第2讲┃ 实数的运算与实数的大小比较

第2讲┃ 实数的运算与实数的大小比较

第2讲┃ 考点聚焦

考点聚焦考点1 实数的运算内容 运算 法则 运算 性质 运 算 顺 序 提醒 在实数范围内，加、减、乘、除(除数不为零)、乘方都可 (1)零指数、负整数指数 以进行，但开方运算不一定能进行，正实数和零总能进行 的意义. 开方运算，而负实数只能开奇次方，不能开偶次方 有理数的一切运算性质的运算律都适用于实数运算 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号 内的，若没有括号，在同一级运算中，要从左至右依次进 行运算 防止以下错 1 误：①3-2=- ;②2a-2 9 1 = 2;(2)遇到绝对值一 2a 般要先去掉绝对值符 号，再进行计算； (3)无论何种运算，都要 注意先定符号后运算

第2讲┃ 考点聚焦 考点2 实数的大小比较

大于 零，负数 ______ 正数________ 小于 零，正数 代数比较 大于 一切负数；两个正数，绝对值大的 ________ 规则 较大；两个负数，绝对值大的反而 ________ 小几何比较 在数轴上表示的两个实数， ________ 右边 的数总 左边 的数 规则 是大于 ________

第2讲┃ 考点聚焦 考点3 比较实数大小的常用方法差值比较法 设 a, b是任意两实数，则a- b>0 a>b; a- b<0 a<b; a- b= 0 a= b a a 设 a, b是两正实数，则 >1 a>b; = 1 b b a a= b; <1 a<b b 设 a, b是两负实数，则 |a|>|b | a<b; |a|= |b | a= b; |a |<|b | a>b 除此之外，还有平方法、倒数法等方法

商值比较法

绝对值 比较法 其他方法

第2讲┃ 归类示例

归类示例 类型之一 实数的运算

命题角度： 1.实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算； 2.实数的运算在实际生活中的应用.[2012· 丽水] 计算：2·sin60°+ -3 -

1 - 1 12- . 3

3 解：原式=2× +3-2 3-3 2 = 3+3-2 3-3 =- 3.

第2讲┃ 归类示例

(1)在进行实数的混合运算时，首先要明确与实数有关的概 念、 性质、 运算法则和运算律， 要弄清按怎样的运算顺序进行. 中 考中常常把绝对值、 锐角三角函数、 含根号的式子结合在一起考 查. (2)要注意零指数幂和负整数指数幂的意义. 1 -p 负整数指数的运算： a = p(a≠ 0,且 p 是正整数), a 零指数幂的运算： a0= 1(a≠ 0).

第2讲┃ 归类示例 类型之二 实数的大小比较

命题角度： 1.利用实数的比较大小法则比较大小； 2.实数的大小比较常用方法.1 当 0<x<1 时，x ,x,x的大小顺序是( C ) 1 1 2 2 A.x<x<x B.x<x <x 1 2 2 1 C.x <x<x D.x<x <x2

第2讲┃ 归类示例

1 [解析 ] 解法一：采用“特殊值法”来解，令 x= , 2 1 1 1 2 则 x = , = 2,∴ >x>x2. 4 x x 解法二：可用“

差值比较法”来解，∵当 0<x<1 时， 1- x>0, x- 1<0, x+ 1>0, ∴ x- x2= x(1- x)>0, 2 x -1 ( x+ 1)( x- 1) 1 2 ∴ x>x . 又 x- = = <0, x x x 1 1 2 ∴ x< , ∴ x <x< . x x

第2讲┃ 归类示例

如图 2-1,若 A 是实数 a 在数轴上对应的 点，则关于 a、-a、1 的大小关系表示正确的是 图 2-1 B.a<-a<1 D.-a<a<1 (A )

A.a<1<-a C.1<-a<a

[解析] 互为相反数所表示的点关于原点对称，所 以a,-a所表示的点关于原点对称，故a<1<-a.

