江苏省13市2015年中考数学试题分类解析汇编 专题20 压轴题

专题20：压轴题

1. （2015年江苏连云港3分）如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y （单位：件）与时间t （单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z （单位：元）与时间t （单位：天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是【 】

A. 第24天的销售量为200件

B. 第10天销售一件产品的利润是15元

C. 第12天与第30天这两天的日销售利润相等

D. 第30天的日销售利润是750元

【答案】C ．

【考点】一次函数的应用；待定系数法的应用；直线上点的坐标与方程的关系；分类思想的应用．

【分析】根据函数图象分别各选项进行分析判断：

A 、根据图①可得第24天的销售量为200件，故正确.

B ．设当0≤t ≤20，一件产品的销售利润z （单位：元）与时间t （单位：天）的函数关系为z kx b =+，

把（0，25），（20，5）代入得：25120525

b k k b b ==-?????+==??，∴25z x =-+. 当x =10时，102515z =-+=. 故正确.

C ．当0≤t ≤24时，设产品日销售量y （单位：件）与时间t （单位；天）的函数关系为11y k t b =+，

把（0，100），（24，200）代入得：11111

25100624200100b k k b b ?==?????+=??=?，∴251006y x =+， 当t =12时，y =150，122513z =-+=，

∴第12天的日销售利润为；150×13=1950（元），第30天的日销售利润为；150×5=750（元）. 而750≠1950，故C 错误.

D ．第30天的日销售利润为；150×5=750（元），故正确．

故选C ．

2. （2015年江苏南京2分）如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点M ，则DM 的长为【 】

A. 133

B. 92

【答案】A.

【考点】矩形的性质；切线的性质；正方形的判定和性质；切线长定理；勾股定理；方程思想的应用.

【分析】如答图，连接,,OE OF OG ，

则根据矩形和切线的性质知，四边形,AEOF FOGB 都是正方形.

∵AB =4，∴2AE AF BF BG ====.

∵AD =5，∴3DE DN ==.

设GM=NM=x ，则3,3CM BC BG GM x DM DN NM x =--=-=+=+ .

在Rt CDM ?中，由勾股定理得：222DM CD CM =+，即()()222343 x x +=+-，解得，43x =

. ∴133

DM =

． 故选A.

3. （2015年江苏苏州3分）如图，在一笔直的海岸线l 上有A 、B 两个观测站，AB =2km ，从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离（即CD 的长）为【 】

A ．4km B

．(2+km C

．

．(4-km

【答案】B ．

【考点】解直角三角形的应用（方向角问题）；矩形的判定和性质；等腰直角三角形的判定和性质.【分析】如答图，过点B作BE⊥AC交AC于点E，过点E作EF⊥CD交CD于点F，

则根据题意，四边形BDEF是矩形，△ABE、△EFC和△ADC都是等腰直角三角形，

∵AB=2，∴DF=BF= AB=2

，AE=. ∵∠EBC=∠BCE=22.5°，∴CE=BE=2.

∴CF==

∴2

CD DF CF

=+=km）.

∴船C离海岸线l

的距离为(2+ km.

故选B．

4. （2015年江苏泰州3分）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是【】

A. 1对

B. 2对

C. 3对

D. 4对

【答案】D.

【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定.

【分析】∵AB=AC，D是BC的中点，

∴根据等腰三角形三线合一的性质，易得,,

ADB ADC ODB ODC AOB AOC

??????

≌≌≌.

∵EF是AC的垂直平分线，

∴根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的性质，易得AOE COE

??

≌.

综上所述，图中全等的三角形的对数是4对.

故选D.

