高三物理：有界磁场习题汇总专题

有界磁场专题复习

一、带电粒子在圆形磁场中的运动

M 例1、圆心为O、半径为r的圆形区域中有一个磁感L 强度为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边

O A 缘的最短距离为L的O＇处有一竖直放置的荧屏MN，今O,

有一质量为m的电子以速率v从左侧沿ＯＯ＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P点，如图１所示，求O＇P的长度和电子通过磁场所用的时间． N

P 解析 ：电子所受重力不计。它在磁场中做匀速圆周

图1 运动，圆心为O″，半径为R。圆弧段轨迹AB所对的圆

心角为θ，电子越出磁场后做速率仍为v的匀速直线运动，

如图２所示，连结OB，∵△OAO″≌△OBO″，又OA⊥O″A，故OB⊥O″B，由于原有BP⊥O″B，可见O、B、P在同一直线上，且∠O＇OP=∠AO″B=θ，在直角三角形Ｏ2tan()2，Ｏ＇P中，O＇P=(L+r)tanθ，而tan???1?tan2()2?rtan()?,所以求得R后就可以求出O＇P了，电子经

2RAB?R?过磁场的时间可用t=来求得。 VVmVV2.OP?(L?r)tan? 由BeV?m得R=eBRreBrtan()??2RmV?L A O θ B R θ/2 θ/2 O// 图2

P M O,

N

?，

2tan()2eBrmV2? tan??22222?mV?eBr1?tan2()22(L?r)eBrmVO,P?(L?r)tan??22， 222mV?eBr2eBrmV??arctan(22)

mV?e2B2r2?Rm2eBrmVt??arctan(22) 222VeBmV?eBr

例2、如图2，半径为r?10cm的匀强磁场区域边界跟y轴相切于坐标原点O，磁感强度B?0.332T，方向垂直纸面向里．在O处有一

?ys???o????图2 ?x

放射源S，可向纸面各个方向射出速度为v?3.2?10m/s的粒子．已知?粒子质量

6m?6.64?10?27kg，电量q?3.2?10?19C，试画出?粒子通过磁场空间做圆周运动的

圆心轨道，求出?粒子通过磁场空间的最大偏角．

v2解析：设粒子在洛仑兹力作用下的轨道半径为R，由Bqv?m 得

Rmv6.64?10?27?3.2?106R??m?0.20m?20cm ?19Bq0.332?3.2?10虽然?粒子进入磁场的速度方向不确定，但粒子进场点是确定的，因此?粒子作圆

周运动的圆心必落在以O为圆心，半径R?20cm的圆周上，如图２中虚线．

由几何关系可知，速度偏转角总等于其轨道圆心角．在半径Ry?o一定的条件下，为使?粒子速度偏转角最大，即轨道圆心角最大，应使其所对弦最长．该弦是偏转轨道圆的弦，同时也是圆形磁场的

so弦．显然最长弦应为匀强磁场区域圆的直径．即?粒子应从磁场圆?Ax直径的A端射出．

图2 ?如图２，作出磁偏转角?及对应轨道圆心O，据几何关系得

sin?2?r1?，得??600，即?粒子穿过磁场空间的最大偏转角为600． R2MO二、带电粒子在半无界磁场中的运动

例3、如图3中虚线MN是一垂直纸面的平面与纸面的交线,在平面右侧的半空间存在一磁感应强度为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场．Ｏ是ＭＮ上的一点，从Ｏ点可以向磁场区域发射电荷量为＋q、质量为m、速率为v的粒子，粒子射入磁场时的速度可在纸面内各个方向，已知先后射入的两个粒子恰好在磁场中给定的Ｐ点相遇，Ｐ到Ｏ点的距离为Ｌ，不计重力和粒子间的相互作用．

(1)求所考察的粒子在磁场中的轨道半径． (2)求这两个粒子从Ｏ点射入磁场的时间间隔． 解析：(1) 粒子的初速度与匀强磁场的方向垂直,在洛仑兹力作用下,做匀速圆周运动.设圆半径为Ｒ,则据牛顿第二定律可得：

. . . . . .. . . . . .αO1. . . . . .O2α. . . . . .Q1. . . . . .. . . . . .αQ2PN图3 v2mv?m ,解得R? Bqv

RBq(2)如图３所示，以OP为弦的可以画出两个半径相同的圆，分别表示在Ｐ点相遇的两个

粒子的轨道，圆心分别为O1和O2，在O处两个圆的切线分别表示两个粒子的射入方向，它们之间的夹角为?，由几何关系知

∠PO1Q1=∠PO2Q2=?

