【名师一号】2014-2015学年人教A版高中数学必修4双基限时练11

双基限时练(十一)

1．把函数f (x )的图象向右平移π12个单位后得到函数y ＝sin ? ??

??x ＋π3的图象，则f (x )为( )

A ．sin ? ????x ＋712π

B ．sin ? ??

??x ＋34π C ．sin ? ????x ＋5π12 D ．sin ? ??

??x －512π 解析 用x －π12代换选项中的x ，化简得到y ＝sin ? ??

??x ＋π3的就是f (x )，代入选项C ，有f (x )＝sin ? ????x －π12＋5π12＝sin ? ??

??x ＋π3. 答案 C

2．下列四个函数中，同时具有：①最小正周期是π，②图象关于x ＝π3对称的是( )

A ．y ＝sin(x 2＋π6)

B ．y ＝sin(2x ＋π6)

C ．y ＝sin(2x －π3)

D ．y ＝sin(2x －π6) 解析 当x ＝π3时，

y ＝sin ? ????2x －π6＝sin ? ??

??2×π3－π6＝sin π2＝1. ∴函数y ＝sin ? ??

??2x －π6的图象关于x ＝π3对称，且周期T ＝2π2＝π. 答案 D

3．要将y ＝sin ? ??

??2x ＋π4的图象转化为某一个偶函数图象，只需将y ＝sin ? ??

??2x ＋π4的图象( )

A ．向左平移π4个单位

B ．向右平移π4个单位

C ．向左平移π8个单位

D ．向右平移π8个单位

解析 把y ＝sin ? ??

??2x ＋π4的图象向左平移π8个单位即得y ＝sin ??????2? ????x ＋π8＋π4＝sin ? ??

??2x ＋π2＝cos2x 的图象．因为y ＝cos2x 为偶函数，所以符合题意．

答案 C

4．函数y ＝3sin ? ??

??－x ＋π6的相位和初相分别是( ) A ．－x ＋π6，π6

B ．x －π6，－π6

C ．x ＋5π6，5π6

D ．x ＋5π6，π6 解析 因为y ＝3sin ? ????－x ＋π6＝3sin ??????π－? ????－x ＋π6

＝3sin ? ??

??x ＋5π6，所以相位和初相分别是x ＋5π6，5π6. 答案 C

5．如下图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 在一个周期内的图象，那么这个函数的一个解析式为(

)

A ．y ＝2sin ? ??

??x 2＋π6－1 B ．y ＝2sin ? ??

??2x ＋π6－1 C ．y ＝3sin ?

????2x ＋π3－1 D ．y ＝3sin ? ??

??2x ＋π6－1 解析 由图象知A ＝2－(－4)2

＝3，b ＝－1， T ＝5π6－? ??

??－π6＝π. ∴ω＝2πT ＝2，故可设解析式为y ＝3sin(2x ＋φ)－1，代入点

? ????7π12，－4，得－4＝3sin ? ??

??2×7π12＋φ－1， 即sin ? ??

??7π6＋φ＝－1，∴φ＋7π6＝2k π－π2(k ∈Z )． 令k ＝1，解得φ＝π3，所以y ＝3sin ? ??

??2x ＋π3－1. 答案 C

6．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π2个单位长度，若所得

图象与原图象重合，则ω的值不可能等于( )

A ．4

B ．6

C ．8

D ．12

解析 由题意可得，sin ??????ω?

????x ＋φω＋π2 ＝sin ? ??

??ωx ＋φ＋π2ω，则π2ω＝2k π，k ∈Z ，所以ω＝4k ，k ∈Z ，因为6不是4的整数倍，所以ω的值不可能是6，故选B.

