北京市怀柔区2012届九年级上学期期末考试数学试题

怀柔区2011——2012学年度第一学期期末九年级教学质量检测

数 学 试 卷 2012.1

一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．1．?1的相反数是 （ ） 311A．?3 B．3 C．? D．

332．已知，△ABC中，∠C=90°，sin∠A=3，则∠A 的度数是 （ ） 2A．30° B．45° C．60° D． 90° 3．若反比例函数y?k?2的图象位于第二、四象限内，则k的取值范围是 （ ） xA．k??2 B．k??2 C．k?0 D．k?0

4．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC＝3，则弦AB的长为（ ）. A． 8

B．6

C．4

D．10

5．如图，D是△ABC边AB上一点，则下列四个条件不能单独判定．．．．．．△ABC∽△ACD的是( ) A．?B??ACD B．?ADC??ACB C．

6．如图，若将飞镖投中一个被平均分成6份的圆形靶子，则落在阴影部分的概率是 ( ) A．

7．如图，BC是⊙O的直径，A、D是⊙O上两点，若∠D = 35°，则∠OAC的度数是 ( )

A．35° B．55° C．65° D．70°

4题图

5题图

6题图

7题图

ACAB2? D．AC?AD?AB CDBC1512 B． C． D． 2633 1

8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，D是AB边上的一个动点（不与点A、B重合），过点D作CD的垂线交射线CA于点E．设AD=x，CE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是 ( )

二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）

9．如图，在△ABC中，DE∥BC，若DE=1，BC=3，那么△ADE与△ABC面积的比为 ．

10．如图，点A、B、C是半径为3cm的⊙O上三个点，且?ABC?30?， 则劣弧 ?AC 的长

是 .

11．如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上， 则∠AED的正弦值等于 ． A E DEOBA O B

BCCAC D 9题图 10题图 11题图 12．如下表，从左到右在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填

整数之和都相等，则第99个格子中的数为 ，2012个格子中的数为 . 3 a b c －1 2 …

三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：2sin45??2cos60??3tan60?+18. 14．已知抛物线y?x2?2x?8.

（1）用配方法把y?x2?2x?8化为y?(x?h)2?k形式；

（2）并指出：抛物线的顶点坐标是 ，抛物线的对称轴方程是 ，

2

抛物线与x轴交点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大. 解

15．解不等式： 4(x＋1)≤5x＋8，并把它的解集在数轴上表示出来． 解：

16．如图：已知，梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=3，BC=7. 求cos∠C. 解：

17. 以直线x?1为对称轴的抛物线过点A（3，0）和点B(0，3)，求此抛物线的解析式. 解：

D?BC∠C?90?，18．如图，在△ABC中，在AB边上取一点D，使B，过D作DE?ABC交AC于E，AC=8，BC=6．求DE的长．

E解： AD

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．如图，小明在十月一日到公园放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米， 此时小明正好站在A处，并测得?CBD?60，牵引底端B离地面1.5米， 求此时风筝离地面的高度． 解：

?B20．甲、乙两大型超市为了吸引顾客，都举行有奖酬宾活动，凡购物满200元，均可得到一次抽奖的机会，在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，抽奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券（在他们超市使用时，与人民币等值）的多少（如下表）．

甲超市．

球 礼金券（元） 乙超市：

3

两 红 20 一红一白 50 两 白 20

球 礼金券（元） 两 红 50 一红一白 20 两 白 50 （1）用树状图表示得到一次摸奖机会时中礼金券的所有情况； （2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物?请说明理由． 解：

21. 如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，?A?22.5，延长AB到点C，使得∠ACD=45°． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AB?22，求OC的长．

?DABC证明：

22．在△ABC中，∠C=120°，AC=BC，AB=4，半圆的圆心O在AB上，且与AC，BC分

别相切于点D，E.

C（1）求半圆O的半径；

DE（2）求图中阴影部分的面积.