第2讲┃ 归类示例

两个实数的大小比较方法有： (1)正数大于零，负数小于零； (2)利用数轴； (3)差值比较法； (4)商值比较法； (5)倒数法； (6)取特殊值法； (7)计算器比较法等.

第2讲┃ 归类示例 类型之三 实数与数轴

命题角度： 1.实数与数轴上的点一一对应关系； 2.数轴与相反数、倒数、绝对值等概念结合； 3.数轴与实数大小比较、实数运算结合； 4.利用数轴进行代数式的化简.

第2讲┃ 归类示例

[2012· 聊城] 在如图 2-2 所示的数轴上， 点 B 与点 C 关于点 A 对称，A、B 两点对应的实数分别是 3和-1,则 点 C 所对应的实数是 图 2-2 A.1+ 3 C.2 3-1 B.2+ 3 D.2 3+1 ( D )

[解析] 设点C所对应的实数是x. 则有x- 3= 3-(-1),解得x=2 3+1.

第2讲┃ 归类示例

(1)互为相反数所表示的点关于原点对称； (2)绝对值相等的数所表示的点到原点的距离相等； (3)实数与数轴上的点一一对应，故而常将实数及表 示实数的字母在数轴上表示出来，然后结合相反 数、绝对值及数轴上数的符号特征等相关知识来解 决实数的有关问题.

第2讲┃ 归类示例 类型之四 探索实数中的规律 命题角度： 1. 探究实数运算规律； 2. 实数运算中阅读理解问题. [2012· 广东] 观察下列等式：1 1 1 第1个等式：a1= = × 1- ; 1×3 2 3 1 1 1 1 第2个等式：a2= = × - ; 3×5 2 3 5 1 1 1 1 第3个等式：a3= = × - ; 5×7 2 5 7 1 1 1 1 第4个等式：a4= = × - ; 7×9 2 7 9

第2讲┃ 归类示例

请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式：a5=________= ______________; (2)用含n的代数式表示第n个等式：an= ________________= ________________(n为正整数); (3)求a1+ a2+ a3+ a4+ + a100的值.

第2讲┃ 归类示例

1 1 1 1 解：(1) × - 9×11 2 9 11 1 1 1 - 1 (2) × 2 (2n-1)×(2n+1) 2n- 1 2n+ 1

第2讲┃ 归类示例(3) a1+ a2+ a3+ a4+ + a100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = × 1- + × - + × - + × - + + 2 3 2 3 5 2 5

7 2 7 9 2 1 1 × - 199 201 1 1 1 1 1 1 1 1 = × 1-3 + 3-5 + 5-7 + 7-9 2 1 1 + + - 199 201 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = × 1- + - + - + - + + - 2 3 3 5 5 7 7 9 199 201

1 1 1 200 100 = × = × 1- = . 2 201 2 201 201

第2讲┃ 归类示例

关于数式规律性问题的一般解题思路：(1)先对给出 的特殊数式进行观察、比较；(2)根据观察、猜想、归纳 出一般规律； (3)用得到的规律去解决其他问题. 对数式进行观察的角度及方法： (1)横向观察：看等 号左右两边什么不变，什么在变，以及变化的数字或式 子间的关系； (2)纵向观察：将连续的几个式子上下对 齐，观察上下对应位置的式子什么不变，什么在变，以 及变化的数字或式子间的关系.

第2讲┃ 回归教材

回归教材实数的大小比较有窍门

教材母题 北师大版八上 P49 知识技能第 2 题通过估算，比较下面各组数的大小： 3-1 1 (1) , ; (2) 15,3.85. 2 2

第2讲┃ 回归教材

解：(1) ∵ 3<2, ∴ 3- 1< 1. 3- 1 1 故 < ; 2 2 (2)∵3.852=14.8225<15, ∴ 15>3.85.

第2讲┃ 回归教材

[点析 ] 实数大小比较的常用方法有根式被开方数大 小比较法、求近似值法、差值法、平方法等.

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