全国各地2012年中考数学分类解析（159套）专题50 圆与圆的位置关

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2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）

专题50：圆与圆的位置关系

一、选择题

1. （2012上海市4分）如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是【 】 A． 外离 内含 【答案】D。

【考点】圆与圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，

∵两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，6﹣2=4，4＞3，即两圆圆心距离小于两

圆半径之差，

∴这两个圆的位置关系是内含。故选D。

2. （2012浙江杭州3分）若两圆的半径分别为2cm和6cm，圆心距为4cm，则这两圆的位置关系是【 】

A．内含 B．内切 C．外切 D．外离 【答案】B。

【考点】圆与圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，

∵两圆的半径分别为2cm和6cm，圆心距为4cm．则d=6﹣2=4。 ∴两圆内切。故选B。

3. （2012浙江宁波3分）如图，用邻边分别为a，b（a＜b）的矩形硬纸板裁出以a为直径的两个半圆，再裁出与矩形的较长边、两个半圆均相切的两个小圆．把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面，从而做成两个圣诞帽（拼接处材料忽略不计），则a与b满足的关系式是【 】

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B． 相切 C． 相交 D．

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A．b=

a B．b=5+12a C．b=52a D．b=2a

【答案】D。

【考点】圆锥的计算。

【分析】∵半圆的直径为a，∴半圆的弧长为

?2a。

∵把半圆作为圆锥形圣诞帽的侧面，小圆恰好能作为底面， ∴设小圆的半径为r，则：2?r=?2a，解得：r=

14a

如图小圆的圆心为B，半圆的圆心为C，作BA⊥CA于A点， 则由勾股定理，得：AC2+AB2=BC2，

???1???????即：?a?a?+?b?=?a+a?，整理得：b=2a。故选D。

4?4??2?2??22224. （2012浙江温州4分）已知⊙O1与⊙O2外切，O1O2=8cm，⊙O1的半径为5cm，则⊙O2的半径是【 】

A. 13cm. B. 8cm C. 6cm D. 3cm 【答案】D。

【考点】圆与圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。

因此，根据两圆外切，圆心距等于两圆半径之和，得该圆的半径是8－5=3（cm）。

故选D。

5. （2012江苏常州2分）已知两圆半径分别为7，3，圆心距为4，则这两圆的位置关系为【 】

A.外离 B.内切 C.相交 D.内含 【答案】B。

【考点】两圆的位置关系。

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【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，

∵两半径之差7－3等于两圆圆心距4，∴两圆内切。故选B。

6. （2012江苏宿迁3分）若⊙O1，⊙O2的半径是r1=2, r2=4，圆心距d=5，则这两个圆的位置关系是【 】 A.内切 【答案】B。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，

∵r1＋r2=6，r2－r1=2，d=5，∴r2－r1＜d r1＋r2。∴这两个圆的位置关系是相交。故选B。

7. （2012江苏扬州3分）已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3cm、5cm，且它们的圆心距为8cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是【 】

A．外切 B．相交 C．内切 D．内含

【答案】A。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，

∵3+5=8，即两圆圆心距离等于两圆半径之和，∴两圆外切。故选A。

8. （2012福建福州4分）⊙O1和⊙O2的半径分别是3cm和4cm，如果O1O2＝7cm，则这两圆的位置关系是【 】

A．内含 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】C。

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B.相交 C.外切 D.外离

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【考点】圆与圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，

