2013年全国高考理科数学试题圆锥曲线专题汇编 - 图文
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2013年全国高考理科数学试题圆锥曲线专题汇编
一、选择题
1 .(2013年高考江西卷(理))过点(2,0)引直线l与曲线y?1?x2相交于A,B两点,O为坐标原点,
当?AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于 A.y?EB?BC?CD【答案】B
( )
3 3B.?3 3C.?3 3D.?3 x22 .(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD版))双曲线?y2?1的顶点到
4其渐近线的距离等于 A.
( )
2 5B.
4 5C.25 5D.45 5【答案】C
3 .(2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯WORD版))已知中心在原点的双曲线C的
3F?3,0?右焦点为,离心率等于2,在双曲线C的方程是
x2y2??15A.4
【答案】B
( )
x2y2??15B.4 x2y2??15C.2
x2y2??15D.2
x2y254 .(2013年高考新课标1(理))已知双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的离心率为,则C的渐近
ab2线方程为 A.y??( )
B.y??1x 41x 3C.y??1x 2D.y??x
【答案】C
x2y2?2?1与5 .(2013年高考湖北卷(理))已知0???,则双曲线C1:2cos?sin?4?y2x2C2:2?2?1的
sin?sin?tan2?A.实轴长相等 【答案】D
B.虚轴长相等
C.焦距相等
D.离心率相等
( )
y?1的渐近线的距离是 ( ) 6 .(2013年高考四川卷(理))抛物线y?4x的焦点到双曲线x?32221
A.
1 2B.3 2C.1 D.3
【答案】B
7 .(2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯WORD版))如图,F1,F2是椭圆
x2C1:?y2?1与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形
4AF1BF2为矩形,则C2的离心率是
y A F1 O B (第9题图)
F2 x
C.
( )
A.2 【答案】D
B.3
3 2D.
6 2x2y28 .(2013年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)ab的两条渐近线与抛物线y2?2px(p?0)的准线分别交于A, B两点, O为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB的面积为3, 则p = A.1 【答案】C
B.
3 2( )
C.2
D.3
x2y2??19 .(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD版含答案(已校对))椭圆C:43的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是??2,?1?,那么直线PA1斜率的取值范围是 A.?,?
24【答案】B
10.(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD版含答案(已校对))已知抛物线C:y?8x与点M??2,2?,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若MAMB?0,则k? ( )
2
2( )
B.?,?
84?13????33???1? C.?,?1??2?1? D.?,?3??4?
A.
1 2B.2 2C.2 D.2
【答案】D
x2y211.(2013年高考北京卷(理))若双曲线2?2?1的离心率为3,则其渐近线方程为 ( )
abA.y=±2x 【答案】B
B.y=?2x
C.y??1x 2D.y??2x 212.(2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))已知抛物线
C1y?:
12x2p(p?0)x22?y?1C23CC的焦点与双曲线:的右焦点的连线交1于第一象限的点M.若1在点M处的切线平
行于
C2的一条渐近线,则p?
( )
3A.16
【答案】D
3B.8 23C.3 43D.3
x2y213.(2013年高考新课标1(理))已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线
ab交椭圆于A,B两点.若AB的中点坐标为(1,?1),则E的方程为
( )
x2y2??1 A.
4536x2y2??1 B.
3627x2y2??1 C.
2718x2y2??1 D.
