对数函数计算全

§2.2 对数函数 2．2.1 对数与对数运算

1．对数的概念

一般地，如果ax＝N (a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

(2)根据对数的定义，对数logaN(a>0，且a≠1)具有下列性质： ①零和负数没有对数，即N>0； ②1的对数为零，即loga1＝0； ③底的对数等于1，即logaa＝1. 2．对数的运算法则 (1)基本公式

①loga(MN)＝logaM＋logaN (a>0，a≠1，M>0，N>0)

M

②loga＝logaM－logaN (a>0，a≠1，M>0，N>0)

N

③logaMn＝n·logaM (a>0，a≠1，M>0，n∈R) 3．对数换底公式

在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底

logcN

公式：logbN＝ (b>0，且b≠1；c>0，且c≠1；N>0)．

logcb

由换底公式可推出下面两个常用公式：

1

(1)logbN＝或logbN·logNb＝1 (N>0，且N≠1；b>0，且b≠1)；

logNbm

(2)logbnNm＝logbN(N>0；b>0，且b≠1；n≠0，m∈R)

n

.

题型一 正确理解对数运算性质

对于a>0且a≠1，下列说法中，正确的是( )

①若M＝N，则logaM＝logaN； ②若logaM＝logaN，则M＝N； ③若logaM2＝logaN2，则M＝N； ④若M＝N，则logaM2＝logaN2.

A．①与③ B．②与④ C．② D．①、②、③、④

题型二 对数运算性质的应用

求下列各式的值：

32

(1)2log32－log3＋log38－5log53；

92

(2)lg25＋lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2；

3

(3)

log52·log79

13log5·log74

3

题型三 对数换底公式的应用

计算：(log2125＋log425＋log85)(log52＋log254＋log1258)．

.

已知log(x＋3)(x＋3x)＝1，求实数x的值．

对数的定义及其性质是高考中的重要考点之一，主要性质有：loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N (a>0，且a≠1，N>0)．

1．(上海高考)方程9x－6·3x－7＝0的解是________．

x??e，x≤0，?1??＝____. 2．(辽宁高考)设g(x)＝?则g?g??2???ln x，x>0，?

2

1．对数式log(a－3)(7－a)＝b，实数a的取值范围是( ) A．(－∞，7) B．(3,7)

C．(3,4)∪(4,7) D．(3，＋∞)

2．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是( ) A．a－2 B．3a－(1＋a)2 C．5a－2 D．－a2＋3a－1 3．log56·log67·log78·log89·log910的值为( )

1

A．1 B．lg5 C. D．1＋lg2

lg5

4．已知loga(a2＋1)

10，? A．(0,1) B.??2?1?C.??2，1? D．(1，＋∞)

－

5．已知函数f(x)＝ax1＋logax (a>0，a≠1)在[1,3]上最大值与最小值之和为a2，则a的值为( )

11

A．4 B. C．3 D. 43

2

6．若方程(lgx)＋(lg7＋lg5)lgx＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于( )

1

A．lg7·lg5 B．lg35 C．35 D. 35

1?

7．已知f(log2x)＝x，则f??2?＝________. 8．log(2－1)(2＋1)＝________.

9．已知lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lgx＝－2＋0.778 1，则x＝________.

x

10．(1)已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求log2的值；

y

b

(2)已知log189＝a,18＝5，试用a，b表示log365.

111

11．设a，b，c均为不等于1的正数，且ax＝by＝cz，＋＋＝0，求abc的值．

xyz

12．已知a，b，c是△ABC的三边，且关于x的方程x2－2x＋lg(c2－b2)－2lga＋1＝0

有等根，试判定△ABC的形状．

2．2.1 对数与对数运算(一)

自学导引 1．如果a(a>0且a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．对数的性质有：(1)1的对数为零； (2)底的对数为1；

(3)零和负数没有对数． 3．通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e为底的对数叫做自然对数，log10N可简记为lgN，logeN简记为lnN.

4．若a>0，且a≠1，则ab＝N等价于logaN＝b. 5．对数恒等式：alogaN＝N(a>0且a≠1)

.

一、对数式有意义的条件

例1 求下列各式中x的取值范围：

(1)log2(x－10)；(2)log(x－1)(x＋2)；(3)log(x＋1)(x－1)2.

变式迁移1 在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( ) A．a>5或a<2 B．2

二、对数式与指数式的互化

例2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：

1

(1)54＝625； (2)log8＝－3；

2

1?－2(3)??4?＝16; (4)log101 000＝3.

变式迁移2 将下列对数式化为指数式求x值：

32

(1)logx27＝； (2)log2x＝－；

23

1

(3)log5(log2x)＝0; (4)x＝log27；

9

1

(5)x＝log16.