5. （2015年江苏无锡3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90o，AC＝3，BC＝4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为【】

A. 35

B. 45

C. 23

D. 2

【答案】B ．

【考点】翻折变换（折叠问题）；折叠的性质；等腰直角三角形的判定和性质；勾股定理．

【分析】根据折叠的性质可知34CD AC B C BC ACE DCE BCF B CF CE AB =='==∠=∠∠=∠'⊥，，，，，

∴431

B D DCE B CF ACE BCF '=-=∠+∠'=∠+∠，. ∵90ACB ∠=?，∴45ECF ∠=?. ∴ECF V 是等腰直角三角形. ∴45EF CE EF

C =∠=?，. ∴135BFC B FC ∠=∠'=?. ∴90B F

D ∠'=?. ∵1122

ABC S AC BC AB CE =??=??V ，∴AC BC AB CE ?=?. 在Rt ABC V 中，根据勾股定理，得A B=5，∴123455CE CE ?=??=.∴125

EF CE ==. 在Rt AEC V

中，根据勾股定理，得95AE =

=，∴95ED AE ==. ∴35

DF EF ED =-=. 在Rt B FD 'V

中，根据勾股定理，得45B F '===. 故选B ．

6. （2015年江苏徐州3分）若函数y kx b =-的图像如图所示，则关于x 的不等式()3>0k x b --的解集为

【 】

A. <2x

B. >2x

C. <5x

D. >5x

【答案】C.

【考点】直线的平移；不等式的图象解法；数形结合思想的应用.

【分析】如答图，将函数y kx b =-的图像向右平移3 个单位得到函数()3y k x b =--的图象，

由图象可知，当<5x 时，函数()3y k x b =--的图象在x 轴上方，即()3>0y k x b =--.

∴关于x 的不等式()3>0k x b --的解集为<5x .

故选

C.

7. （2015年江苏盐城3分）如图，在边长为2的正方形ABCD 中剪去一个边长为1的小正方形CEFG ，动点P 从点A 出发，沿A →D →E →F →G →B 的路线绕多边形的边匀速运动到点B 时停止（不含点A 和点B ），则△ABP 的面积S 随着时间t 变化的函数图像大致为【 】

A. B. C. D.

【答案】B. 【考点】单动点问题；函数图象的分析；正方形的性质；三角形的面积；分类思想和数形结合思想的应用.

【分析】根据题意，可知△ABP 的面积S 随着时间t 变化的函数图像分为五段：

当点P 从A →D 时，△ABP 的面积S 是t 的一次函数；

当点P 从D →E 时，△ABP 的面积S 不随t 的变化而变化，图象是平行于t 轴的一线段；

当点P 从E →F 时，△ABP 的面积S 是t 的一次函数；

当点P 从F →G 时，△ABP 的面积S 不随t 的变化而变化，图象是平行于t 轴的一线段；

当点P 从G →B 时，△ABP 的面积S 是t 的一次函数.

故选B.

8. （2015年江苏扬州3分）已知x =2是不等式(5)(32)0x ax a --+≤的解，且x =1不是这个不等式的解，则实数a 的取值范围是【 】

A. 1a >

B. 2a ≤

C. 12a <≤

D. 12a ≤≤

【答案】C.

【考点】不等式的解；解一元一次不等式组.

【分析】∵x =2是不等式(5)(32)0x ax a --+≤的解，且x =1不是这个不等式的解，

∴(25)(232)0212(15)(32)>0>1a a a a a a a --+≤≤????<≤??--+??

. 故选C.

9. （2015年江苏常州2分）将一张宽为4cm 的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是【 】

2 B.8 cm 2

2 D. 16cm 2 【答案】B ．

【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形的性质．.

【分析】如答图，当AC ⊥AB 时，三角形面积最小，

∵∠BA C=90°，∠ACB =45°，∴AB =AC =4cm.

∴S △ABC =12

×4×4=8cm 2． 故选B ．

10. （2015年江苏淮安3分）如图，l 1∥l 2∥l 3，直线a 、b 与l 1、l 2、l 3分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，若3

2=BC AB ，DE =4，则EF 的长是【 】

A. 38

B. 3

20 C. 6 D. 10 【答案】C.

【考点】平行线分线段成比例的性质.

【分析】∵l 1∥l 2∥l 3，∴DE AB EF BC

=. ∵23AB BC =，DE =4，∴4263

EF EF =?=. 故选C.