∵ ⊙O1、⊙O2的半径分别是3cm、4cm，O1O2＝7cm， 又∵ 3＋4＝7，∴⊙O1和⊙O2的位置关系是外切。故选C。

9. （2012湖南常德3分）若两圆的半径分别为2和4，且圆心距为7，则两圆的位置关系为【 】

A. 外切 B. 内切 C. 外离 D. 相交 【答案】C。

【考点】圆与圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。

∵2+4=6＜7，即两圆半径之和小于圆心距，∴两圆外离。故选C。

10. （2012四川南充3分）如图，平面直角坐标系中，⊙O半径长为1.点⊙P（a,0），⊙P的半径长为2，把⊙P向左平移，当⊙P与⊙O相切时，a的值为【 】

（A）3 （B）1 （C）1，3 （D）±1，±3 【答案】D。

【考点】两圆的位置关系，平移的性质。

【分析】⊙P与⊙O相切时，有内切和外切两种情况：

∵⊙O 的圆心在原点，当⊙P与⊙O外切时，圆心距为1+2=3， 当⊙P与⊙O第内切时，圆心距为2-1=1，

当⊙P与⊙O第一次外切和内切时，⊙P圆心在x轴的正半轴上， ∴⊙P（3,0）或（1,0）。∴a=3或1。

当⊙P与⊙O第二次外切和内切时，⊙P圆心在x轴的负半轴上，

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∴⊙P（-3,0）或（-1,0）。∴a =-3或-1 。故选D。

11. （2012四川成都3分）已知两圆外切，圆心距为5cm，若其中一个圆的半径是3cm，则另一个圆的半径是【 】

A． 8cm B．5cm C．3cm D．2cm 【答案】D。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此， ∵两圆外切，圆心距为5cm，若一个圆的半径是3cm，∴另一个圆的半径=5﹣3=2（cm）。故选D。

12. （2012四川乐山3分）⊙O1的半径为3厘米，⊙O2的半径为2厘米，圆心距O1O2=5厘米，这两圆的位置关系是【 】

A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】D。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，

∵⊙O1的半径r=3，⊙O2的半径r=2，∴3+2=5。

∵两圆的圆心距为O1O2=5，∴两圆的位置关系是外切。故选D。

13. （2012四川巴中3分） 已知两圆的半径分别为1和3，当这两圆内含时，圆心距d的

范围是【 】

A. 0

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【考点】圆与圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，

由题意知，两圆内含，则0≤d＜3－1。故选D。

14. （2012辽宁营口3分）圆心距为2的两圆相切，其中一个圆的半径为1，则另一个圆的半径为【 】 (A)1 【答案】 D。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，两圆相切可能外切或内切。

当两圆外切时，另一个圆的半径为1（1＋1＝2）；

当两圆内切时，另一个圆的半径为3（3－1＝2）。 故选D。

15. （2012贵州毕节3分）第三十奥运会将于2012年7月27日在英国伦敦开幕，奥运会旗图案有五个圆环组成，下图也是一幅五环图案，在这个五个圆中，不存在的位置关系是．．．【 】

(B)3

(C)1或2 (D)1或3

A外离 B内切 C外切 D相交 【答案】B。

【考点】圆与圆的位置关系。

【分析】观察图形，五个等圆不可能内切，也不可能内含，并且有的两个圆只有一个公共点，即外切；有的两个圆没有公共点，即外离；有的两个圆有两个公共点，即相交。因此它们的

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位置关系有外切、外离、相交。故选B。

16. （2012贵州黔南4分）已知两圆相外切，连心线长度是10厘米，其中一圆的半径为6厘米，则另一圆的半径是【 】

A．16厘米 B．10厘米 C．6厘米 D．4厘米 【答案】D。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，由两圆相外切，连心线长度是10厘米，其中一圆的半径为6厘米可得另一圆的半径为10－6=4（厘米）。故选D。

17. （2012山东德州3分）如果两圆的半径分别为4和6，圆心距为10，那么这两圆的位置关系是【 】

A．内含 B．外离 C．相交 D．外切 【答案】D。

【考点】圆与圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，

∵两圆的半径分别为4和6，圆心距为10，∴4+6=10。∴这两圆的位置关系是外切。

故选D。

18. （2012山东青岛3分）已知⊙O1与⊙O2的半径分别为4和6，O1O2＝2，则⊙O1与⊙O2的位置关系是【 】

A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】A。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。

