国庆长假七年级数学专题讲座―― 4.有理数的乘除法

2009年国庆长假七年级数学专题讲座――4.有理数的乘除法

本节主要讲了有理数的乘法运算，通过水库水位的变化，引导学生仔细观察一列算式的因数与积的变化规律，使他们自己发现，归纳出有理数的乘法法则。通过大量的实例，让学生真正的掌握有理数的乘法运算。乘法与除法互为逆运算，这在有理数范围内仍然适用。本节给了一些算式，旨在引导学生发现规律。从商的符号及其绝对值与被除数和除数的关系，可归纳出有理数的除法法则。然后又给出倒数的定义，进而将有理数的除法运算转化为乘法运算。

一.有理数乘法法则的运用和运用有理数的除法法则进行简单的运算

这是本节的重点知识.如【典例引路】中例1，，【当堂检测】中第4题，【课时作业】中第9题。

二.运算中符号的选择，倒数的求法

这是本节的难点.如【基础练习】中第4题，【当堂检测】中第4题，【课时作业】中第14题。

三.易错题目

易错点仍然是结果的符号问题，需要学生特别注意。【课时作业】中第19题。

知识点1.有理数的乘法法则

两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;任何数同0相乘得0.乘积是1的两数互为倒数.

两数相乘,交换因数的位置,积不变;乘法交换律:ab=ba;

三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,积不变.乘法结合律:abc=(ab)c=a(bc).

一个数同两个数的和相乘,等于这个数分别与这两个数相乘,再把积相加.乘法分配律:a(b+c)=ab+ac;

几个不等于0的数相乘,负因数的个数为偶数个时,积为正数; 负因数的个数为奇数个时,积为负数.

知识点2.有理数的除法

除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数.式子表达为:a÷b=a×

1(b为不等于0的数).b两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.一个数同不为0的数相除,仍得0.针对性练习:1.填空：（1）-76×___________； (2)（-1.25）×(-8)=_____________；67(3)(-126.8)×0=___________； (4)(-25.9)×(-1)=______________.（5）(-5)×__________=-35； (6)(-

33)×____________=.77【解析】两个有理数相乘，我们根据法则先来确定乘积的符号，再把绝对值相乘.在进行有

理数乘法运算时，除了要熟练掌握乘法法则之外，还应当注意以下两点：1.一个数乘以1

等于它本身，一个数乘以-1等于它的相反数.2.两个相反数的和与积是完全不同的两个结果，不要混淆.

【答案】（1）-1 (2)1 (3)0 (4)25.9 （5）-35(6)

37类型之一:巧用运算律简化计算型 例1．(1)(－6)×［

2121+(－)］=(－6)×+(－6)×(－)323255(2)［29×(－)］×(－12)=29×［(－)×(－12)］

66【解析】本题运用乘法对加法的分配律来计算，过程会比较简单。【解答】（1）(?6)?[?(?)]?(?6)?231221?(?6)?(?)??4?3??132（2）[29?(?)]?(?12)?29?[(?)?(?12)]?29?10?2905656类型之二:结构繁琐型

例2.计算：2 002×20 032 003-2003×20 022 002.

【解析】所乘积位数较多，直接计算较麻烦，两组因数结构相同，应该利用这一特点.冷静分析，尽量“绕”过烦琐的计算，这是计算中必须注意的.小括号的出现与“消失”，更是灵活性的体现.

【解答】2 002×20 032 003-2 003×20 022 002

=2 002×（2 003×10 001）-2 003×（2 002×10 001）

=2 002×2 003×10 001-2 003×2 002×10 001=0.

类型之三:整体代换型

例3. 计算：(+

1111111111++…+)·(1++…+)－(1+++…+)·(++…23200322002232003231).2002【解析】如果直接计算，很繁，且容易出错.根据它的特点，可以把其中一个括号内的算式当作一个整体，其他括号内的算式可用这个整体适当代换.这样计算较简单.