答案 B

7．使函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称的θ为________． 解析 ∵函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称，

∴f (－x )＝f (x )恒成立，∴3sin(－2x ＋5θ)＝3sin(2x ＋5θ)，

∴sin(－2x ＋5θ)＝sin(2x ＋5θ)，∴－2x ＋5θ＝2x ＋5θ＋2k π(舍去)或

－2x ＋5θ＋2x ＋5θ＝2k π＋π(k ∈Z )，即10θ＝2k π＋π，故θ＝k π5＋π10(k

∈Z )．

答案 k π5＋π10，k ∈Z

8．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周

期为π，且f (0)＝3，则ω＝________， φ＝________.

解析 由原函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)．又由f (0)＝3且|φ|<π2得到φ＝π3.

答案 2 π3

9．函数y ＝－52sin ?

????4x ＋2π3的图象与x 轴的各个交点中，离原点最近的一点是__________．

解析 令－52sin ? ??

??4x ＋2π3＝0. 则4x ＋2π3＝k π，∴x ＝k π4－π6，k ∈Z .

故取k ＝1时，x ＝π12.

∴离原点最近的一点是? ??

??π12，0.

答案 ? ??

??π12，0 10．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0) 的图象向右平移π4个单位长度，

所得图象经过点? ??

??3π4，0，则ω的最小值是________． 解析 把f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得：y ＝

sin ??????

ω? ????x －π4.

又所得图象过点? ????

3π4，0，

∴sin ??????

ω? ????3π4－π4＝0.

∴sin ωπ2＝0.

∴ωπ2＝k π(k ∈Z )．

∴ω＝2k (k ∈Z )．

∵ω>0，∴ω的最小值为2.

答案 2

11．设函数f (x )＝3sin ? ????ωx ＋π6，ω＞0，且以π2为最小正周期．

(1)求f (x )的解析式；

(2)当x ∈??????

－π12，π6时，求f (x )的最值．

解 (1)∵f (x )的最小正周期为π2，∴ω＝2π

π2

＝4.

∴f (x )＝3sin ? ????

4x ＋π6.

(2)由x ∈????

??－π12，π6， 得4x ＋π6∈????

??－π6，5π6， sin ? ????4x ＋π6∈????

??－12，1. ∴当sin ?

????4x ＋π6＝－12， 即x ＝－π12时，f (x )有最小值－32，

当sin ?

????4x ＋π6＝1，即x ＝π12时，f (x )有最大值3. 12．设函数f (x )＝sin ? ????12x ＋φ?

????0<φ<π2，y ＝f (x )的图象的一条对称轴是直线x ＝π4.

(1)求φ；

(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．

解 (1)∵x ＝π4是y ＝f (x )图象的一条对称轴，

∴sin ? ??

??12×π4＋φ＝±1. ∴π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .

∵0<φ<π2，∴φ＝3π8.

(2)由(1)知φ＝3π8，

∴f (x )＝sin ? ??

??12x ＋3π8. 由题意得

2k π－π2≤12x ＋3π8≤2k π＋π2，k ∈Z ，

即4k π－74π≤x ≤4k π＋π4，k ∈Z .

∴函数y ＝f (x )的单调增区间为

?

?????4k π－74π，4k π＋π4(k ∈Z )． 13．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )，在一个周期内的图象如下图所示，求直线y ＝3与函数f (x )图象的所有交点的坐标．

解 由图象得A ＝2，

T ＝72π－? ??

??－π2＝4π. 则ω＝2πT ＝12，故y ＝2sin ? ??

??12x ＋φ. 又12×? ??

??－π2＋φ＝0，∴φ＝π4. ∴y ＝2sin ? ??

??12x ＋π4. 由条件知3＝2sin ? ??

??12x ＋π4， 得12x ＋π4＝2k π＋π3(k ∈Z )，

或12x ＋π4＝2k π＋23π(k ∈Z )．

∴x ＝4k π＋π6(k ∈Z )，或x ＝4k π＋56π(k ∈Z )．

则所有交点的坐标为

? ????4k π＋π6，3或? ??

??4k π＋5π6，3(k ∈Z )．

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