11. （2015年江苏南通3分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，弦AD 平分∠BAC ，交BC 于点E ，AB =6，AD =5，则AE 的长为【 】

A. 2.5

B. 2.8

C. 3

D. 3.2

【答案】B.

【考点】圆周角定理；勾股定理；相似三角形的判定和性质.

【分析】如答图，连接BD 、CD ，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°.

∴BD

∵弦AD平分∠BAC，∴CD=BD

∴∠CBD=∠DAB.

在△ABD和△BED中，∵∠BAD=∠EBD，∠ADB=∠BDE，

∴△ABD∽△BED. ∴DE DB

DB AD

=

11

55

DE

=?=.

∴

11

5 2.8

5

AE AB DE

=-=-=．

故选B.

12. （2015年江苏宿迁3分）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（3，0），点P在反比

例函数

2

y

x

=的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为【】

A. 2个

B. 4个

C. 5个

D. 6个

【答案】D．

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；圆周角定理；分类思想和数形结合思想的应用．【分析】如答图，若△PAB为直角三角形，分三种情况：

①当∠PAB=90°时，P点的横坐标为﹣3，此时P点有1个；

②当∠PBA=90°时，P点的横坐标为3，此时P点有1个；

③当∠APB=90°，以点O为圆心AB长为直径的圆与

2

y

x

=的图象交于4点，此时P点有4个．

综上所述，满足条件的P点有6个．故选D．

13. （2015年江苏镇江3分）如图，坐标原点O 为矩形ABCD 的对称中心，顶点A 的坐标为（1，t ），AB ∥x 轴，矩形A B C D ''''与矩形ABCD 是位似图形，点O 为位似中心，点A ′，B ′分别是点A ，B 的对应点，A B k AB

''=．已知关于x ，y 的二元一次方程2134mnx y n x y +=+??+=?

（m ，n 是实数）无解，在以m ，n 为坐标（记为（m ，n ））的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形A B C D ''''的边上，则k t ?的值等于【 】

A. 34

B. 1

C. 43

D. 32 【答案】D ．

【考点】位似变换；二元一次方程组的解；坐标与图形性质；反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系．

【分析】∵坐标原点O 为矩形ABCD 的对称中心，顶点A 的坐标为（1，t ），∴点C 的坐标为()1t -，-.

∵矩形A B C D ''''与矩形ABCD 是位似图形，A B k AB

''=， ∴点A ′的坐标为()k kt ，，点C ′的坐标为()k kt -，-.

∵关于x ，y 的二元一次方程2134mnx y n x y +=+??+=?

（m ，n 是实数）无解， ∴由()323mn x n -=-得mn =3，且32n ≠，即3n m

=（m ≠2）. ∵以m ，n 为坐标（记为（m ，n ））的所有的点中，有且只有一个点落在矩形A B C D ''''的边上， ∴反比例函数3n m

=的图象只经过点A ′或C ′. 而根据反比例函数的对称性，反比例函数3n m =

的图象同时经过点A ′或C ′，只有在32,2A ??' ??? ，32,2C ??'-- ??

? 时反比例函数3n m =的图象只经过点C ′. ∴3322

kt kt =-?=

-. 故选D ．

1. （2015年江苏连云港3分）如图，在△ABC 中，∠BAC =60°，∠ABC =90°，直线l 1∥l 2∥l 3，l 1与l 2之间距离是1，l 2与l 3之间距离是2，且l 1，l 2，l 3分别经过点A ，B ，C ，则边AC 的长为 ▲ ．

. 【考点】平行线的性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；相似三角形的判定和性质；勾股定理．

【分析】如答图，过点B 作EF ⊥l 2，交l 1于E ，交l 3于F ，

∵∠BAC =60°，∠ABC

=90°，∴BC tan BAC AB

∠=． ∵直线l 1∥l 2∥l 3，∴EF ⊥l 1，EF ⊥l 3. ∴∠AEB =∠BFC =90°．

∵∠ABC =90°，∴∠EAB =90°﹣∠ABE =∠FBC .