解：

O

五、解答题（本题共22分，23题7分,24题7分，25题8分） 23．如图所示，在直角坐标系中，点A是反比例函数y1?OBk的图象上一点，AB?x轴的x正半轴于B点，C是OB的中点；一次函数y2?ax?b的图象经过A、C两点，并交y轴于点D?0，若S△AOD?4． ?2?，（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）观察图象，请指出在y轴的右侧，当y1?y2时x的取值范围，当y1＜y2时x的取值范围．

解：

4

24. 把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转

?角，

旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，

（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为 ；

（2）当?CBD是等边三角形时，旋转角?的度数是 （?为锐角时）； （3）如图②，设EF与BC交于点G，当EG=CG时，求点G的坐标． (4) 如图③，当旋转角??90时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．

yEABD? yAFBEF? O C x

?OCDx图① 图② 图③

解：

25．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，?1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，

C两点（点B在点C的左侧）. 已知A点坐标为（0，3）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D， 如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，?PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和?PAC的最大面积. 解：

5

y D A O B C x

(第25题)

参考答案

一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． ．．题 号 答 案 1 D 2 C 3 B 4 A 5 C 11

6 A 7 B 12 2； －1

8 C 二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9 10 题号

答案

1 9π

5 5三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：2sin45??2cos60??3tan60?+18.

21+2?-3?3+32…………………………4分 22 =2+1-3+32 =42-2………………………………………………5分

解: 原式=2?14．已知抛物线y?x2?2x?8.

（1）用配方法把y?x2?2x?8化为y?(x?h)2?k形式；

（2）并指出：抛物线的顶点坐标是 ，抛物线的对称轴方程是 ，

抛物线与x轴交点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大.

解（1）y?x2?2x?8

=x2－2x+1－1－8

=(x－1)2 －9.………………………………………………3分

(2)抛物线的顶点坐标是 (1，－9)

抛物线的对称轴方程是 x=1 ……………………………4分 抛物线与x轴交点坐标是（－2，0）（4，0）；

当x ＞1 时，y随x的增大而增大. ………………………………5分 15．解不等式： 4(x＋1)≤5x＋8，并把它的解集在数轴上表示出来． 解： 去括号，得 4x＋4≤5x＋8 ……………………………… 1分 移项、合并同类项，得－x≤4……………………………… 3分

系数化为1，得 x≥?4 ……………………………… 4分

不等式的解集在数轴上表示如下：

-5 -4 -3 -2 1 2 ………………… 5分 -1 0

6

16．如图：已知，梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=3，BC=7. 求cos∠C.

解:方法一、作DE⊥BC，如图1所示，…………1分 ∵AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=3， ∴四边形ABED是正方形.…………………2分 ∴DE=BE=AB=3. 又∵BC=7， ∴EC=4，……………………………………3分 图1 由勾股定理得CD=5.…………………………4分 ∴ cos∠C=

EC4?.…………………………5分 CD5方法二、作AE∥CD，如图2所示，……………1分 ∴∠1=∠C，

∵AD∥BC， ∴四边形AECD是平行四边形.………………2分 ∵AB=AD=3，

∴EC=AD=3， 又∵BC=7， ∴BE=4，……………………………………3分 ∵ AB⊥BC，由勾股定理得AE=5. ………………4分 ∴ cos∠C= cos∠1=

图2 BE4?. …………………………5分 AE517. 以直线x?1为对称轴的抛物线过点A（3，0）和点B(0，3)，求此抛物线的解析式. 解：设抛物线的解析式为y?a(x?1)?b， ………………………………………1分

2?4a?b?0,?a??1, 解得? … ………4分 ?抛物线过点A（3，0）和B(0，3). ∴?a?b?3.b?4.??∴抛物线的解析式为y??x?2x?3. ……………………………………5分

2D?BC∠C?90?，18．如图，在△ABC中，在AB边上取一点D，使B交AC于E，AC?8，BC?6．求DE的长．

，过D作DE?AB，BC?6， 解：在△ABC中，∠C?90，AC?8 ?AB??AC2?BC2?10．…………………2分

CE 又?BD?BC?6，

?4． ?AD?AB?BD ?DE?AB，

?∠ADE?∠C?90． 又?∠A?∠A，

7

?ADB

∽△AB．C………………………………4分 ?△AEDDEAD?． BCACAD4?BC??6?3.………………………5分 DE?AC8四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．如图，小明在十月一日到公园放风筝，风筝飞到C处时的线长为20米，

