数值分析第二章答案

第二章 插值法

1．当x 1, 1,2时，f(x) 0, 3,4,求f(x)的二次插值多项式。 解：

x0 1,x1 1,x2 2,

f(x0) 0,f(x1) 3,f(x2) 4;l0(x) l1(x) l2(x)

(x x1)(x x2)1

(x 1)(x 2)

(x0 x1)(x0 x2)2(x x0)(x x2)1

(x 1)(x 2)

(x1 x0)(x1 x2)6

(x x0)(x x1)1

(x 1)(x 1)

(x2 x0)(x2 x1)3

则二次拉格朗日插值多项式为

L2(x) yklk(x)

k 0

2

3l0(x) 4l2(x)

(x 1)(x 2)

124

(x 1)(x 1) 3

5237x x 623

2．给出f(x) lnx的数值表

用线性插值及二次插值计算的近似值。

解：由表格知，

x0 0.4,x1 0.5,x2 0.6,x3 0.7,x4 0.8;f(x0) 0.916291,f(x1) 0.693147f(x2) 0.510826,f(x3) 0.356675f(x4) 0.223144

若采用线性插值法计算ln0.54即f(0.54)， 则0.5 0.54 0.6

l1(x) l2(x)

x x2

10(x 0.6)x1 x2

x x1

10(x 0.5)

x2 x1

L1(x) f(x1)l1(x) f(x2)l2(x)

6.9314x7 (

0.6) (5.x1 0826

L1(0.54) 0.6202186 0.620219

若采用二次插值法计算ln0.54时，

l0(x) l1(x) l2(x)

(x x1)(x x2)

50(x 0.5)(x 0.6)

(x0 x1)(x0 x2)

(x x0)(x x2)

100(x 0.4)(x 0.6)

(x1 x0)(x1 x2) (x x0)(x x1)

50(x 0.4)(x 0.5)

(x2 x0)(x2 x1)

L2(x) f(x0)l0(x) f(x1)l1(x) f(x2)l2(x)

50 0.9162x91 (x0. 5)( 0.6)x69. 31x47 (0. 140)8(260.5 60)x(0. 0.54x)( 0.5

L2(0.54 ) 0.61531 9 84

0. 615320

3．给全cosx,0 x 90的函数表，步长h 1 (1/60),若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cosx近似值时的总误差界。

解：求解cosx近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cosx的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。 当0 x 90时， 令f(x) cosx 取x0 0,h (

1 1

)

606018010800

令xi x0 ih,i 0,1,...,5400 则x5400

2

90

当x xk,xk 1 时，线性插值多项式为

L1(x) f(xk)

插值余项为

x xk 1x xk

f(xk 1)

xk xk 1xk 1 xk

R(x) cosx L1(x)

1

f ( )(x xk)(x xk 1) 2

又 在建立函数表时，表中数据具有5位有效数字，且cosx 0,1 ，故计算中有误差传播过程。

1

(f*(xk)) 10 5

2R2(x) (f*(xk)) (f*(xk))(

x xk 1x xk 1

(f*(xk 1))

xk xk 1xk 1 xk

x xk 1x xk 1

)

xk xk 1xk 1 xk

1

(f*(xk))(xk 1 x x xk)

h

(f*(xk))

总误差界为 R R1(x) R2(x)

1

( cos )(x xk)(x xk 1) (f*(xk))21

(x xk)(xk 1 x) (f*(xk))2 11

(h)2 (f*(xk))22

1

1.06 10 8 10 5

2

0.50106 10 5

4．设为互异节点，求证： （1）

n

xl(x) x

kjjj 0n

k

(k 0,1, n, )

（2）证明

(x

j 0

j

x)klj(x) 0 (k 0,1, n, )

（1） 令f(x) x

k

若插值节点为xj,j 0,1, ,n，则函数f(x)的n次插值多项式为Ln(x)

xl(x)。

kjjj 0

n

f(n 1)( )

插值余项为Rn(x) f(x) Ln(x) n 1(x)

(n 1)!