∵⊙O1与⊙O2的半径分别是4和6，O1O2=2，∴O1O2=6－4=2。

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∴⊙O1与⊙O2的位置关系是内切。故选A。

19. （2012山东烟台3分）如图，⊙O1，⊙O，⊙O2的半径均为2cm，⊙O3，⊙O4的半径均为1cm，⊙O与其他4个圆均相外切，图形既关于O1O2所在直线对称，又关于O3O4所在直线对称，则四边形O1O4O2O3的面积为【 】

A．12cm2 B．24cm2 C．36cm2 D．48cm2 【答案】 B。

【考点】相切两圆的性质，菱形的判定与性质。

【分析】连接O1O2，O3O4，由于图形既关于O1O2所在直线对称，又因为关于O3O4所在直线对称，故O1O2⊥O3O4，O、O1、O2共线，O、O3、O4共线，所以四边形O1O4O2O3的面积为

12O1O2×O3O4。

∵⊙O1，⊙O，⊙O2的半径均为2cm，⊙O3，⊙O4的半径均为1cm

∴⊙O的直径为4 cm，⊙O3的直径为2 cm。∴O1O2=2×8=8 cm，O3O4=4+2=6 cm， ∴S四边形O1O4O2O3=

12O1O2×O3O4=

12×8×6=24cm2。故选B。

20. （2012广西北海3分）已知两圆的半径分别是3和4，圆心距的长为1，则两圆的位置关系为：【 】

A．外离 【答案】C。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此， ∵两圆半径之差为1，等于圆心距，∴两圆的位置关系为内切。故选C。 21. （2012广西桂林3分）已知两圆半径为5cm和3cm，圆心距为3cm，则两圆的位置关系是【 】

A．相交 B．内含 C．内切 D．外切

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B．相交 C．内切 D．外切

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【答案】A。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此， ∵两圆半径之差2cm＜圆心距3cm＜两圆半径之和8cm，∴两圆的位置关系是相交。故选A。

22. （2012广西柳州3分）定圆O的半径是4cm，动圆P的半径是2cm，动圆在直线l上移

动，当两圆相 切时，OP的值是【 】

A．2cm或6cm B．2cm C．4cm D．6cm 【答案】A。

【考点】相切两圆的性质。

【分析】设定圆O的半径为R=4cm，动圆P的半径为r=2cm，分两种情况考虑：

当两圆外切时，圆心距OP=R+r=4+2=6cm；当两圆内切时，圆心距OP=R-r=4-2=2cm。 ∴OP的值为2cm或6cm。故选A。

23. （2012新疆区5分）若两圆的半径是方程x2﹣5x+6=0的两个根，且圆心距是5，则这两圆的位置关系是【 】

A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】C。

【考点】圆与圆的位置关系，因式分解法解一元二次方程。119281 【分析】∵x2﹣5x+6=0，∴（x﹣2）（x﹣3）=0，解得：x=2或x=3。

∵两圆的半径分别是方程x2﹣5x+6=0的两根，∴两圆的半径分别是2、3。 ∵圆心距是5，2+3=5，∴这两个圆的位置关系是外切。故选C。

24. （2012甘肃兰州4分）已知两圆的直径分别为2cm和4cm，圆心距为3cm，则这两个圆的位置关系是【 】

A．相交 B．外切 C．外离 D．内含

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【答案】A。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，

由题意知，两圆圆心距d＝3＞R－r＝2且d＝3＜R＋r＝6，故两圆相交。故选A。

25. （2012内蒙古赤峰3分）已知两圆的半径分别为3cm、4cm，圆心距为8cm，则两圆的位置关系是【 】 A．外离 D．内含 【答案】A。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，

∵两圆的半径分别为3cm、4cm，∴两圆的半径和为：3+4=7（cm）。 ∵圆心距为8cm＞7cm，∴两圆的位置关系是：外离。故选A。

二、填空题

1. （2012浙江丽水、金华4分）半径分别为3cm和4cm的两圆内切，这两圆的圆心距为 ▲ cm． 【答案】1。

【考点】圆与圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，

∵两个圆内切，且其半径分别为3cm和4cm，∴两个圆的圆心距为4－3＝1（cm）。

2. （2012江苏淮安3分）如图，⊙M与⊙N外切，MN＝10cm，若⊙M的半径为6cm，⊙N的半径为

▲ cm。

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B．相切 C．相交

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【答案】4。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，