2

三、对数恒等式的应用

＋

例3 (1)alogab·logbc·logcN的值(a，b，c∈R，且不等于1，N>0)；

1

(2)4(log29－log25)．

2

1

变式迁移3 计算：3log35＋(3)log3. 5

1．一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．利用ab＝N?b＝logaN (其中a>0，a≠1，N>0)可以进行指数与对数式的互化． 3．对数恒等式：alogaN＝N(a>0且a≠1)．

一、选择题

1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A．100＝1与lg1＝0

1111

B．27－＝与log27＝－

333311

C．log3＝9与9＝3

22

D．log55＝1与51＝5

2．指数式b6＝a (b>0，b≠1)所对应的对数式是( ) A．log6a＝a B．log6b＝a C．logab＝6 D．logba＝6

3．若logx(5－2)＝－1，则x的值为( ) A.5－2 B.5＋2

C.5－2或5＋2 D．2－5

4．如果f(10x)＝x，则f(3)等于( ) A．log310 B．lg3 C．103 D．310

1

5．2·log25＋·log25的值等于( )

2

A．2＋5 B．255

55

C．2＋ D．1＋ 22

二、填空题

6．若5lgx＝25，则x的值为________．

＋

7．设loga2＝m，loga3＝n，则a2mn的值为________． 8．已知lg6≈0.778 2，则102.778 2≈________. 三、解答题

9．求下列各式中x的值

1－2x?

(1)若log3??9?＝1，则求x值； (2)若log2 003(x2－1)＝0，则求x值．

2

10．求x的值：(1)x＝log4；(2)x＝log93；(3)x＝71－log75；

21

(4)logx8＝－3；(5)logx＝4.

2

对数与对数运算(二)

自学导引

1．对数的运算性质：如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么， (1)loga(MN)＝logaM＋logaN；

(2)logM

aN

＝logaM－logaN；

(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．

2．对数换底公式：logb＝logacb

logca

.

一、正确理解对数运算性质

例1 若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子中正确的个数有( ①logax· logay＝loga (x＋y)； ②logax－logay＝loga(x－y)；

③logx

ay

＝logax÷logay；

④loga(xy)＝logax·logay.

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

变式迁移1 若a>0且a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式正确的是( A．log1

ax＝－logax

B．(logax)n＝nlogax

C．(log)n＝log1

axaxn D．logax＝loga x

二、对数运算性质的应用

例2 计算：

(1)log2log7

535－53＋log57－log51.8；

(2)2(lg2)2＋lg2·lg5＋(lg2)2－lg2＋1； (3)lg27＋lg8－lg1 000lg1.2

；

(4)(lg5)2＋lg2·lg50.

变式迁移2 求下列各式的值：

(1)log＋2log11

53522－log550－log514；

(2)[(1－log63)2

＋log62·log618]÷log64.

三、换底公式的应用

例3 (1)设3x＝4y＝36，求21

x＋y

的值；

(2)已知log189＝a,18b

＝5，求log3645. 变式迁移3 (1)设log34·log48·log8m＝log416，求m； (2)已知log1227＝a，求log616的值．

) )

1．对于同底的对数的化简常用方法是：

(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．

2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题． 3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．

一、选择题

1．lg8＋3lg5的值为( )

A．－3 B．－1 C．1 D．3

2．已知lg2＝a，lg3＝b，则log36等于( ) a＋ba＋bA. B.

ababC. D. a＋ba＋b

a

lg?2的值等于( ) 3．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则??b?11

A．2 B. C．4 D. 24

11

4．若2.5x＝1 000,0.25y＝1 000，则－等于( )

xy

11

A. B．3 C．－ D．－3 33

22

5．设函数f(x)＝logax (a>0，且a≠1)，若f(x1x2?x2 005)＝8，则f(x21)＋f(x2)＋?＋f(x2 005)的值等于( )

A．4 B．8 C．16 D．2loga8 二、填空题

6．设lg2＝a，lg3＝b，那么lg1.8＝__________.

7．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则logabcx的值为____． 8．已知log63＝0.613 1，log6x＝0.386 9，则x＝________. 三、解答题

9．求下列各式的值： 1324

(1)lg－lg8＋lg245； 2493

(2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.

123

10．若26a＝33b＝62c，求证：＋＝.

abc

1．对于同底的对数的化简常用方法是：

(1)“收”，将同底的两对数的和(差)化成积(商)的对数； (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．

2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题． 3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．

一、选择题

1．lg8＋3lg5的值为( )

A．－3 B．－1 C．1 D．3

2．已知lg2＝a，lg3＝b，则log36等于( ) a＋ba＋bA. B.

ababC. D. a＋ba＋b

a

lg?2的值等于( ) 3．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则??b?11

A．2 B. C．4 D. 24

11

4．若2.5x＝1 000,0.25y＝1 000，则－等于( )

xy

11

A. B．3 C．－ D．－3 33

22

5．设函数f(x)＝logax (a>0，且a≠1)，若f(x1x2?x2 005)＝8，则f(x21)＋f(x2)＋?＋f(x2 005)的值等于( )

A．4 B．8 C．16 D．2loga8 二、填空题

6．设lg2＝a，lg3＝b，那么lg1.8＝__________.

7．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则logabcx的值为____． 8．已知log63＝0.613 1，log6x＝0.386 9，则x＝________. 三、解答题

9．求下列各式的值： 1324

(1)lg－lg8＋lg245； 2493

(2)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2.

123

10．若26a＝33b＝62c，求证：＋＝.

abc

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