189【答案】D 14.(2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯WORD版含答案))设抛物线
C:y2?2px(p?0)的焦点为F,点M在C上,MF?5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的
方程为
A.y?4x或y?8x C.y?4x或y?16x
2222( )
B.y?2x或y?8x D.y?2x或y?16x
2222【答案】C 15.(2013年上海市春季高考数学试卷(含答案))已知A、 B为平面内两定点,过该平面内动点M作直线
AB的垂线,垂足为N.若MN??AN?NB,其中?为常数,则动点M的轨迹不可能是 ( )
A.圆
2B.椭圆 C.抛物线
3
D.双曲线
【答案】C
16.(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))已知圆C1:?x?2???y?3??1,
圆C2:?x?3???y?4??9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则PM?PN的最小值为 A.52?4
B.17?1
C.6?22 D.17
( )
2222【答案】A 二、填空题 17.(2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD版含附加题))双曲线
x2y2??1的两条渐近线的方程为_____________. 169【答案】y??3x 42x2y2??1相交于18.(2013年高考江西卷(理))抛物线x?2py(p?0)的焦点为F,其准线与双曲线33A,B两点,若?ABF为等边三角形,则P?_____________
【答案】6
x2y219.(2013年高考湖南卷(理))设F1,F2是双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点,P是C上一点,
ab若PF1?PF2?6a,且?PF1F2的最小内角为30,则C的离心率为___. 【答案】3
20.(2013年高考上海卷(理))设AB是椭圆?的长轴,点C在?上,且?CBA?则?的两个焦点之间的距离为________ 【答案】
21.(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD版))已知直线y?a交抛物线y?x于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得?ABC为直角,则a的取值范围为___ _____. 【答案】[1,??)
22.( 2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD版含附加题))抛物线
2?4,若AB=4,BC?2,46. 3y?x2在x?1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部与边界).若点P(x,y)是
4
区域D内的任意一点,则x?2y的取值范围是__________.
【答案】??2,?
2??1?? 23.(2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD版含附加题))在平面直
x2y2角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为2?2?1(a?0,b?0),右焦点为F,右准线为l,短轴的一
ab个端点为B,设原点到直线BF的距离为d1,F到l的距离为d2,若d2?_______. 【答案】
6d1,则椭圆C的离心率为
3
3
x2y224.(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD版))椭圆?:2?2?1(a?b?0)ab的左.右焦点分别为F1,F2,焦距为2c,若直线y?3(x?c)与椭圆?的一个交点M满足
?MF1F2?2?MF2F1,则该椭圆的离心率等于__________
【答案】3?1
x2y2525.(2013年高考陕西卷(理))双曲线??1的离心率为, 则m等于___9_____.
16m4【答案】9
x2y226.(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD版))已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)ab的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,B,F若
AB?10,AF?6,cos?ABF?【答案】
4,则C的离心率e=______. 55 7227.(2013年上海市春季高考数学试卷(含答案))抛物线y?8x的准线方程是_______________ 【答案】x??2 28.(2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学)(已校对纯WORD版含附加题))在平面直
角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y?
1
(x?0)图象上一动点,若点P,A之间的最短距x
离为22,则满足条件的实数a的所有值为_______.
5
【答案】?1或10
229.(2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯WORD版))设F为抛物线C:y?4x的
焦点,过点P(?1,0)的直线l交抛物线C于两点A,B,点Q为线段AB的中点,若|FQ|?2,则直线的斜率等于________.
【答案】?1 三、解答题 30.(2013年上海市春季高考数学试卷(含答案))本题共有2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分9
分.
0)、F2(1, 0),短轴的两个端点分别为B1、 B2 已知椭圆C的两个焦点分别为F1(?1,(1)若?F1B1B2为等边三角形,求椭圆C的方程;
(2)若椭圆C的短轴长为2,过点F2的直线l与椭圆C相交于P、,求直线l的方 Q两点,且F1P?FQ1程.
[解](1) (2)
x2y2【答案】[解](1)设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0).
ab根据题意知??a?2b22?a?b?1, 解得a?2421,b? 33x2y2??1. 故椭圆C的方程为
4133x2?y2?1. (2)容易求得椭圆C的方程为2当直线l的斜率不存在时,其方程为x?1,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线l的方程为y?k(x?1).