【解答】设1+

111++…+=a.则23200311原式=(a－1)·(a－)－a·(a－1－)

2003200311=(a－1)·a－(a－1)·－a(a－1)－(－)·a

20032003=

12003.

类型之四:乘除混合型

例4计算：（1）-7÷3-14÷3；（2）（?511273-2）÷3； （3）（-3.5）÷×（?）25384【解析】对混合运算应先算除法、再算减法.有括号先算括号里面的，第二题把除法变成乘

法利用乘法分配律更简单.

1113331121131131133321（2）（?5?2）÷3=（?5?2）×=?????????2525311211511251073783783（3）（-3.5）÷×（?）=?××(?）=（??）=3.

84274274【解答】（1）-7÷3-14÷3=-7×-14×=（-7-14）×=-21×=-7；

131.判断题：

(1)如果ab＞0，且a+b＜0，则a＜0，b＜0.( )(2)如果ab＜0，则a＞0，b＜0.( )

(3)如果ab=0，则a，b中至少有一个为0.( )

【解析】本题应用有理数乘法法则进行判断，两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0. (2)错误,因为当ab＜0时，也可能是a＜0，b＞0.【答案】(1)(3)正确, (2)错误.

2.计算：(?)?4553553?(?)?(?)??(?1)13513135【解析】此题变形后符合乘法分配律等号右边的形式，因此可以逆用乘法分配律，由右边导

出左边，这样可以使计算简便。【解答】原式＝(?)?45535584385151?(?)????(???)????135131355551351313【点评】进行有理数运算时，要先观察其结构特征，再用合适的方法进行简便运算，但在运

用运算律时，要注意符号的变化。3.计算:(1)(-20)÷(3

11)； (2)3.2÷(-5).33【解析】对于除数是整数的,可以直接除.对于除数是分数的，可以利用倒数转化成乘法再进

行计算.当有带分数或小数时,应转化为假分数或分数.

【解答】(1)(-20)÷(3

13)=-20×=-6；31033116(2)3.2÷(-5)=×(-)=-.

516534.计算：

(1)-7÷3-14÷3； (2)(-5

112-2)÷3.253【解析】(1)对混合运算应先算除法,再算减法.

(2)可以先把括号里的算出来,再做除法.也可以把除法转化为乘法,利用分配律运算.

【解答】(1)-7÷3-14÷3=-7×

1111-14×=(-7-14)×=-21×=-7；33333113113332111211(2)(-5-2)÷3=(-5-2)×=-×-×=--=-.

112115112510253255.计算：

253+（?）?］；91218721（2）（-2）×（?1）×（?2）×.

972（1）（-36）×［?【解析】（1）36是9、12、18的倍数，用乘法分配律计算简便.（2）根据乘法法则，先确定

积的符号，再用乘法的结合律，可以大大简化计算.

253+（?）?］91218253=（-36）×（?）+（-36）×（?）+（-36）×（?）

91218【解答】（1）（-36）×［?=8+15+6=29.

（2）（-2）×（?1）×（?2=-（2×××）=-5.

【评注】正确合理地利用乘法的结合律、交换律、分配律，可以大大简化计算.

1.一个有理数与它的相反数之积（ ）

A.符号必定为正 B.符号必定为负 C.一定不大于零 D.一定不小于零 【解析】D 当这个有理数不等于零时,互为相反数的积一定为负数,当这个有理数等于零时,零的相反数为零,所以一个有理数与它的相反数之积一定小于或等于零.

2.如果两个有理数在数轴上的对应点在原点的同侧,那么这两个有理数的积（ ） A.一定为负数 B.为0 C.一定为正数 D.无法判断

【解析】C 如果两个有理数在数轴上的对应点在原点的同侧,那么这两个数同号,所以这两个有理数的积一定为正数. 3.用简便方法计算：

2771）×

92529779114351)×(-1)×(5.5)×(+); （2）×(-)×(-4)×(-)；

3117475222222377（3）-7×(-)+19×(-)-5×(-)； （4）(1--)×(-24).