由⊙M与⊙N外切，MN＝10cm，⊙M的半径为6cm，得⊙N的半径=10cm－6cm=4cm。 3. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）平面直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（0，2），半径为1，点N在x轴的正半轴上，如果以点N为圆心，半径为4的⊙N与⊙M相切，则圆心N的坐标为 ▲ ．

【答案】（21，0）或（5，0）。

【考点】相切两圆的性质，坐标与图形性质，勾股定理。 【分析】分别从⊙M与⊙N内切或外切去分析：

①⊙M与⊙N外切，MN=4+1=5，ON=MN2?OM2?52?22?∴圆心N的坐标为（21，0）。

2222②⊙M与⊙N内切，MN=4﹣1=3，ON=MN?OM?3?2?5，

21，

∴圆心N的坐标为（5，0）。

综上所述，圆心N的坐标为（21，0）或（5，0）。

4. （2012四川德阳3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），⊙A的半径是2，

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⊙P的半径是1，满足与⊙A及x轴都相切的⊙P有 ▲ 个. 【答案】4。

【考点】坐标与图形性质，圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系。

【分析】分两圆内切和两圆外切两种情况讨论即可得到⊙P的个数：如图，满足条件的⊙P有4个。

5. （2012四川攀枝花4分）如图，以BC为直径的⊙O1与⊙O2外切，⊙O1与⊙O2的外公切线交于点D，且∠ADC=60°，过B点的⊙O1的切线交其中一条外公切线于点A．若⊙O2的面积为π，则四边形ABCD的面积是 ▲ ．

【答案】123。

【考点】相切两圆的性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；；切线长定理。

【分析】∵⊙O2的面积为π，∴⊙O2的半径是1。

∵AB和AH是⊙O1的切线，∴AB=AH。

设⊙O2的半径是R，连接DO2，DO1，O2E，O1H，AO1，作O2F⊥BC于F。 ∵⊙O1与⊙O2外切，⊙O1与⊙O2的外公切线DC、DA，∠ADC=60° ∴D．O2、O1三点共线，∠CDO1=30°。 ∴∠DAO1=60°，∠O2EC=∠ECF=∠CFO2=90°。 ∴四边形CFO2E是矩形，

∴O2E=CF，CE=FO2，∠FO2O1=∠CDO1=30°。

∴DO2=2O2E=2，∠HAO1=60°，R+1=2（R﹣1），解得：R=3。 即DO1=2+1+3=6，

在Rt△CDO1中，由勾股定理得：CD=33。 ∵∠HO1A=90°﹣60°=30°，HO1=3，∴AH=3=AB。

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∴四边形ABCD的面积是：×（AB+CD）×BC=

2112×（3+33）×（3+3）=123。

6. （2012贵州六盘水4分）已知两圆的半径分别为2和3，两圆的圆心距为4，那么这两圆的位置关系是 ▲ ．

8. （2012甘肃白银4分）已知两圆的半径分别为3cm和4cm，这两圆的圆心距为1cm，则这两个圆的位置关系是 ▲ ． 【答案】内切。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此， ∵两圆半径之差=4－3=1=圆心距，∴两圆内切。

9. （2012甘肃兰州4分）如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大

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圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是 ▲ ．

【答案】8＜AB≤10。

【考点】直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理。

【分析】首先要弄清楚AB在什么时候最大，什么时候最小．当AB与小圆相切时有一个公共点，此时可知AB最小；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB最大，由此可以确定所以AB的取值范围：