又 k n,

f(n 1)( ) 0 Rn(x) 0

n

k

xk n, )jlj(x) x (k 0,1,j 0

(2) (xj x)klj(x)

j 0

n

( Ckjxij( x)k i)lj(x)

j 0n

i 0i

k

nn

C( x)( xijlj(x))

k i

i 0

j 0

n

又 0 i n 由上题结论可知

xl(x) x

kjj

i

j 0

n

原式 Cki( x)k ixi

i 0

n

(x x)k 0

得证。

5设f(x) C

2

a,b 且f(a) f(b) 0,求证：

1

maxf(x) (b a)2maxf (x a x ba x b8

解：令x0 a,x1 b，以此为插值节点，则线性插值多项式为

L1(x) f(x0)

= f(a)

x x1x x0

f(x1)

x0 x1x x0

x bx a

f(b)

a bx a

又 f(a) f(b) 0 L1(x) 0

插值余项为R(x) f(x) L1(x)

1

f (x)(x x0)(x x1) 2

f(x)

1

f (x)(x x0)(x x1) 2

又 (x x0)(x x1)

2

1 (x x0) (x1 x) 2

12 (x1 x0)41

(b a)2

4

1

maxf(x) (b a)2maxf (x a x ba x b8

6．在 4 x 4上给出f(x) e的等距节点函数表，若用二次插值求e的近似值，要使截断误差不超过10，问使用函数表的步长h应取多少？

解：若插值节点为xi 1,xi和xi 1，则分段二次插值多项式的插值余项为

6

x

x

1

f ( )(x xi 1)(x xi)(x xi 1) 3!1

R2(x) (x xi 1)(x xi)(x xi 1)maxf (x)

4 x 46R2(x)

设步长为h，即xi 1 xi h,xi 1 xi

h

1343

R2(x) e4 eh.

627若截断误差不超过10，则

6

R2(x) 10 643

h 10 6 27

h 0.0065.7．若yn 2,求 yn及 yn.，

解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。

n

4

4

yn 2n

4yn (E 1)4yn

j 4 4 j

( 1) Eyn

j 0 j 4

j 4 ( 1) y4 n j

j 0 j 4 j 4 4 j ( 1)2 yn j 0 j (2 14)yn

4

yn 2n

12

124

yn (E E)yn

(E)(E 1)4yn

E yn

2

4 124

4

yn 2 2n 2

8．如果f(x)是m次多项式，记 f(x) f(x h) f(x)，证明f(x)的k阶差分

kf(x)(0 k m)是m k次多项式，并且 m 1f(x) 0（l为正整数）。

解：函数f(x)的Taylor展式为

f(x h) f(x) f (x)h

其中 (x,x h)

11(m)1

f (x)h2 f(x)hm f(m 1)( )hm 1 2m!(m 1)!

又 f(x)是次数为m的多项式

f(m 1)( ) 0

f(x) f(x h) f(x)

f (x)h

11(m)

f (x)h2 f(x)hm 2m!

f(x)为m 1阶多项式 2f(x) ( f(x)) 2f(x)为m 2阶多项式

依此过程递推，得 f(x)是m k次多项式

k

mf(x)是常数

当l为正整数时，

m 1f(x) 0

9．证明 (fkgk) fk gk gk 1 fk 证明

(fkgk) fk 1gk 1 fkgk

fk 1gk 1 fkgk 1 fkgk 1 fkgk

gk 1(fk 1 fk) fk(gk 1 gk) gk 1 fk fk gk fk gk gk 1 fk

得证

10．证明

f g

kk 0

n 1

k

fngn f0g0 gk 1 fk

k 0

n 1

证明：由上题结论可知

fk gk (fkgk) gk 1 fk

fk gk

k 0n 1

n 1

( (fkgk) gk 1 fk)

k 0n 1

(fkgk) gk 1 fk

k 0

k 0

n 1

(fkgk) fk 1gk 1 fkgk (fkgk)

k 0n 1

(f1g1 f0g0) (f2g2 f1g1) (fngn fn 1gn 1) fngn f0g0

fk gk fngn f0g0 gk 1 fk

k 0

k 0

n 1

n 1

得证。 11．证明

j 0

n 1

2

yj yn y0

证明

j 0

n 1

2

yj ( yj 1 yj)

j 0

n 1

得证。

( y1 y0) ( y2 y1) ( yn yn 1) yn y0

12．若f(x) a0 a1x an 1x证明：

n 1

anxn有n个不同实根x1,x2, ,xn，

j 1

n

xk 0,0 k n 2;j

1 f (xj) n0,k n 1

证明： f(x)有个不同实根x1,x2, ,xn 且f(x) a0 a1x an 1x

n 1

anxn

f(x) an(x x1)(x x2) (x xn)

令 n(x) (x x1)(x x2) (x xn) 则

j 1

n

nxkxkjj

(xj)f (xj)j 1an n

(x) (x x2)(x x3) (x xn) (x x1)(x x3) (x xn) 而 n

(x x1)(x x2) (x xn 1)

