）

2．注重题型呈现的多样化

（1） 基本概念型 例1 已知代数式

1a?13xy与?3x?by2a?b与是同类项，那么a,b的值分别是 2?a??2?a?2?a?2?a?2A. ? B. ? C. ? D. ?

b??1b?1b??1b?1????解析 根据同类项的基本概念，可以得到方程组??a?1??b?a?2，从而解得?，故选

?2a?b?3?b??1A．

评注 注重对基础知识、基本技能的考查是新课程改革下中考命题的基本要求，试题反璞归真，体现了对数学本质理解的考查，既不刻意求难，也不强调技巧和过分形式化。

（2）结论开放型

例2（06贵州）小英对代数式3a 给出了这样的解释：西瓜每千克3元，那么买a千克西瓜，共需3a元，请你对该代数式作出另外的解释 ．

解析 本题答案不唯一.如汽车每小时行驶a千米，那么3 小时行驶的路程为3 a千米；再如边长为a的等边三角形的周长为3a .

评注 本题联系生活实际,采用了代数式的形式加以呈现,为学生体会整式的实际意义与作用提供了一个机会，不但增加了试卷的亲和力，而且在一定程度上能激发学生的解题欲望,体现了新课程对学生关爱的思想. （3）数形结合思想

例3 (2007年延庆县)从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小 正方形后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式______________．

b

a 甲

a 乙

b

解析 甲图中的阴影部分是两个正方形的面积之差，为a2－b2；乙图中的阴影部分是长为(a+b)、高为(a－b)的平行四边形，因此，这两个图形由面积相等所验证的公式是a2－b2=(a+b)(a－b).

评注 “形能启迪数的计算，数能澄清形的模糊”本题反映的正是数学中的一种重要思想方法，也是新课标所提倡的考查数学基本知识和基本方法的重要方式． （4）定义运算型

*例4 （06年嘉兴市）定义一种对正整数①当n为奇数时，结果为3n+5； ②当n为偶数时，结果为

n2kn2k的“F”运算：

（其中k是使

第一次 n2k为奇数的正整数），并且运算重复进行．

第三次 F② F① 例如，取n=26，则 13 44 F② 44? 26 第二次 若n=449，则第449次“F运算”的结果是 ．（答案是８） 评注 新概念的本质，一般都可以用已有的知识加以解决，因此，解决此类题目的关键是理解新的运算规则并将它向已有知识转化，体现新课程的“知识立意向能力立意过渡”的要求，突出对学生理解能力、应变能力和和创新能力等数学素养的考查． （5）规律探究型

例5 （06安徽省）老师在黑板上写出三个算式： 52－32=8×2，92－72=8×4，152－32=8×28． 王华接着又写了两个具有同样规律的算式： 112－52=8×12，152－72=8×22．

（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式； （2）用文字写出反映上述算式的规律； （3）证明这个规律的正确性．

解析 （１）略；（２）规律：任意两个奇数的平方差等于８的倍数；（３）略．

评注 本题考查了学生观察和探索规律的能力，同时也考查了学生的数感，此类探究型试题对训练学

生的发散性思维和创新能力大有益处，同时有利于培养学生用语探索科学知识的精神。 （6）方格填充型

例6（06年吉林）如图，在3×3的方格内，填写了一些代数式和数.

7 -x 图1

5 -3x 4 3y 7 图2

5 4 （1）在图1中各行、各列和对角线上三个数之和都相等，请你求出x、y的值； （2）把满足（1）的其它6个数填入图2中的方格内。 解析 （1）由已知得：?