?y?k(x?1)?2222(2k?1)x?4kx?2(k?1)?0. 由?x2 得2??y?1?2 y1), Q(x2, y2),则 设P(x1,6
4k22(k2?1)x1?x2?2, x1x2?, F1P?(x1?1, y1), FQ?(x2?1, y2) 12k?12k2?1因为F?0,即 1P?FQ1,所以F1P?FQ1(x1?1)(x2?1)?y1y2?x1x2?(x1?x2)?1?k2(x1?1)(x2?1) ?(k2?1)x1x2?(k2?1)(x1?x2)?k2?1
7k2?1?2?0, 2k?1解得k?271,即k??. 77故直线l的方程为x?7y?1?0或x?7y?1?0.
x2y231.(2013年高考四川卷(理))已知椭圆C:2?2?1,(a?b?0)的两个焦点分别为F1(?1,0),F2(1,0),
ab41且椭圆C经过点P(,).
33(Ⅰ)求椭圆C的离心率;
(Ⅱ)设过点A(0,2)的直线l与椭圆C交于M、N两点,点Q是线段MN上的点,且
211??,求点Q的轨迹方程. 222|AQ||AM||AN|
?4??1??4??1?【答案】解:2a?PF1?PF2???1???????1?????22
?3??3??3??3?所以,a?22222. 又由已知,c?1, 所以椭圆C的离心率e?c12 ??a22x2????由???知椭圆C的方程为?y2?1.
2设点Q的坐标为(x,y).
?35?x(1)当直线l与轴垂直时,直线l与椭圆C交于?0,1?,?0,?1?两点,此时Q点坐标为?0,2???? 5??(2) 当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y?kx?2.
7
因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1?2),(x2,kx2?2),则
AM?(1?k2)x12,AN?(1?k2)x22. 又AQ?x2??y?2??(1?k2)x2.
由
22222AQ2?1AM2?1AN2,得
211,即 ??222222?1?k?x?1?k?x1?1?k?x2211?x1?x2??2x1x2 ① ???22222xx1x2x1x2x2?y2?1中,得 将y?kx?2代入22?2k2?1?x2?8kx?6?0 ②
2由???8k??4?2k?1?6?0,得k?22??3. 28k6,xx?, 12222k?12k?1182代入①中并化简,得x? ③ 210k?3y?222因为点Q在直线y?kx?2上,所以k?,代入③中并化简,得10?y?2??3x?18.
x由②可知x1?x2??由③及k?2?6??6?332,00,,可知0?x?,即x???. ???????22?2??2???35?66?22又?0,2????满足10?y?2??3x?18,故x????2,2??. 5????由题意,Q?x,y?在椭圆C内部,所以?1?y?1, 又由10?y?2??18?3x有
22?135??99?,2??y?2???,?且?1?y?1,则y???. ?5425????2所以点Q的轨迹方程是10?y?2??3x?18,其中,x???22????166?35?,y?,2?,??? ??22?5??2x2y232.(2013年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))椭圆C:2?2?1(a?b?0)ab8
的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设?F1PF2的角平分线PM交C 的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过P点作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线
3,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. 211?PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k?0,试证明为定值,并求出这个定值. kk1kk2
x2y2b2?2?1y??2222x??cc?a?baba 【答案】解:(Ⅰ)由于,将代入椭圆方程得32b2c?1e??22 a由题意知a,即a?2b 又
x2?y2?1所以a?2,b?1 所以椭圆方程为4
(Ⅱ)由题意可知:PF1?PMPF2?PMPF1?PMPF2?PM2=,=,设P(x0,y0)其中x0?4,将向|PF1||PM||PF2||PM||PF1||PF2|232量坐标代入并化简得:m(4x0?16)?3x0?12x0,因为x0?4,
所以m?333x0,而x0?(?2,2),所以m?(?,) 422(3)由题意可知,l为椭圆的在p点处的切线,由导数法可求得,切线方程为: xy0y0x0x11?,k2??y0y?1,所以k??0,而k1?,代入中得 4y0kkkk4x?3x?312x?3x0?311???4(0?)??8为定值. kk1kk2x0x09
x2?y2?1,曲线C2:|y|?|x|?1,P33.(2013年高考上海卷(理))(3分+5分+8分)如图,已知曲线C1:2是平面上一点,若存在过点P的直线与C1,C2都有公共点,则称P为“C1—C2型点”.