7774812（1）(-14)×(+1

【解析】乘法的结合律、交换律、分配律,在有理数乘法中仍然适用,可以大大简化计算. 【解答】（1）(-14)×(+1

141)×(-1)×(5.5)×(+)=64;

3117（2）

1533×(-)×(-4)×(-)=-；

7745222222)+19×(-)-5×(-)=-2；

777377（4）(1--)×(-24)=-7.

4812（3）-7×(-

4.计算：（1）－6÷（－0.25）÷（2）（－2

14； 1111）÷（－10）÷（－）÷（－5）；

32411（3）（－3 ）÷2 ÷（－3 ）÷（－0.75）.

385【解析】几个数相除，先化为乘法，再按几个数相乘的法则运算. 【解答】（1）原式=－6×（－4）×（2）原式=（－

11132=； 1475115113）×（－）×（－3）×（－）=××3×=； 2105210520105841058432（3）原式=（－）××（－）×（－）=－（×××）=－.

31425331425363 1.某班举行知识竞赛，评分标准是：答对1道题加10分，答错1道题扣10分，每个队的基本分为100分，有一个代表队答对了12道题，答错了5道题，请问这个队最后得多少分？ 【解析】答对了１２道题得120分，答错了５道题得-50分，每个队的基本分为１００分，这个队最后得100+12×10+5×（-10）=170（分）. 【答案】100+12×10+5×（-10）=170（分）. 2.求除以8和9都是余1的所有三位数的和.

【解答】可设三位数为n，它是除以8、9的商分别为x、y余1的数.则:n=8x+1;n=9y+1由此可知：三位数n减去1，就是8和9的公倍数，即为:144、216、288、360、432、504、576、648、720、792、864、936.

所以满足条件的所有三位数的和为：

144+216+288+360+432+504+576+648+720+792+864+936+1×12 =72×(2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13)+1×12 =72×(2+13)×6+12 =6492

课时作业：

A等级

1.如果两个有理数的和是零，积也是零，那么这两个有理数( ) A.至少有一个为零，不必都是零 B.两数都是零 C.不必都是零，但两数互为相反数 D.以上都不对

2.五个数相乘,积为负数,则其中负因数的个数为（ ）

A.2 B.0 C.1 D.1,3,5

3.(-5)×(-5)÷(-5)×

1=__________. 54.已知a，b两数在数轴上对应的点如图2-8-1所示，下列结论正确的是（ ）

图2-8-1

A.a＞b B.ab＜0 C.b-a＞0 D.a+b＞0 5. 用“3

”、“

”定义新运算：对于任意实数a，b，都有a

2005)

(2004

2003)=________.

b=a和a

b=b，例如3

2=3，

2=2，则(2006

6.计算：

54)×(-)；

1615216（3）(-321)×(-1)； （4）(-)×(-3)；

9313（1）(-0.75)×(-1.2)； （2）(-7.a、b是什么有理数时,下式成立：

a×b=|a×b|. 8.计算：

541； （2）(-0.75)×(-1.2)； （3）(-)×(-)；

31615216（4）(-321)×(-1)； （5）(-)×(-3)； （6）(-6.1)×0.

9313（1）(-27)×9.计算：

4257×(－)×(－)

610524164(2)(－)×(－)×0×

137351(3)×(－1.2)×(－); 49318(4)(－)×(－)×(－)

7215(1) 10.计算:

(1)(-5)÷(-15)÷(-3)； (2)-1+5÷(-(3)(

1)×(-6)； 611111116-)×(+)÷×(-)=.

313553535

B等级答案

11.四个各不相等的整数，它们的积abcd=25，那么a+b+c+d=_____________. 12.已知ab<|ab|,则有（ ）

A.ab<0 B.a0,b<0 D.a<0

13.几个不等于0的有理数相乘，它们的积的符号如何确定_______. 14.下面结论正确的个数有( )

①若一个负数比它的倒数大,这个负数的范围在-1与0之间

②若两数和为正,这两数商为负,则这两个数异号,且负数的绝对值较小 ③0除以任何数都得0 ④任何整数都大于它的倒数

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 15.两个数的商为正数，那么这两个数的（ ）

A.和为正 B.差为正 C.积为正 D.以上都不对 16.相反数是它本身的数是___________，倒数是它本身的数是_____________.