?此时小明正好站在A处，并测得?CBD?60，牵引底端B离地面1.5米， 求此时风筝离地面的高度．

解：依题意得，?CDB??BAE??ABD??AED?90?， ∴四边形ABDE是矩形 ，…………1分

?DE?AB?1.5. ……………2分

在Rt△BCD中，sin?CBD??CDBC, ……………3分

?又∵ BC?20 ，?CBD?60，

由sin60??CD BC∴ CD?BC?sin60??20?3?103 .……………4分 2?CE?103?1.5 .………………………………………5分

即此时风筝离地面的高度为103?1.5米 .

20．甲、乙两大型超市为了吸引顾客，都举行有奖酬宾活动，凡购物满200元，均可得到一次抽奖的机会，在一个纸盒里装有2个红球和2个白球，除颜色外其它都相同，抽奖者一次从中摸出两个球，根据球的颜色决定送礼金券（在他们超市使用时，与人民币等值）的多少（如下表）．

甲超市．

球 礼金券（元） 乙超市：

球 礼金券（元） 两 红 50 一红一白 20 两 白 50 两 红 20 一红一白 50 两 白 20 ??（1）用树状图表示得到一次摸奖机会时中礼金券的所有情况； （2）如果只考虑中奖因素，你将会选择去哪个超市购物?请说明理由． 解：（1）树状图为：

…………2分

8

（2）∵去甲超市购物摸一次奖获50元礼金券的概率是P（甲）=分

去乙超市购物摸一次奖获50元礼金券的概率是P（乙）=

42=，…………36321=……………………4分 63∴我选择去甲超市购物……………………………………………………………………5分 21. 如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，?A?22.5，延长AB到点C，使得∠ACD=45°． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若AB?22，求OC的长． （1）证明：连接OD.

∵OA?OD，?A?22.5， ??ODA??A?22.5?，

????DOC?45? . ……………………1分

∵?ACD?45，

??ODC?90? ，

?OD?CD . ……………………2分

又∵点D在⊙O上， ∴CD是⊙O的切线 .……………………3分 （2）∵直径AB?22，

?DABCO1AB?2 . …………… 4分 2OD在Rt△OCD中，sinC? ，

OC2∴ sin45?? ，

OC2∵ sin45??，

2?OC?2 .……………………5分

?OD?22．在△ABC中，∠C=120°，AC=BC，AB=4，半圆的圆心O在AB上，且与AC，BC分

别相切于点D，E.

（1）求半圆O的半径；

（2）求图中阴影部分的面积. 解：（1）解：连结OD，OC，

∵半圆与AC，BC分别相切于点D，E.

∴?DCO??ECO，且OD?AC.…………………1分

C∵AC?BC， DE∴CO?AB且O是AB的中点.

1AB?2. 2∵?C?120?，∴?DCO?60?. ∴?A?30?. ∴AO?

9

OB

1AO?1. 2即半圆的半径为1. ……………………………………….3分

（2）设CO=x，则在Rt△AOC中，因为?A?30?，所以AC=2x，由勾股定理得：

∴在Rt△AOD中，OD? AC2?OC2?AO2 即 (2x)2?x2?22 解得 x?2323（x??舍去）

33∴ S△ABC?112343AB?OC??4??. …………………….4分 2233?, 2∵ 半圆的半径为1， ∴ 半圆的面积为

∴ S阴影?43?83?3???. 326….…………………………….5分

五、解答题（本题共22分，23题7分,24题7分，25题8分） 23．如图所示，在直角坐标系中，点A是反比例函数y1?k的图象上一点，AB?x轴的x正半轴于B点，C是OB的中点；一次函数y2?ax?b的图象经过A、C两点，并交y轴于点D?0，若S△AOD?4． ?2?，（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）观察图象，请指出在y轴的右侧，当y1?y2时x的取值范围，当y1＜y2时x的取值范围．

解：作AE?y轴于E ∵S△AOD?4，OD?2

12∴AE?4. ………………………………………1分

∴OD?AE?4.