(1)在正确证明C1的左焦点是“C1—C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);
(2)设直线y?kx与C2有公共点,求证|k|?1,进而证明原点不是“C1—C2型点”; (3)求证:圆x?y?221内的点都不是“C1—C2型点”. 2
【答案】:(1)C1的左焦点为F(?3,0),过F的直线x??3与C1交于(?3,?2),与C2交于2(?3,?(3?1)),故C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为x??3; (2)直线y?kx与C2有交点,则
?y?kx?(|k|?1)|x|?1,若方程组有解,则必须|k|?1; ??|y|?|x|?1直线y?kx与C2有交点,则
?y?kx1222k?,若方程组有解,则必须 ?(1?2k)x?2?222x?2y?2?故直线y?kx至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”. (3)显然过圆x?y?221内一点的直线l若与曲线C1有交点,则斜率必存在; 2根据对称性,不妨设直线l斜率存在且与曲线C2交于点(t,t?1)(t?0),则
l:y?(t?1)?k(x?t)?kx?y?(1?t?kt)?0
直线l与圆x?y?221|1?t?kt|2内部有交点,故 ?222k?110
化简得,(1?t?tk)2?12(k?1)............① 2若直线l与曲线C1有交点,则
?y?kx?kt?t?112?22?(k?)x?2k(1?t?kt)x?(1?t?kt)?1?0 ?x222?y?1??21??4k2(1?t?kt)2?4(k2?)[(1?t?kt)2?1]?0?(1?t?kt)2?2(k2?1)
2化简得,(1?t?kt)?2(k?1).....②
2212(k?1)?k2?1 2122但此时,因为t?0,[1?t(1?k)]?1,(k?1)?1,即①式不成立;
212当k?时,①式也不成立
2122综上,直线l若与圆x?y?内有交点,则不可能同时与曲线C1和C2有交点,
2122即圆x?y?内的点都不是“C1-C2型点” .
2由①②得,2(k?1)?(1?t?tk)?2234.(2013年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD版))如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,10).分别将线段OA和AB十等分,分点分别记
*为A1,A2,....A9和B1,B2,....B9,连结OBi,过Ai做x轴的垂线与OBi交于点Pi(i?N,1?i?9). *(1)求证:点Pi(i?N,1?i?9)都在同一条抛物线上,并求该抛物线E的方程;
(2)过点C做直线与抛物线E交于不同的两点M,N,若?OCM与?OCN的面积比为4:1,求直线的方程.
【答案】解:(Ⅰ)依题意,过Ai(i?N,1?i?9)且与x轴垂直的直线方程为x?i
*Bi(10,i),?直线OBi的方程为y?ix 10?x?i12?y?x,即x2?10y, 设Pi坐标为(x,y),由?得:i10y?x?10??Pi(i?N*,1?i?9)都在同一条抛物线上,且抛物线E方程为x2?10y
(Ⅱ)依题意:直线的斜率存在,设直线的方程为y?kx?10
11
由??y?kx?102x?10kx?100?0 得2?x?10y2此时??100k+400?0,直线与抛物线E恒有两个不同的交点M,N 设:M(x1,y1)N(x2,y2),则??x1?x2?10k
?x1?x2??100S?OCM?4S?OCN?x1?4x2
又
x1?x2?0,?x1??4x2
分别带入?3?y?kx?10k??,解得 22?x?10y直线的方程为y??3x+10,即3x?2y?20?0或3x+2y?20?0 2235.(2013年高考湖南卷(理))过抛物线E:x?2py(p?0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同的
直线l1,l2,且k1?k2?2,l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D.以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在的直线记为l.