∴△BFC ∽△AEB

，∴FC BC EB AB

== ∵EB =1，∴FC

在Rt △BF C

中，

BC ==．

在Rt △ABC

中，BC AC sin BAC ===∠． 2. （2015年江苏南京2分）如图，过原点O 的直线与反比例函数y 1，y 2的图象在第一象限内分别交于点A 、B ，且A 为OB 的中点，若函数11y x

=，则y 2与

x 的函数表达式是 ▲ ．

【答案】24y x

=. 【考点】反比例函数的图象和性质；曲线上点的坐标与方程的关系；待定系数法的应用. 【分析】设y 2与x 的函数表达式是2k y x =

， ∵点B 在反比例函数y 2的图象上，∴可设,k B b b ?? ??

? . ∵A 为OB 的中点，∴,22b k A b ?? ???

. ∵点A 在反比例函数11y x =的图象上，∴122

k b

b =，解得4k =. ∴y 2与x 的函数表达式是24y x =

. 3. （2015年江苏苏州3分）如图，四边形ABCD 为矩形，过点D 作对角线BD 的垂线，交BC 的延长线于点E ，取BE 的中点F ，连接DF ，DF =4．设AB =x ，AD =y ，则()2

24x y +-的值为 ▲ ．

【答案】16.

【考点】代数式的几何意义；矩形的性质；直角三角形斜边上中线的性质；勾股定理.

【分析】∵四边形ABCD 为矩形，AB =x ，AD =y ，∴DC =x ，BC =y .

∵在Rt BDE ?中，点F 是斜边BE 的中点，DF =4，∴BF = DF =4.

∴在Rt DCF ?中，222DC CF DF +=，即()2

2244x y +-=.

∴()22416x y +-=.

4. （2015年江苏泰州3分）如图， 矩形ABCD 中，AB =8，BC =6，P 为AD 上一点， 将△ABP 沿BP 翻折至△EBP ， PE 与CD 相交于点O ，且OE =OD ，则AP 的长为 ▲ ．

【答案】245

. 【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；折叠对称的性质；勾股定理，全等三角形的判定和性质；方程思想的应用.

【分析】如答图，∵四边形ABCD 是矩形，

∴90,6,8D A C AD BC CD AB ∠=∠=∠=?==== .

根据折叠对称的性质，得ABP EBP ??≌，

∴,90,8EP AP E A BE AB =∠=∠=?== .

在ODP ?和OEG ?中，∵D E OD OE DOP EOG ∠=∠??=??∠=∠?

，

∴ODP ?≌()OEG ASA ?.∴,OP OG PG GE == .

∴DG EP =.

设AP EP x ==，则6,PD GE x DG x ==-= ，∴()8,862CG x BG x x =-=--=+ .

在Rt BCG ?中，根据勾股定理，得222BC CG BG +=，即()()222682x x +-=+.解得245x =

. ∴AP 的长为245

. 5. （2015年江苏无锡2分）某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：①如果不超过500元，则不予优惠；②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，超过800元的部分给予6折优惠．促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并付款，则她们总共只需付款 ▲ 元．

【答案】838或910．

【考点】函数模型的选择与应用；函数思想和分类思想的应用．

【分析】由题意知：小红付款单独付款480元，实际标价为480或480×0.8=600元，小红母亲单独付款520元，实际标价为520×0.8=650元，

如果一次购买标价480+650=1130元的商品应付款800×0.8+（1130﹣800）×0.6=838元；

如果一次购买标价600+650=1250元的商品应付款800×0.8+（1250﹣800）×0.6=910元．

∴答案为：838或910．

6. （2015年江苏徐州3分）用一个圆心角为90°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，该圆锥底面圆的半径 ▲ ．

【答案】1.

【考点】圆锥和扇形的计算。

【分析】∵扇形圆锥的圆心角为90°，半径为4，∴扇形的弧长为

9042180ππ??=. ∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，

∴根据圆的周长公式，得2=2r ππ，解得=1r .