如图，当AB与小圆相切时有一个公共点D，连接OA，OD，可得OD⊥AB， ∴D为AB的中点，即AD＝BD。

在Rt△ADO中，OD＝3，OA＝5，∴AD＝4。∴AB＝2AD＝8。

当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB＝10。 ∴AB的取值范围是8＜AB≤10。

三、解答题

1. （2012广东佛山11分）（1）按语句作图并回答：作线段AC（AC=4），以A为圆心a为半径作圆，再以C为圆心b为半径作圆（a＜4，b＜4，圆A与圆C交于B、D两点），连接AB、BC、CD、DA．

若能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足什么条件？ （2）若a=2，b=3，求四边形ABCD的面积． 【答案】解：（1）作图如下：

能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足的条件是a+b＞4。 （2）连接BD，交AC于E，

∵⊙A与⊙C交于B、D，∴AC⊥DB，BE=DE。

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设CE=x，则AE=4－x， ∵BC= b=3，AB= a=2，

2（4?x） ∴由勾股定理得：BE2?32?x2?22?解得：x?218。

2∴BE?315?21?2。 3????8?8?12?AC?BE?4?3158?3152∴四边形ABCD的面积是2?答：四边形ABCD的面积是。

3152。

【考点】作图（复杂作图），相交两圆的性质，勾股定理。

【分析】（1）根据题意画出图形，只有两圆相交，才能得出四边形，即可得出答案；

（2）连接BD，根据相交两圆的性质得出DB⊥AC，BE=DE，设CE= x，则AE=4－x，

根据勾股定理得出关于x的方程，求出x，根据三角形的面积公式求出即可。

2. （2012四川宜宾10分）如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=2．过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C．D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A．B，连接AP、BP、AC．DB，且AC与DB的延长线交于点E． （1）求证：

PAPB?2；

（2）若PQ=2，试求∠E度数．

【答案】（1）证明：∵⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=2，∴PC=4，PD=22。

∵CD⊥PQ，∴∠PQC=∠PQD=90°。

∴PC．PD分别是⊙O1、⊙O2的直径，在⊙O1中，∠PAB=∠PCD，在⊙O2中，

∠PBA=∠PDC，

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∴△PAB∽△PCD。∴

PAPC?PBPD，即

PAPB?PCPD?422?2。

（2）解：在Rt△PCQ中，∵PC=2r1=4，PQ=2，∴cos∠CPQ=

∵在Rt△PDQ中，PD=2r2=22，PQ=2，∴sin∠PDQ=∴∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°。

PQPC??1222。∴∠CPQ=60°。 。∴∠PDQ=45°。

PQPD又∵PD是⊙O2的直径，∴∠PBD=90°。∴∠ABE=90°﹣∠PBQ=45°。 在△EAB中，∴∠E=180°﹣∠CAQ﹣∠ABE=75°。 答：∠E的度数是75°。

【考点】相交两圆的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆周角定理，三角形内角和定理。 【分析】（1）求出PC、PD，证△PAB∽△PCD，得出

（2）由cos∠CPQ=

理，得出

∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，求出∠PBD=90°，求出∠ABE=45°根据三角形的内角和定理求出即可。

3. （2012广西桂林10分）如图，等圆⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，⊙O1经过⊙O2的圆心，

顺次连接 A、O1、B、O2．

(1)求证：四边形AO1BO2是菱形；

(2)过直径AC的端点C作⊙O1的切线CE交AB的延长线于E，连接CO2交AE于D，求证：

CE＝2O2D；

(3)在(2)的条件下，若△AO2D的面积为1，求△BO2D的面积．

PQPC?12PAPC?PBPD，从而

PAPB?PCPD?422?2。

，求出∠CPQ=60°，同理求出∠PDQ=45°。由圆周角定

【答案】解：（1）证明：∵⊙O1与⊙O2是等圆，∴AO1=O1B=BO2=O2A。

∴四边形AO1BO2是菱形。

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（2）证明：∵四边形AO1BO2是菱形，∴∠O1AB=∠O2AB。