2(I)若k1?0,k2?0,证明;FMFN?2P;
(II)若点M到直线l的距离的最小值为【答案】解: (Ⅰ) F(0,75,求抛物线E的方程. 5p ).设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),M(x12,y12),N(x34,y34),2p直线l1方程:y?k1x?,与抛物线E方程联立,化简整理得:?x2?2pk1x?p2?0
2x?xp22?x1?x2?2k1p,x1?x2??p2?0?x12?12?k1p,y12?k1p??FM?(k1p,?k1p)22x?xp22同理,?x34?12?k2p,y34?k2p??FN?(k2p,?k2p).
22?FM?FN?k1k2p2?k1k2p2?p2k1k2(k1k2?1)
?k1?0,k2?0,k1?k2,2?k1?k2?2k1k2?k1k2?1,?FM?FN?p2k1k2(k1k2?1)?p2?1?(1?1)?2p2所以,FM?FN?2p2成立. (证毕) (Ⅱ)
221pp1p22设圆M、N的半径分别为r1,r2?r1?[(?y1)?(?y2)]?[p?2(k1p?)]?k1p?p,
2222212
?r1?k1p?p,同理2r1?k2p?p,
22设圆M、N的半径分别为r1,r2.则M、N的方程分别为(x?x12)2?(y?y12)2?r1,
(x?x34)2?(y?y34)2?r2,直线l的方程为:222(x34?x12)x?2(y34?y12)y?x12?x34?y12?y34-r1?r2?0.
?2p(k2?k1)x?2p(k2?k1)y?(x12?x34)(x12?x34)?(y12?y34)(y12?y34)?(r2-r1)(r2?r1)?0
?2p(k2?k1)x?2p(k2?k1)y?2p2(k1?k2)?p2(k1?k2)(k1?k2?1)?p2(k2?k1)(k1?k2?2)?0?x?2y?p?p(k1?k2?1)?p(k1?k2?2)?0?x?2y?0
2222222222222222222222112(?)2?(?)?1x?2y122k?k1?17p744点M(x12,y12)到直线l的距离d?|12|?p?||?p???555585521?p?8?抛物线的方程为x2?16y.
36.(2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯WORD版))如图,点P(0,?1)是椭圆
x2y2C1:2?2?1(a?b?0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2?y2?4的直径.l1,l2是过点P且互相
ab垂直的两条直线,其中l1交圆C2于两点,l2交椭圆C1于另一点D (1)求椭圆C1的方程; (2)求?ABD面积取最大值时直线l1的方程.
y l1 D O P A (第21题图)
l2 B x
x2?y2?1; 【答案】解:(Ⅰ)由已知得到b?1,且2a?4?a?2,所以椭圆的方程是413
1?0(Ⅱ)因为直线l1?l2,且都过点P(0,?1),所以设直线l1:y?kx?1?kx?y?,直线
l2:y??d?11x?1?x?ky?k?0,所以圆心(0,0)到直线l1:y?kx?1?kx?y?1?0的距离为k21?k,所以直线l1被圆x?y?4所截的弦AB?24?d222?23?4k21?k2;
?x?ky?k?0?222由?x2?kx?4x?8kx?0,所以
2??y?1?48k164k28k2?1xD?xP??2?|DP|?(1?2)2?2,所以 2k?4k(k?4)k?4S?ABD1123?4k28k2?184k2?34?84k2?3?|AB||DP|???2??2222k?4k?44k2?3?131?k?324k2?34k2?32?134k2?3134k2?3?324k2?3?134k2?3?32213?1613, 13当4k?3??k2?10510x?1 时等号成立,此时直线l1:y???k??22237.(2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))如题(21)图,椭圆的中心为原点O,
长轴在x轴上,离心率e?(1)求该椭圆的标准方程;
(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P?,过P,P?作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.若PQ?P?Q,求圆Q的标准方程.
2,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A?两点,AA??4. 2
【答案】
14
x2y2?1的38.(2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯WORD版))设椭圆E:2?2a1?a焦点在x轴上
(Ⅰ)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,P为椭圆E上的第一象限内的点,直线F2P交y轴与点Q,并且F1P?F1Q,证明:当a变化时,点p在某定直线上.