∵AB?OB，C为OB的中点，

∴∠DOC?∠ABC?90?，OC?BC，∠OCD?∠BCA. ∴Rt△DOC≌Rt△ABC.…………………………………3分 ∴AB?OD?2. ∴A（4，2）.

10

将A（4，2）代入y1?k8中，得k?8. ?y1?． ……………4分 xx将A?4，得?2?和D?0，-2?代入y2?ax?b，?4a?b?2?a?1解之得：?

?b??2?b??2∴y2?x?2.…………………………………………………………………5分 （2）在y轴的右侧，当y1?y2时，0?x?4． ………………………6分

当y1＜y2时x＞4. ……………………………………………………7分

24. 把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转

?角,

旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，

（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为 ；

（2）当?CBD是等边三角形时，旋转角?的度数是 （?为锐角时）； （3）如图②，设EF与BC交于点G，当EG=CG时，求点G的坐标． (4) 如图③，当旋转角??90时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．

y A FEBD?yAFBE? O C x

?OCDx图① 图② 图③

解：（1）E（4，213） ………………………………………………1分

（2）60? …………………………………………………………………2分 （3）设CG?x，则EG?x，FG?6?x，

222在Rt△FGC中，∵CF?FG?CG，∴4?(6?x)?x，

2221313，即CG?. 3313∴G（4，）. …………………………………………………………4分

3解得 x?（4）设以点C为顶点的抛物线的解析式为y?a(x?4). 把A（0，6）代入得，6?a(0?4).

22 11

解得， a?3. 83(x?4)2.……………………………………6分 8∵矩形EDCF的对称中心为对角线FD、CE的交点H，

∴此抛物线的解析式为y?∴由题意可知H的坐标为（7，2）. 当x?7时，y?327(7?4)2??2， 88∴点H不在此抛物线上. ………………………………………………7分

25．如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，?1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，

C两点（点B在点C的左侧）. 已知A点坐标为（0，3）.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D， 如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，?PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和?PACy的最大面积.

解：（1）设抛物线为y?a(x?4)2?1.

∵抛物线经过点A（0，3），∴3?a(0?4)2?1.∴a?∴抛物线为y?1. 4D A B C 11(x?4)2?1?x2?2x?3. …………2分 44O (2) 答：l与⊙C相交. ……………………………………3分 x

12证明：当(x?4)?1?0时，x1?2，x2?6.

4∴B为（2，0），C为（6，0）. ∴AB?3?2?13. 设⊙C与BD相切于点E，连接CE， 则?BEC?90???AOB.

∵?ABD?90?，∴∠ABO＋∠CBE=90°. 又∵∠ABO＋∠BAO=90°，

∴?BAO??CBE.∴?AOB∽?BEC. ∴O 22(第25题) y D A Q E B P C x

8CEBCCE6?2???2.…………4分 .∴.∴CE?OBAB2131312

(第25题)

∵抛物线的对称轴l为x?4，∴C点到l的距离为2. ∴抛物线的对称轴l与⊙C相交. …………………5分 (3) 解：如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q.

1x?3.………………6分 2121设P点的坐标为（m，m?2m?3），则Q点的坐标为（m，?m?3）.

42112123∴PQ??m?3?(m?2m?3)??m?m.

244211233272∵S?PAC?S?PAQ?S?PCQ??(?m?m)?6??(m?3)?,

2424427 ∴当m?3时，?PAC的面积最大为.

43 此时，P点的坐标为（3，?）. …………………8分

4由点A（0,3）点C（6,0）可求出直线AC的解析式为y??解答(3)的关键是作PQ∥y轴交AC于Q，以PQ为公共底，OC就是高，用抛物线、直线解析式表示P、Q两点的纵坐标，利用三角形的面积推导出面积与P点横坐标m的函数关系式， 即：S?PAC??

评分说明：部分解答题有多种解法，以上各题只给出了部分解法，学生的其他解法可参照评分标准给分.

327(m?3)2?. 44 13

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