∵CE是⊙O1的切线，AC是⊙O1的直径，∴∠ACE=∠AO2C=90°。 ∴△ACE∽△AO2D。∴

DO2EC?AO2AC?12，即CE=2DO2。

（3）∵四边形AO1BO2是菱形，∴AC∥BO2。∴△ACD∽△BO2D。

∴

DBAD?BO2AC?12。∴AD=2BD。

?12∵S?AOD2?1S，∴S?O2DB。

【考点】相交两圆的性质，菱形的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。 【分析】（1）根据⊙O1与⊙O2是等圆，可得AO1=O1B=BO2=O2A，利用四条边都相等的四边形是菱形可判定出结论。

（2）根据已知得出△ACE∽△AO2D，从而得出（3）首先证明△ACD∽△BO2D，得出

的三角形面积关系得出答案即可。

4. （2012江西省10分）已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．

?所在圆的圆心为O′时，求AB?的长度； （1）如图2，折叠后的AB?所在圆的圆心Ｏ’到弦AB的距离； （２）如图3，当弦AB=2时，求折叠后ABDO2EC?12?AO2AC?12，即可得出结论。

DBAD?BO2AC ，AD=2BD，再利用等高不等底

（３）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．

?D所在圆外切于点P时，设点O到弦AB．CD的距?与C①如图4，当AB∥CD，折叠后的AB离之和为d，求d的值；

?D所在圆外切于点P时，设点M为AB的中?与C②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的AB点，点N为CD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．

?经过圆O时，折叠后的AB?所在圆O′在⊙O上，如图2所示，【答案】解：（1）当AB连接O′A．OA．O′B，OB，OO′。

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∵△OO′A，△OO′B为等边三角形，

∴∠AO′B=∠AO′O+∠BO′O=60°+60°=120°。

?的长度?∴AB120???2180?4?3。

（2）如图3所示，连接O′A，O′B，

∵O′A=O′B=AB=2， ∴△AOB为等边三角形。

过点O作OE⊥AB于点E，∴O′E=O′A?sin60°=3。

?所在圆的圆心Ｏ’到弦AB的距离为3。 ∴折叠后AB?D所在圆外切于点P时， ?与C（3）①如图4，当折叠后的AB?过点O作EF⊥AB交AB于点H、交AEB于点E，交CD于点G、

?交CFD于点F，即点E、H、P、O、G、F在直径EF上。

∵AB∥CD，∴EF垂直平分AB和CD。 根据垂径定理及折叠，可知PH=

12PE，PG=

12PF。

又∵EF=4，∴点O到AB．CD的距离之和d为： d=PH+PG=

12PE+

12PF=

12（PE+PF）=2。

②如图5，当AB与CD不平行时，四边形是OMPN平行四边形。证明如下：

??设O′，O″为APB和CPD所在圆的圆心，

∵点O′与点O关于AB对称，点O″于点O关于CD对称， ∴点M为的OO′中点，点N为OO″的中点。

??∵折叠后的APB与CPD所在圆外切，

∴连心线O′O″必过切点P。

??∵折叠后的APB与CPD所在圆与⊙O是等圆，

∴O′P=O″P=2，∴PM=

12OO″=ON，PN=

12OO′=OM，

∴四边形OMPN是平行四边形。

【考点】翻折变换（折叠问题）相切两圆的性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，垂径定理，弧长的计算，解直角三角形，三角形中位线定理。

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【分析】（1）如图2，过点O作OE⊥AB交⊙O于点E，连接OA．OB．AE、BE，可得△OAE、

?△OBE为等边三角形，从而得到AOB的圆心角，再根据弧长公式计算即可。

（2）如图3，连接O′A．O′B，过点O′作O′E⊥AB于点E，可得△AO′B为等边

?所在圆的圆心O′到弦AB的距离。 三角形，根据三角函数的知识可求折叠后求AB???（3）①如图4，AEB与CFD所在圆外切于点P时，过点O作EF⊥AB交AEB于点E，

?交CFD于点F，根据垂径定理及折叠，可求点O到AB．CD的距离之和。

②由三角形中位线定理，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可得

证。

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