15
58x28x2??1. 【答案】解: (Ⅰ)?a?1?a,2c?1,a?1?a?c?a?,椭圆方程为:853222222(Ⅱ) 设F1(?c,0),F2(c,0),P(x,y),Q(0,m),则F2P?(x?c,y),QF2?(c,?m). 由1?a?0?a?(0,1)?x?(0,1),y?(0,1).
2?m(c?x)?yc F1P?(x?c,y),F1Q?(c,m).由F2P//QF2,F1P?F1Q得:??c(x?c)?my?0?x2y2?1?2?2a1?a???(x?c)(x?c)?y2?x2?y2?c2.联立?x2?y2?c2解得
?a2?1?a2?c2???2x22y2?2??1?x2?(y?1)2.?x?(0,1),y?(0,1)?x?1?y 222x?y?11?x?y所以动点P过定直线x?y?1?0.
39.(2013年高考新课标1(理))已知圆M:(x?1)?y?1,圆N:(x?1)?y?9,动圆P与M外切
并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线 C.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|. 【答案】由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1,圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3. 设动圆P的圆心为P(x,y),半径为R.
(Ⅰ)∵圆P与圆M外切且与圆N内切,∴|PM|+|PN|=(R?r1)?(r2?R)=r1?r2=4,
由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为3的椭圆(左顶点除外),
2222x2y2??1(x??2). 其方程为43(Ⅱ)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R?2≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2.
∴当圆P的半径最长时,其方程为(x?2)?y?4, 当l的倾斜角为90时,则l与y轴重合,可得|AB|=23. 02216
当l的倾斜角不为90时,由r1≠R知l不平行x轴,设l与x轴的交点为Q,则
0|QP|R=,可求得
|QM|r1Q(-4,0),∴设l:y?k(x?4),由l于圆M相切得|3k|1?k2?1,解得k??2. 4x2y222??1(x??2)并整理得7x2?8x?8?0,解得当k=时,将y?x?2代入4344x1,2=18?4?62,∴|AB|=1?k2|x1?x2|=.
77218时,由图形的对称性可知|AB|=, 4718或|AB|=23. 7当k=-综上,|AB|=
x2y240.(2013年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))设椭圆2?2?1(a?b?0)的左
ab343, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为. 33(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若
焦点为F, 离心率为AC·DB?AD·CB?8, 求k的值.
【答案】
17
x2y23141.(2013年高考江西卷(理))如图,椭圆C:2+2=1(a>b>0)经过点P(1,),离心率e=,直线l的方
ab22程为x=4.
(1) 求椭圆C的方程;
(2) AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数?,使得k1+k2=?k3.?若存在求?的值;若不存在,说明理由.
18
【答案】解:(1)由P(1,)在椭圆上得,依题设知a?2c,则b?3c ②
222②代入①解得c?1,a?4,b?3.
3219??1 ① 22a4b22x2y2??1. 故椭圆C的方程为43(2)方法一:由题意可设AB的斜率为k, 则直线AB的方程为y?k(x?1) ③
222222代入椭圆方程3x?4y?12并整理,得(4k?3)x?8kx?4(k?3)?0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有
8k24(k2?3)x1?x2?2,x1x2? ④
4k?34k2?3在方程③中令x?4得,M的坐标为(4,3k).
333y2?3k?2,k?2,k?2?k?1. 从而k1?23x1?1x2?14?12y1?注意到A,F,B共线,则有k?kAF?kBF,即有
y1y?2?k. x1?1x2?133y2?2?2?y1?y2?3(1?1) 所以k1?k2?x1?1x2?1x1?1x2?12x1?1x2?2y1?x1?x2?23?2k?? ⑤
2x1x2?(x1?x2)?119
8k2?2234k?3?2k?1, ④代入⑤得k1?k2?2k??228k24(k?3)??1224k?34k?31又k3?k?,所以k1?k2?2k3.故存在常数??2符合题意.