（2）根据要求，可填数如下：

387 1062图2 5 4 97?3x?4?3y7?x?4?5，解得?x??2y?3；

评注 本题以方格为载体，在对传统问题的借鉴中有变化、有创新。此题活而不难，其重点在于考查学生是否能合理、有效地观察问题、发现规律、探究求解，同时也涉及考查学生的思维方式、思维过程与思维能力。

单 元 测 试 题

一、选择题

1．下列计算正确的是 A．a2·a3＝a5 B．（a2）3＝a5 C．a10÷a2＝a5 D．2a5－a5＝2 2．计算（-2a5）2÷(-2a5)的结果是

A、—2 a2 B、2 a2 C、2 a5 D、—2 a5 3．若

，则m的值为 A．

B．5 C．

D．2

4．若x2+mx+1是完全平方式，则m的值为 A．2 B．-2 C．±2 D．±4

5．如图，在长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a>b）把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是 A．a2-b2=(a+b)(a-b) B．(a+b)2=a2+2ab+b2 C．(a-b)2=a2-2ab+b2 D．(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2 6．如图，一块四边形绿化园地，四角都做 有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池 占去的绿化园地的面积为（ ） A、

B、

C、

D、不能确定

的值为（ ）

?n2?2?7．已知：有理数满足?m??n?4?0，则??4??A.±1 B.1 C. ±2 D.4 8．如果一个单项式与A.

B.

C.

的积为 ,则这个单项式为 D.

9． 的值为 A.

B.

C.

D. 1

10．规定一种运算：a*b=ab+a+b,则a*（-b）+ a*b计算结果为 A. 0 B. 2a C. 2b D.2ab 二、填空题

11．-abc的系数是 ，次数是 ；

12．－2x2ym与xny3是同类项，则 m ＝ ，n＝ ； 13．若 ，则14．已知a－

15．如果x2－kx＋9y2是一个完全平方式，则常数k＝________________； 16．若 ，则a2－b2＝ ；

17．已知2m＝x，43m＝y，用含有字母x 的代数式表示y，则y＝_；

18．已知|a＋2|＋（b＋1）2 ＋（c－ 三、解答题

32

， ]；

=3，则a2+（ ）2 的值等于 ·

12

） ＝ 0，则代数式a+b-c= ； 3 19．因式分解:

①3x2y+6xy-12y ② 16x2-1 ③ 3a2+18a+27 ④（2a-b）2+8ab 20．计算：① –(x2-2x+3 ) ② (2x+y)(x-2y)

③ (5a-b)2 ④（a+2b－3c）(a－2b+3c）

21.化简：

①a＋（a2－2a ）－（a －2a2 ）；

② 化简并求值：（a＋b）（a－b）＋（a＋b）2－a(2a＋b)，

其中a= ，b＝－１ 。 22．观察下列各式：

?

观察等式左边各项幂的底数与右边幂的底数的关系，猜一猜可以得出什么规律，并把这规律用等式写出： . 23．阅读下列材料：

让我们来规定一种运算： =

，

例如： =

按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：

，再如： =4x-2

① = (只填最后结果)

②当x= 时, =0

③求x,y的值，使

= = —7（写出解题过程）

24．如图，要给这个长、宽、高分别为x、y、z的箱子打包，其打包方式如下图所示，则打包带的长至少要____________（单位：mm）。（用含x、y、z的代数式表示）

25．下图中，图⑴是一个扇形AOB，将其作如下划分：

第一次划分：如图⑵所示，以OA的一半OA1为半径画弧，再作∠AOB的平分线，得到扇形的总数为6个，分别为：扇形AOB，扇形AOC、扇形COB、扇形A1OB、扇

形A1OC1、扇形C1OB1；

划分：如图⑶所示，扇形C1OB1中，按上述划分方式继续划分，可以得到扇形的总数为11个；第三次划分：如图（4）所示；?依次划分下去下 （1）根据题意，完成下表：

（2）根据上表，请你判断按上述划分方式，能否得到扇形的总数为2007个？为什么？

参考答案：

二、填空题11．-1，8；12．3，2；13．5，1；14．11；15.±6 16.3；17. x

6

；18. ?10 3 三、解答题

19．略；20．略；21．略；22．2；22．1

3

2

+23+33+?+n3=（1+2+3+?n）；23．3.5，

，x=8，y=2；24．2（x+y+z）；

25．填表略，不能，因为2007不是5的整数倍。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kc08.html