7. （2015年江苏盐城3分）设△ABC 的面积为1，如图①将边BC 、AC 分别2等份，1BE 、1AD 相交于点O ，△AOB 的面积记为1S ；如图②将边BC 、AC 分别3等份，1BE 、1AD 相交于点O ，△AOB 的面积记为2S ；……，

依此类推，则n S 可表示为 ▲ ．(用含n 的代数式表示，其中n 为正整数

)

【答案】121

n +. 【考点】探索规律题（图形的变化类）；平行的判定和性质；相似三角形的判定和性质；等底或等高三角形面积的性质.

【分析】如答图，连接11D E ，可知11D E ∥BA .

在图①中，由题意，得11ABO OD E ??∽，且1112D E BA =，∴1111123

OE OB OE BE =?=. ∴1AE O ?和1BE A ?的1AE 边上高的比是13

.∴1111233AE O BE A ABO BE A S S S S ????=?=. 又∵112AE B ABC S S ??=，∴1211323

ABO ABC ABC S S S S ???==?=. 在图②中，由题意，得11ABO OD E ??∽，且1123D E BA =，∴1112235

OE OB OE BE =?=. ∴1AE O ?和1BE A ?的1AE 边上高的比是25.∴1112355

AE O BE A ABO BE A S S S S ????=?=. 又∵113AE B ABC S S ??=，∴2311535

ABO ABC ABC S S S S ???==?=. 在图③中，由题意，得11ABO OD E ??∽，且1134D E BA =，∴1113347

OE OB OE BE =?=. ∴1AE O ?和1BE A ?的1AE 边上高的比是37.∴1113477

AE O BE A ABO BE A S S S S ????=?=. 又∵114AE B ABC S S ??=，∴3411747ABO ABC ABC S S S S ???==?=. ……

依此类推， n S 可表示为121

n ABC S S n ?=+， ∵1ABC S ?=，∴121

n S n =+.

8. （2015年江苏扬州3分）如图，已知△ABC 的三边长为a b c 、、，且<

.

【答案】132<

【考点】阅读理解型问题；代数几何综合问题；图形的分割；平行的性质；相似三角形的判定和性质；不等式的性质.

【分析】设△ABC 的周长为m ，面积为S ，

如答图，设,AD x AE y == ，则,BD c x CE b y =-=- .

∵平行于三角形一边的直线l 将△ABC 的周长分成相等的两部分，

∴AD AE BD CE BC +=++，即x y c x b y a +=-+-+. ∴()1122

x y a b c m +=++=. ∵DC ∥BC ，∴ADE ABC ??∽.∴21s AD S AB ??= ???且()

122m AD AE AD AE x y m AB AC AB AC c b b c b c ++=====++++.

()

2m b c +.

()2m a b +

()2m a c +

.

∵<

)0<<<<<<222m m m a b a c b c b c a c b c +++?+++∴132<

9. （2015年江苏常州2分）如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB =3，AD =5，∠BAD =60°，点C 为弧BD 的中点，则AC 的长是 ▲ ．

. 【考点】全等三角形的判定和性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；方程思想的应用．

【分析】如答图，过点C 分别作CE ⊥AB 于点E ，CF ⊥AD 于点F ，

则∠E =∠CFD =∠CFA =90°，

∵点C 为弧BD 的中点，∴??BC

CD =.∴∠BAC =∠DAC ，BC =CD . ∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE =CF .

∵A 、B 、C 、D 四点共圆，∴∠D =∠CBE .

在△CBE 和△CDF 中，∵CBE D E CFD CE CF ∠=∠??∠=∠??=?

，∴△CBE ≌△CDF （AAS ）.∴BE =DF .

在△AEC 和△AFC 中，∵E AFC EAC FAC AC AC ∠=∠??∠=∠??=?

∴△AEC ≌△AFC （AAS ）.∴AE =AF .

设BE =DF =x ，

∵AB =3，AD =5，∴AE =AF =x +3，∴5=x +3+x ，解得：x =1，即AE =4.

∵∠BAD =60°，∴∠EAC=30°.