2方法二:设B(x0,y0)(x0?1),则直线FB的方程为:y?y0(x?1), x0?1令x?4,求得M(4,3y0), x0?12y0?x0?1,
2(x0?1)从而直线PM的斜率为k3?y0?y?(x?1)?x0?15x?83y0?,), 联立? ,得A(0222x?52x?500?x?y?1?3?4则直线PA的斜率为:k1?2y0?2x0?52y0?3,直线PB的斜率为:k2?,
2(x0?1)2(x0?1)所以k1?k2?2y0?2x0?52y0?32y0?x0?1???2k3,
2(x0?1)2(x0?1)x0?1故存在常数??2符合题意.
42.(2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯WORD版))已知抛物线C的顶点为原点,
其焦点F?0,c??c?0?到直线l:x?y?2?0的距离为
32.设P为直线l上的点,过点P作抛物线2C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(Ⅰ) 求抛物线C的方程;
(Ⅱ) 当点P?x0,y0?为直线l上的定点时,求直线AB的方程; (Ⅲ) 当点P在直线l上移动时,求AF?BF的最小值. 【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C的方程为x?4cy,由所以抛物线C的方程为x?4y. (Ⅱ) 抛物线C的方程为x?4y,即y?2220?c?22?32结合c?0,解得c?1. 2121x,求导得y??x 42x12x2211,y2?设A?x1,y1?,B?x2,y2?(其中y1?),则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2, 442220
x1x12x1x??y1,即x1x?2y?2y1?0 所以切线PA的方程为y?y1??x?x1?,即y?222同理可得切线PB的方程为x2x?2y?2y2?0
因为切线PA,PB均过点P?x0,y0?,所以x1x0?2y0?2y1?0,x2x0?2y0?2y2?0 所以?x1,y1?,?x2,y2?为方程x0x?2y0?2y?0的两组解. 所以直线AB的方程为x0x?2y?2y0?0.
(Ⅲ) 由抛物线定义可知AF?y1?1,BF?y2?1, 所以AF?BF??y1?1??y2?1??y1y2??y1?y2??1
?x0x?2y?2y0?0联立方程?2,消去x整理得y2??2y0?x02?y?y02?0
?x?4y22由一元二次方程根与系数的关系可得y1?y2?x0?2y0,y1y2?y0
所以AF?BF?y1y2??y1?y2??1?y02?x02?2y0?1 又点P?x0,y0?在直线l上,所以x0?y0?2,
1?9?所以y0?x0?2y0?1?2y0?2y0?5?2?y0???
2?2?2222所以当y0??19时, AF?BF取得最小值,且最小值为. 2243.(2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯WORD版含答案))平面直角坐标系xOyx2y2中,过椭圆M:2?2?1(a?b?0)的右焦点F作直x?y?3?0交M于A,B两点,P为AB的中点,
ab且OP的斜率为
1. 2(Ⅰ)求M的方程;
(Ⅱ)C,D为M上的两点,若四边形ABCD的对角线CD?AB,求四边形ABCD面积的最大值. 【答案】
21
44.(2013年高考湖北卷(理))如图,已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O,长轴均为MN且在x轴上,
短轴长分别为2m,2n?m?n?,过原点且不与x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D.记??m,?BDM和?ABN的面积分别为S1和S2. n22
(I)当直线l与y轴重合时,若S1??S2,求?的值;
(II)当?变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1??S2?并说明理由.
y A B M C O N x D 第21题图
m?1??1???n?m??1?1S??S2?m?n???m?n?,n【答案】解:(I)1
解得:??2?1(舍去小于1的根)
x2y2x2y2(II)设椭圆C1:2?2?1?a?m?,C2:2?2?1,直线l:ky?x
aman?ky?x222a?mk2am?22?y?1 ?y??xyA22222am??1a?mk??a2m2同理可得, 又
?BDM和?ABN的的高相等
?S1BDyB?yDyB?yA ???S2AByA?yByA?yB如果存在非零实数k使得S1??S2,则有???1?yA????1?yB,
22222a??2??1??1?????2???1???1??2?即:2,解得k?