(xj) (xj x1)(xj x2) (xj xj 1)(xj xj 1) (xj xn) n

令g(x) x,

k

xkj

g x1,x2, ,xn

(x)j 1nj

n

xkj

则g x1,x2, ,xn

j 1 n(xj)

n

又

n

j 1

n

xk1j

g x1,x2, ,xn f (xj)an

j 1

xk 0,0 k n 2;j

1 f (xj) n0,k n 1

得证。

13．证明n阶均差有下列性质：

（1）若F(x) cf(x)，则F x0,x1, ,xn cf x0,x1, ,xn ;

（2）若F(x) f(x) g(x)，则F x0,x1, ,xn f x0,x1, ,xn g x0,x1, ,xn . 证明：

f(xj)

（1） f x1,x2, ,xn

j 0(xj x0) (xj xj 1)(xj xj 1) (xj xn)

n

F(xj)

F x1,x2, ,xn

(x x) (x x)(x x) (x x)j 0j0jj 1jj 1jn

n

cf(xj)

j 0(xj x0) (xj xj 1)(xj xj 1) (xj xn)

n

f(xj)

) c(

(x x) (x x)(x x) (x x)j 0j0jj 1jj 1jn

n

cf x0,x1, ,xn

得证。

(2) F(x) f(x) g(x)

F(xj)

F x0, ,xn

(x x) (x x)(x x) (x x)j 0j0jj 1jj 1jn

n

f(xj) g(xj)

j 0(xj x0) (xj xj 1)(xj xj 1) (xj xn)

n

f(xj)

)

(x x) (x x)(x x) (x x)j 0j0jj 1jj 1jn

n

g(xj)

) +

j 0(xj x0) (xj xj 1)(xj xj 1) (xj xn)

n

f x0, ,xn g x0, ,xn

得证。

01701874

14．f(x) x x 3x 1,求F 2,2, ,2 及F 2,2, ,2 。

解： f(x) x x 3x 1 若xi 2,i 0,1, ,8

i

74

f(n)( )

则f x0,x1, ,xn

n!f(7)( )7!

f x0,x1, ,x7 1

7!7!f(8)( )

f x0,x1, ,x8 0

8!

15．证明两点三次埃尔米特插值余项是 R3(x) f解：

若x [xk,xk 1]，且插值多项式满足条件

(4)

()( x

k

x2) (x

k 1

x

2

) / 4!,

k

x ( ,k1x

)

(xk) f (xk) H3(xk) f(xk),H3

(xk 1) f (xk 1) H3(xk 1) f(xk 1),H3

插值余项为R(x) f(x) H3(x) 由插值条件可知R(xk) R(xk 1) 0 且R (xk) R (xk 1) 0

R(x)可写成R(x) g(x)(x xk)2(x xk 1)2

其中g(x)是关于x的待定函数，

现把x看成[xk,xk 1]上的一个固定点，作函数

(t) f(t) H3(t) g(x)(t xk)2(t xk 1)2

根据余项性质，有

(xk) 0, (xk 1) 0

(x) f(x) H3(x) g(x)(x xk)2(x xk 1)2

f(x) H3(x) R(x) 0

(t) g(x)[2(t xk)(t xk 1)2 2(t xk 1)(t xk)2] (t) f (t) H3

(xk) 0

(xk 1) 0

由罗尔定理可知，存在 (xk,x)和 (x,xk 1)，使

( 1) 0, ( 2) 0

即 (x)在[xk,xk 1]上有四个互异零点。

根据罗尔定理， (t)在 (t)的两个零点间至少有一个零点， 故 (t)在(xk,xk 1)内至少有三个互异零点， 依此类推，

(4)

(t)在(xk,xk 1)内至少有一个零点。

记为 (xk,xk 1)使

(4)( ) f(4)( ) H3(4)( ) 4!g(x) 0

又 H3(t) 0

(4)

f(4)( )

g(x) , (xk,xk 1)

4!

其中 依赖于x

f(4)( )

R(x) (x xk)2(x xk 1)2

4!

分段三次埃尔米特插值时，若节点为xk(k 0,1, ,n)，设步长为h，即

xk x0 kh,k 0,1, ,n在小区间[xk,xk 1]上

f(4)( )

R(x) (x xk)2(x xk 1)2

4! 1(4)

R(x) f( )(x xk)2(x xk 1)2

4!

1

(x xk)2(xk 1 x)2maxf(4)(x)

a x b4!