从O点射入到相遇，粒子在１的路径为半个圆周加Q1P弧长等于?R；粒子在２的路径为半个圆周减Q2P弧长等于?R．

1R?T＋ 2v1R?粒子２的运动时间 t２=T－

2v粒子１的运动时间 t1=

两个粒子射入的时间间隔△t＝t1－t２＝2由几何关系得Rcos

R? v111L ?=op=L，解得：?=2arccos

2222R故△t＝

LBq4m．arc cos

2mvBq?2例4、如图4所示，在真空中坐标xoy平面的x?0区域内，有磁感强度B?1.0?10T的匀强磁场，方向与xoy平面垂直，在x轴上的p(10,0)点，有一放

y/cm??4射源，在xoy平面内向各个方向发射速率v?1.0?10m/s的带正电

???op?25?18??的粒子，粒子的质量为m?1.6?10kg，电量为q?1.6?10C，

??求带电粒子能打到y轴上的范围．

图4

解析：带电粒子在磁场中运动时有Bqv?m??????x/cm??v，则R2y/cm?A????mv1.6?10?25?1.0?104R???0.1m?10cm．

Bq1.0?10?2?1.6?10?18如图１５所示，当带电粒子打到y轴上方的A点与P连线正好为其圆轨迹的直径时，A点既为粒子能打到y轴上方的最高点．因

Op?R?10cmOA?22，

AP?2R?20cm，则

x/cm????B?????????图15 o????????p?AP?OP?103cm．

当带电粒子的圆轨迹正好与y轴下方相切于Ｂ点时，Ｂ点既为粒子能打到y轴下方

的最低点，易得OB?R?10cm．

综上，带电粒子能打到y轴上的范围为：?10cm?y?103cm．

三、带电粒子在长方形磁场中的运动

例5、如图5，长为L间距为d的水平两极板间，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B，两板不带电，现有质量为m，电量为q的带正电粒子（重力不计），从左侧两极板的中心处以不同速率v水平射入，欲使粒子不打????v在板上，求粒子速率v应满足什么条件． ??解析：如图４，设粒子以速率v1运动时，粒子正好打在左极板边

2L???d?图5

vdBqd缘（图４中轨迹１），则其圆轨迹半径为R1?，又由Bqv1?m1得v1?，则粒

44mR1子入射速率小于v1时可不打在板上．

设粒子以速率v2运动时，粒子正好打在右极板边缘（图４中轨迹２），

22o?2R2d24L2?d2由图可得R2?L?(R2?)，则其圆轨迹半径为R2?，又v2L24dv1o1??1???d?2222vBq(4L?d)????由Bqv2?m2得v2?，则粒子入射速率大于v2时可不

4mdR2图４

打在板上．

BqdBq(4L2?d2)综上，要粒子不打在板上，其入射速率应满足：v?或v?．

4m4md

例6、长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图４所示，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m，电量为q的带

O 正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度V

r1

A．使粒子的速度V5BqL/4m； C．使粒子的速度V>BqL/m；

D．使粒子速度BqL/4m

图6

周运动，很明显，圆周运动的半径大于某值r1时粒子可以从极板右边穿出，而半径小于某值r2时粒子可从极板的左边穿出，现在问题归结为求粒子能在右边穿出时r的最小值r1以及粒子在左边穿出时r的最大值r2

粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O

222

r1＝L+(r1-L/2)得r1=5L/4，

又由于r1=mV1/Bq得V1=5BqL/4m,∴V>5BqL/4m时粒子能从右边穿出。

粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O＇点，有r2＝L/4，又由r2＝mV2/Bq=L/4得V2

＝BqL/4m

∴V2

四、带电粒子在“三角形磁场区域”中的运动

例7、在边长为2a的?ABC内存在垂直纸面向里的磁感强度为B的匀强磁场，有一带正电q，质量为m的粒子从距Ａ点3a的Ｄ点垂直ＡＢ方向进入磁场，如图５所示，若粒子能从ＡＣ间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从ＡＣ间什么范围内射出．

解析：如图６所示，设粒子速率为v1时，其圆轨迹正好与ＡＣ边相切于Ｅ点．

由图知，在?AO1E中，O1E?R1，O1A?3a?R1，由

?C?????A图7

D?Bcos300?O1EO1A得

3?2R13a?R1C，解得R1?3(2?3)a，则

?E?OA3a?R1AE?1??(23?3)a．

222A1R???1??o1D?vB图6

BqR13(2?3)aqBv?又由Bqv1?m1得v1?，则要粒子能从mmR1ＡＣ间离开磁场，其速率应大于v1．

如图７所示，设粒子速率为v2时，其圆轨迹正好与ＢＣ边相切于Ｆ点，与ＡＣ相交于Ｇ点．易知Ａ点即为粒子轨迹的圆心，则

G?C??Ao?2?R2??Fv2?图7 DBR2?AD?AG?3a．

v3aqB又由Bqv2?m2得v2?，则要粒子能从ＡＣ间离开磁场，其速率应小于

mR22

等于v2．

综上，要粒子能从ＡＣ间离开磁场，粒子速率应满足

3(2?3)aqB3aqB． ?v?mm粒子从距Ａ点(23?3)a~3a的EG间射出． 五、带电粒子在“宽度一定的无限长磁场区域”中的运动

例8、如图11所示，A、B为水平放置的足够长的平行板，板间距离为d?1.0?10m，A板中央有一电子源P，在纸面内能向各个方向发射速度在

?2BQ0~3.2?107m/s范围内的电子，Ｑ为P点正上方B板上的一点，

若垂直纸面加一匀强磁场，磁感应强度B?9.1?10T，已知电子的质量m?9.1?10?31kg，电子电量e?1.6?10?19?3??A?????P图8 ??C，不计电子的重