4n2?3a??2n2k2a2?n2k2?当??1?2时,k2?0,存在这样的直线l;当1???1?2时,k2?0,不存在这样的直线l. x2?y2?1上的三个点,O是坐标原点. 45.(2013年高考北京卷(理))已知A、B、C是椭圆W:4(I)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;
23
(II)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.
x2?y2?1的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB【答案】解:(I)椭圆W:4相互垂直平分. 所以可设A(1,m),代入椭圆方程得
31. 所以菱形OABC的面?m2?1,即m??24积是
11|OB|?|AC|??2?2|m|?3. 22(II)假设四边形OABC为菱形. 因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为
y?kx?m(k?0,m?0).
?x2?4y2?4222由?消去y并整理得(1?4k)x?8kmx?4m?4?0. ?y?kx?mx1?x2x1?x24kmy1?y2m,. ???k??m?2221?4k221?4k4kmm所以AC的中点为M(?,).
1?4k21?4k21因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为?.
4k1因为k?(?)??1,所以AC与OB不垂直. 所以OABC不是菱形,与假设矛盾.
4k设A(x1,y1),C(x2,y2),则
所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形. 46.(2013年高考陕西卷(理))已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 已知点B(-1,0), 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是?PBQ的角平分线, 证明直线l过定点. 【答案】C
解:(Ⅰ) A(4,0),设圆心
(x,y),MN线段的中点为E,由几何图像知ME?MN,CA2?CM2?ME2?EC22?(x?4)2?y2?42?x2?y2?8x
(Ⅱ) 点B(-1,0), 设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题知y1?y2?0,y1y2?0,y1?8x1,y2?8x2.
22?y1?y2y?y??21?22?8(y1?y2)?y1y2(y2?y1)?0?8?y1y2?0直线PQx1?1x2?1y1?8y2?8y2?y112(x?x1)?y?y1?(8x?y1)
x2?x1y2?y12方程为:y?y1??y(y2?y1)?y1(y2?y1)?8x?y1?y(y2?y1)?8?8x?y?0,x?1
24
所以,直线PQ过定点(1,0) 47.(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD版))如图,抛物线
C1:x2?4y,C2:x2??2py?p?0?,点M?x0,y0?在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点为
1A,B(M为原点O时,A,B重合于O)x0?1?2,切线MA.的斜率为-.
2(I)求p的值;
(II)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程.A,B重合于O时,中点为O.
??
【答案】
25
48.(2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD版含答案(已校对))已知双曲线
x2y2C:2?2?1?a?0,b?0?的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y?2与C的两个交点间
ab的距离为6. (I)求a,b;;
(II)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A,B两点,且AF1?BF1,证明:AF2、AB、BF2成等比数列.
【答案】
26
49.(2013年上海市春季高考数学试卷(含答案))本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6
分.
y?4x 的焦点为F. 已知抛物线C:(1)点A、 P满足AP??2FA.当点A在抛物线C上运动时,求动点P的轨迹方程;
(2)在x轴上是否存在点Q,使得点Q关于直线y?2x的对称点在抛物线C上?如果存在,求所有满足条件的点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
2 yA),则AP?(x?xA, y),点A的坐标为(xA,【答案】(1)设动点P的坐标为(x, y?yA),
27
因为F的坐标为(1, 0),所以FA?(xA?1, yA),
y?yA)??2(xA?1, yA). 由AP??2FA得(x?xA,?x?xA??2(xA?1)?xA?2?x即? 解得?
y?y??2yy??y?AA?A代入y?4x,得到动点P的轨迹方程为y?8?4x.
(2)设点Q的坐标为(t, 0).点Q关于直线y?2x的对称点为Q?(x, y),
2231??yx??t?????x?t?52则? 解得?
?y?x?t?y?4t??5?2?2若Q?在C上,将Q?的坐标代入y?4x,得4t?15t?0,即t?0或t??215. 4所以存在满足题意的点Q,其坐标为(0, 0)和(?
15, 0). 428
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