17.若a,b互为倒数，则ab的相反数是______________. 18.12×(-2)÷(-5)=_______.

19.用“＜”或“＞”或“=”填空:

(1)(-13)÷(-14)÷(-15) 0； (2)(-1112)÷3÷(-4)___________0；

(3)0÷(-5)÷(-7)___________0. 20.若m＜0，则

m|m|等于（ ） A.1 B.±1 C.–1

C等级

21.下列各对数中,互为倒数的是（ ） A.-

13和3 B.-1和1 C.0和0 22.求下列各数的倒数并用“<”把它们连接起来.

－

56,2 12,|－3 12 |,0.5,－1.6.

23.计算??5?????3??22???12?????71??3?3???8????22?? 24．0×2009?20082099÷20092006=_________. 25.2009×(12009?20072009)=________. 26.(-1)×(+1)×(-1)÷(-1)×(-1)÷(-1)=__________. 27.2010÷(1-

20092010)×12010×12010=__________. 28.(-2)×(-2)×(－2)×(-2)÷(-4)=________. 29.

1113×27＋27×9＋

27?27=__________. D.以上答案都不对 D.-1133和-4 30.我们在计算时经常碰到一题多解的情况，如计算（-原式=(-

21121）÷（-+-）解法一：310653051111)÷(-)=-×3=-.

62103030211221121解法二：原式的倒数为（-+-）÷（-）=（-+-）×（-30）

3106531065302112=×（-30）-×（-30）+×（-30）+×30=-20+3-5+12=-10. 310651所以原式=-.

101111阅读上述材料，并选择合适的方法计算：计算：(?)?(??).

303515

A等级答案

1.B 2.D 3.-1;4.A 5.2006

541)×(-)=；

16151226521（3）(-321)×(-1)=321；（4）(-)×(-3)=；

93131336.（1）(-0.75)×(-1.2)=0.9；（2）(-7.分3种情况:

（1）当a>0,b>0时,等式a×b=|a×b|成立； （2） a<0,b<0时,等式a×b=|a×b|成立；

（3）当a、b两数中至少有一个数为零时,等式a×b=|a×b|成立.

5411=-9；（2）(-0.75)×(-1.2)=0.9；（3）(-)×(-)=； 316151226521（4）(-321)×(-1)=321；（5）(-)×(-3)=；（6）(－6.1)×0=0.

9313133425710710779. (1)原式=［－(×)］×(－)=(－)×(－)=+(×)=

610310310358.（1）(-27)×

(2)原式=0

515611×1.2×)=??? 4945963184(4)原式=－(××)=－

357215110. (1)(-5)÷(-15)÷(-3)=-；

91(2)-1+5÷(-)×(-6)=179；

611111116(3)(-)×(+)÷×(-)=.

535353135(3)原式=+(B等级答案 11.0

12.A

13.当负数个数为偶数时，积为正数，当负数个数为奇数时，积为负数. 14.B 15.C

16.0 1和-1 17.-1;18.4.8; 19.＜ ＞ = 20.C

C等级答案 21.D 22.－

56的倒数为－. 651512∵2=,∴2的倒数为.

222521171∵|－3|=3=,∴|－3|的倒数为.

722221∵0.5=,∴0.5的倒数为2.

238∵－1.6=－1=－,

555∴－1.6的倒数为－.

86522∴－<－<<<2.

5875?22??22??22??22??12???8???5?12?8?＝??????????＝-110. 333???????3?23.原式＝??5????

24.0; 25.2008;26.-1;27.1;28.4;29.13; 30.因为(?13111111?)?(?)=(??)?(?30) 510303515 =-10+6+2=-2， 所以(?

11111)?(??)=. 3035152