∴04cos cos60AE AC EAC ====∠

10. （2015年江苏淮安3分）将连续正整数按如下规律排列：

列若正整数565位于第a 行，第b 列，则b a +＝

▲ ． 【答案】147.

【考点】探索规律题（数字的变化类——循环问题）. 【分析】分别根据行和列的循环规律求解：

∵行的排列规律是4个数一行，而

5651

14144

=+，∴142a =. ∵列的排列规律是按照1—2—3—4—5—4—3—2列的顺序8个数一循环， 而5655

7088

=+， ∴5b =. ∴147a b +=.

11. （2015年江苏南通3分）关于x 的一元二次方程2310ax x --=的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】9

<<24

a --.

【考点】一元二次方程与二次函数的关系；一元二次方程根的判别式；二次函数的性质；分类思想和数形结合思想的应用.

【分析】∵关于x 的一元二次方程2310ax x --=的两个不相等的实数根，

∴()()2

009>94>341>04a a a a a ≠?≠?????-??-?=--??-????

且0a ≠. 设231y ax x =--

∵实数根都在﹣1和0之间，

∴当a ＞0时，如答图1，

由图可知， 当0x =时，>0y ；但0011y =--=-，矛盾，

∴此种情况不存在.

当a ＜0时，如答图2，

由图可知， 当1x =-时，<0y ，即31<0<2a a +-?-.

综上所述，a 的取值范围是9<<24a --.

12. （2015年江苏宿迁3分）当x =m 或x =n （m ≠n ）时，代数式223x x -+的值相等，则x =m +n 时，代数式223x x -+的值为 ▲ ．

【答案】3．

【考点】二次函数的性质；求代数式的值；整体思想的应用.

【分析】设223y x x =-+，

∵当x =m 或x =n （m ≠n ）时，代数式223x x -+的值相等，

∴抛物线223y x x =-+的对称轴2212

m n x -+=-

=?. ∴2m n +=.

∴当2x m n =+=时，222322233x x -+=-?+=.

13. （2015年江苏镇江2分）如图，△ABC 和△DBC 是两个具有公共边的全等三角形，AB =AC =3cm ，BC =2cm ，将△DBC 沿射线BC 平移一定的距离得到△D 1B 1C 1，连接AC 1，BD 1．如果四边形ABD 1C 1是矩形，那么平移的距离为 ▲ cm ．

【答案】7．

【考点】面动平移问题；相似三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；平移的性质．

【分析】如答图，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，

∵∠AEB =∠AEC 1=90°，∴∠BAE +∠ABC =90°.

∵AB =AC ，BC =2，∴BE =CE =12

BC =1， ∵四边形ABD 1C 1是矩形，∴∠BAC 1=90°.

∴∠ABC +∠AC 1B =90°. ∴∠BAE =∠AC 1B .

∴△ABE ∽△C 1BA . ∴1

BE AE AB BC =. ∵AB =3，BE =1，∴1

133BC =.∴BC 1=9. ∴CC 1=BC 1﹣BC =9﹣2=7，即平移的距离为7．

1. （2015年江苏连云港12分）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2的正方形ABCD

与边长为AEFG 按图1位置放置，AD 与AE 在同一直线上，AB 与A G 在同一直线上．

（1）小明发现DG ⊥BE ，请你帮他说明理由．

（2）如图2，小明将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转，当点B 恰好落在线段DG 上时，请你帮他求出此时BE 的长．

（3）如图3，小明将正方形ABCD 绕点A 继续逆时针旋转，将线段DG 与线段BE 相交，交点为H ，写出△GHE 与△BHD 面积之和的最大值，并简要说明理由．

【答案】解：（1）∵四边形ABCD 和四边形AEFG 都为正方形，∴AD =AB ，∠DAG =∠BAE =90°，AG =AE ，

∴△ADG ≌△ABE （SAS ）.∴∠AGD =∠AEB .

如答图1，延长EB 交DG 于点H ，

在△ADG 中，∵∠AGD +∠ADG =90°，

∴∠AEB +∠ADG =90°

.