力和电子间相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地．求：

（1）沿PＱ方向射出的电子击中A、B两板上的范围．

（２）若从Ｐ点发出的粒子能恰好击中Ｑ点，则电子的发射方向（用图中?角表示）与电子速度的大小v之间应满足的关系及各自相应的取值范围．

解析：如图１２所示，沿ＰＱ方向射出的电子最大轨迹半径由

BQMN2Bev?mmvmv可得rm?，代入数据解得rm?2?10?2m?2d．

Ber?d????APF?H?该电子运动轨迹圆心在Ａ板上Ｈ处，恰能击中Ｂ板Ｍ处．随着电

图12 子速度的减少，电子轨迹半径也逐渐减小．击中Ｂ板的电子与Ｑ点最

远处相切于Ｎ点，此时电子的轨迹半径为d，并恰能落在Ａ板上Ｈ处．所以电子能击中Ｂ板ＭＮ区域和Ａ板ＰＨ区域．

在?ＭＦＨ中，有FH?HM?MF?(2d)?d22223d，

BQQM?PF?(2?3)d?2.68?10?3m/s， QN?d?1?10?2m，PH?2d?2?10?2m．

?3?2????o??v???r?AP图13

电子能击中Ｂ板Ｑ点右侧与Ｑ点相距2.68?10m~1?10m的范围．电子能击中Ａ板Ｐ点右侧与Ｐ点相距0~2?10m的范围．

（２）如图１３所示，要使Ｐ点发出的电子能击中Ｑ点，则有r??2mvd，rsin??． Be2

解得vsin??8?10．

6v取最大速度3.2?107m/s时，有sin??时有?max?11，?min?arcsin；v取最小速度44?2，vmin?8?106m/s．

6所以电子速度与?之间应满足vsin??8?10，且

1???[arcsi,n]，v?[8?106m/s,3.2?107m/s]

42

六、带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动

例9、如图9所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场．左侧匀强电场的场强大小为E、方向水平向右，电场宽度为L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里．一个质量为m、电量为q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的O点由静止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到O点，然后重复上述运动过程．求：

（1） 中间磁场区域的宽度d;

（2） 带电粒子从O点开始运动到第一次回到O点所用

时间t.

y/cm?????op??????????x/cm??图14 L E d B B O 图9

解析：（1）带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得： qEL?带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得：

1mV2 2V2BqV?m

R由以上两式，可得R?12mEL．

Bq可见在两磁场区粒子运动半径相同，如图11所示，三段圆弧的圆心组成的三角

形ΔO1O2O3是等边三角形，其边长为2R．所以中间磁场区域的宽度为

d?Rsin600?（2）在电场中

16mEL

2BqO O3 600 O2 O1 图11

t1?2V2mV2mL， ??2aqEqET2?m ?33qB55?m， T?63qB在中间磁场中运动时间t2?在右侧磁场中运动时间t3?则粒子第一次回到O点的所用时间为

t?t1?t2?t3?22mL7?m． ?qE3qB七、带电粒子在环形或有孔磁场中的运动

例10、核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图５所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径R2=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4×10C/㎏，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度．试计算

（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度． （2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度． 解析：（1）要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切,轨迹如图６所示．

由图中知r1?R1?(R2?r1)，解得r1?0.375m

2227图10

BqrV121V??1.5?107m/s 由BqV得?m11mr1所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为V1?1.5?10m/s．

（2）当粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与

外圆相切时，则以V1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，如图７所示．

由图中知r2?O O2 图７

7R2?R1?0.25m 2

Bqr2V22?1.0?107m/s 由BqV2?m得V2?mr2所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度V2?1.0?107m/s

例11、如图８所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c和d，外筒的外半径为r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B．在两极间加上电

a 压，使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场．一质量为ｍ、

S 带电量为＋q的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a的S点出发，

b d 初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出o 发点S，则两电极之间的电压U应是多少？（不计重力，整个

c 装置在真空中）

解析：如图９所示，带电粒子从S点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a而进入磁场区，在洛伦

图11

兹力作用下做匀速圆周运动．粒子再回到S点的条件是能沿径

向穿过狭缝d.只要穿过了d，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过c、b，再回到S点。设粒子进入磁场区的速度大小为V，根据动能定理，有

qU?1mV2 2a S d o b 设粒子做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有

V2BqV?m

R由前面分析可知，要回到S点，粒子从a到d必经过

3圆周，4所以半径R必定等于筒的外半径r，即R=r.由以上各式解得;

c 图９

B2qr2U?.

2m

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