1x xk xk 1 x22 [()]maxf(4)(x)

a x b4!2

114

4hmaxf(4)(x)

a x b4!2

h4 maxf(4)(x)384a x b

16．求一个次数不高于

4

次的多项式

P（x），使它满足

P(0) P (0) 0,P(1) P (1) 0,P(2) 0

解：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式

x0 0,x1 1y0 0,y1 1 m0 0,m1 1

1

1

H3(x) yj j(x) mj j(x)

j 0

j 0

0(x) (1 2

x x0x x12

)()x0 x1x0 x1x x1x x02

)()x1 x0x1 x0

(1 2x)(x 1)2

1(x) (1 2

(3 2x)x2

0(x) x(x 1)2 1(x) (x 1)x

2

H3(x) (3 2x)x2 (x 1)x2 x3 2x2

设P(x) H3(x) A(x x0)(x x1) 其中，A为待定常数

2

2

P(2) 1

P(x) x 2x Ax(x 1)

3

2

2

2

A

1 4

12

x(x 3)2 4)x

2

从而P(x)

x)1( /17．设f(

，在 5 x 5上取n 10，按等距节点求分段线性插值函数Ih(x)，

计算各节点间中点处的Ih(x)与f(x)值，并估计误差。 解：

若x0 5,x10 5 则步长h 1,

xi x0 ih,i 0,1, ,10

f(x)

1

2

1 x

在小区间[xi,xi 1]上，分段线性插值函数为

Ih(x)

x xi 1x xi

f(xi) f(xi 1)

xi xi 1xi 1 xi

11

(x x) i

1 xi21 xi 12

(xi 1 x)

各节点间中点处的Ih(x)与f(x)的值为 当x 4.5时，f(x) 0.0471,Ih(x) 0.0486 当x 3.5时，f(x) 0.0755,Ih(x) 0.0794 当x 2.5时，f(x) 0.1379,Ih(x) 0.1500 当x 1.5时，f(x) 0.3077,Ih(x) 0.3500 当x 0.5时，f(x) 0.8000,Ih(x) 0.7500 误差

h2

maxf(x) Ih(x) maxf ( ) xi x xi 18 5 x 5

1

2

1 x 2x

f (x) ,

(1 x2)2

又 f(x)

6x2 2

f (x)

(1 x2)324x 24x3

f (x)

(1 x2)4

令f (x) 0

得f (x)的驻点为x1,2 1和x3 0

1

f (x1,2) ,f (x3) 2

2

1

maxf(x) Ih(x) 5 x 54

18．求f(x) x在[a,b]上分段线性插值函数Ih(x)，并估计误差。 解：

在区间[a,b]上，x0 a,xn b,hi xi 1 xi,i 0,1, ,n 1,

2

h maxhi

0 i n 1

f(x) x

2

函数f(x)在小区间[xi,xi 1]上分段线性插值函数为

Ih(x)

x xi 1x xi

f(xi) f(xi 1)

xi xi 1xi 1 xi

12

[xi(xi 1 x) xi 12(x xi)]hi

误差为

1

maxf(x) Ih(x) maxf ( ) hi2xi x xi 18a b f(x) x2

f (x) 2x,f (x) 2h2

maxf(x) Ih(x) a x b4

19．求f(x) x在[a,b]上分段埃尔米特插值，并估计误差。 解：

在[a,b]区间上，x0 a,xn b,hi xi 1 xi,i 0,1, ,n 1, 令h maxhi

0 i n 1

4

f(x) x4,f (x) 4x3

函数f(x)在区间[xi,xi 1]上的分段埃尔米特插值函数为

Ih(x) ( ( ( (

x xi 12x xi

)(1 2)f(xi)xi xi 1xi 1 xi

x xi2x xi 1)(1 2)f(xi 1)xi 1 xixi xi 1x xi 12

)(x xi)f (xi)xi xi 1

x xi2

)(x xi 1)f (xi 1)xi 1 xi

xi4

3(x xi 1)2(hi 2x 2xi)hixi 14

3(x xi)2(hi 2x 2xi 1)hi

4xi2

(x x)i 1(x xi)2hi

3

4xi 13

2(x xi)2(x xi 1)hi

误差为

f(x) Ih(x)

1(4)

f( )(x xi)2(x xi 1)2 4!1h maxf(4)( )(i)424a x b2

又 f(x) x

4

f(4)(x) 4! 24

hi4h4

maxf(x) Ih(x) max a x b0 i n 11616

试求三次样条插值，并满足条件：

(1)S (0.25) 1.0000,S (0.53) 0.6868;

(2)S(0.25) S(0.53) 0.