在△EDH 中，∵∠AEB +∠ADG +∠DHE =180°，

∴∠DH E=90°. ∴DG ⊥BE .

（2）∵四边形ABCD 和四边形AEFG 都为正方形，∴AD =AB ，∠DAB =∠GAE =90°，AG =AE ，

∴∠DAB +∠BAG =∠GAE +∠BAG ，即∠DAG =∠BAE ，

∴△ADG ≌△ABE （SAS ）.∴DG =BE .

如答图2，过点A 作AM ⊥DG 交DG 于点M ，则∠AMD =∠AMG =90°，

∵BD 为正方形AB CD 的对角线，∴∠MDA =45°.

在Rt △AMD 中，∵∠MDA =45°，AD =2，

∴DM AM =在Rt △AMG

中，根据勾股定理得：GM

∵DG DM GM =+=

BE DG ==

（3）△GHE 和△BHD 面积之和的最大值为6，理由如下：

∵对于△EGH ，点H 在以E G 为直径的圆上，∴当点H 与点A 重合时，△EGH 的高最大；

∵对于△BDH ，点H 在以BD 为直径的圆上，∴当点H 与点A 重合时，△BDH 的高最大.

∴△GHE 和△BHD 面积之和的最大值为2+4=6．

【考点】面动旋转问题；正方形的性质；全等三角形的判定和性质；三角形内角和定理；等腰直角三角形的性质，勾股定理；数形结合思想的应用．

【分析】（1）由四边形ABCD 与四边形AEFG 为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS 得到△ADG ≌△ABE ，利用全等三角形对应角相等得∠AGD =∠AEB ，作辅助线“延长EB 交D G 于点H ”，利用等角的余角相等得到∠DHE =90°，从而利用垂直的定义即可得DG ⊥BE .

（2）由四边形ABCD 与四边形AEFG 为正方形，利用正方形的性质得到两对边相等，且夹角相等，利用SAS 得到△ADG ≌△ABE ，利用全等三角形对应边相等得到DG =BE ，作辅助线“过点A 作AM ⊥DG 交DG 于点M ”，则∠AMD =∠AMG =90°，在Rt △AMD 中，根据等腰直角三角形的性质求出AM 的长，即为DM 的长，根据勾股定理求出GM 的长，进而确定出DG 的长，即为BE 的长.

（3）△GHE 和△BHD 面积之和的最大值为6，理由为：对两个三角形，点H 分别在以EG 为直径的圆上和以BD 为直径的圆上，当点H 与点A 重合时，两个三角形的高最大，即可确定出面积的最大值．

2. （2015年江苏连云港14分）如图，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线214

y x =

交于A ，B 两点，其中点A 的横坐标是﹣2．

（1）求这条直线的函数关系式及点B 的坐标． （2）在x 轴上是否存在点C ，使得△ABC 是直角三角形？若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）过线段AB 上一点P ，作P M ∥x 轴，交抛物线于点M ，点M 在第一象限，点N （0，1），当点M 的横坐标为何值时，MN +3MP 的长度最大？最大值是多少？

【答案】解：（1）∵点A 是直线与抛物线的交点，且横坐标为﹣2， ∴()21214

y =?-=.∴A 点的坐标为（2，﹣1）. 设直线AB 的函数关系式为y kx b =+，

将（0，4），（﹣2，1）代入得421b k b =??-+=?，解得324

k b ?=???=?. ∴直线AB 的函数关系式为342

y x =+. ∵直线与抛物线相交，∴联立，得2

34214y x y x ?=+????=??

，解得：21x y =-??=?或816x y =??=?.

∴点B 的坐标为（8，16）.

（2）如答图1，过点B 作BG ∥x 轴，过点A 作AG ∥y 轴，交点为G ，

∴222AG BG AB +=，

∵由A （﹣2，1），B （8，16）根据勾股定理，得AB 2

=325．

设点C （c ，0），

根据勾股定理，得()22222145AC c c c =++=++，