解：

h0 x1 x0 0.05h1 x2 x1 0.09h2 x3 x2 0.06h3 x4 x3 0.08

j 1

hj 1hj 1 hj

, j

hjhj 1 hj

533

, 2 , 3 , 4 11457

1

924

, 2 , 3 , 0 11457

f(x1) f(x0)

f x0,x1 0.9540

x1 x0f x1,x2 0.8533f x2,x3 0.7717f x3,x4 0.7150

(1)S (x0) 1.0000,S (x4) 0.6868d0

6

(f x1,x2 f0 ) 5.5200h0

f x1,x2 f x0,x1

4.3157

h0 h1

f x2,x3 f x1,x2

3.2640

h1 h2

d1 6d2 6d3 6d4

f x3,x4 f x2,x3

2.4300

h2 h3

6

(f4 f x3,x4 ) 2.1150h3

由此得矩阵形式的方程组为

2 1 M0 5.5200

59 2 M1 4.3157 1414

32

2 M2 3.2640

55

34

2 M3 2.4300

77

1 2 M4 2.1150

求解此方程组得

M0 2.0278,M1 1.4643

M2 1.0313,M3 0.8070,M4 0.6539

三次样条表达式为

S(x) Mj (yj

(xj 1 x)3

6hj

2

Mj 1

(x xj)3

6hjMj 1hj

6

2

Mjhj

6

)

xj 1 xhj

(yj 1

)

x xjhj

(j 0,1, ,n 1)

将M0,M1,M2,M3,M4代入得

6.7593(0.30 x)3 4.8810(x 0.25)3 10.0169(0.30 x) 10.9662(x 0.25)

x 0.25,0.30

2.7117(0.39 x)3 1.9098(x 0.30)3 6.1075(0.39 x) 6.9544(x 0.30) x 0.30,0.39 S(x) 33

2.8647(0.45 x) 2.2422(x 0.39) 10.4186(0.45 x) 10.9662(x 0.39) x 0.39,0.45

1.6817(0.53 x)3 1.3623(x 0.45)3 8.3958(0.53 x) 9.1087(x 0.45) x 0.45,0.53 (2)S (x0) 0,S (x4) 0

d0 2f0 0,d1 4.3157,d2 3.2640

d3 2.4300,d4 2f4 0

0 4 0

由此得矩阵开工的方程组为

M0 M4 09 2 14

32 5

3 0

7

0

M1 4.3157 2

M 3.26402 5 M3 2.4300 2

求解此方程组，得

M0 0,M1 1.8809

M2 0.8616,M3 1.0304,M4 0

又 三次样条表达式为

S(x) Mj (yj

(xj 1 x)3

6hj

2

Mj 1

(x xj)3

6hjMj 1hj

6

2

Mjhj

6

)

xj 1 xhj

(yj 1

)

x xjhj

将M0,M1,M2,M3,M4代入得

6.2697(x 0.25)3 10(0.3 x) 10.9697(x 0.25)

x 0.25,0.30

3.4831(0.39 x)3 1.5956(x 0.3)3 6.1138(0.39 x) 6.9518(x 0.30) x 0.30,0.39 S(x) 33

2.3933(0.45 x) 2.8622(x 0.39) 10.4186(0.45 x) 11.1903(x 0.39) x 0.39,0.45

2.1467(0.53 x)3 8.3987(0.53 x) 9.1(x 0.45) x 0.45,0.53

21．若f(x) C

2

a,b ,S(x)是三次样条函数，证明：

b

2

a

(1)

b

a

f (x) dx S (x) dx

2

2

b

a

f (x) S (x)

dx 2 S (x) f (x) S (x) dx

a

b

2

(2)若f(xi) S(xi)(i 0,1, ,n)，式中xi为插值节点，且a x0 x1 xn b，则

b

a

S (x) f (x) S (x) dx

S (b) f (b) S (b) S (a) f (a) S (a)

证明：

(1)

b

f (x) S (x) a

2

ba

2

b

b

2

dx

2

ba

f (x) a

f (x) a

2

b

dx S (x) dx 2 f (x)S (x)dxdx S (x) dx 2 S (x) f (x) S (x) dx

a

a

b

b

2

b

从而有

a f (x)

ba

dx S (x) dx

a

2

2

f (x) S (x)

dx 2 S (x) f (x) S (x) dx

a

b

(2) S (x) f (x) S (x) dx

a

b

S (x)d f (x) S (x)

a

b

bb

S (x) f (x) S (x) f (x) S (x) d[S (x)]

aa

S (b) f (b) S (b) S (a) f (a) S (a) S (x) f (x) S (x) dx

ab

xk xk 1xk 1

S (b) f (b) S (b) S (a) f (a) S (a) S () f (x) S (x) dx

xk

2k 0 S (b) f (b) S (b) S (a) f (a) S (a) S (

k 0n 1

n 1

xk 1xk xk 1

) f(x) S(x)

xk2

S (b) f (b) S (b) S (a) f (a) S (a)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kb9h.html