一元二次方程总复习

十一）、几何类题 （2）动态几何问题

图2

图3 B

Q

CP

图4 http://www.77cn.com.cn

例：如图4所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C

点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.

（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8平方厘米？

（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由.

解：因为∠C＝90°，所以AB＝10（cm）.

（1）设xs后，可使△PCQ的面积为8cm2，所以 AP＝xcm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2xcm. 则根据题意，得

1

·(6－x)·2x＝8.整理，得x2－6x+8＝0，解这个方程，得x1＝2，x2＝4. 2

所以P、Q同时出发，2s或4s后可使△PCQ的面积为8cm2. （2）设点P出发x秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的一半. 则根据题意，得

2

111(6－x)·2x＝××6×8.整理，得x2－6x+12＝0. 222

-6 4 1 12 -12 0所以方程无实数解。

由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ的面积等于ABC面积一半的时刻. （3）梯子问题

例：一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端距墙角6m. （1）若梯子的顶端下滑1m，求梯子的底端水平滑动多少米？ （2）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端滑动多少米？

（3）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？

＝8（m）.

（1）若梯子顶端下滑1m，则顶端距地面7m.设梯子底端滑动xm.

则根据勾股定理，列方程72+(6+x)2＝102，整理，得x2+12x－15＝0， 解这个方程，得x1≈1.14，x2≈－13.14（舍去）， 所以梯子顶端下滑1m，底端水平滑动约1.14m.

（2）当梯子底端水平向外滑动1m时，设梯子顶端向下滑动xm. 则根据勾股定理，列方程(8－x)2+(6+1)2＝100.整理，得x2－16x+13＝0. 解这个方程，得x1≈0.86，x2≈15.14（舍去）.

所以若梯子底端水平向外滑动1m，则顶端下滑约0.86m. （3）设梯子顶端向下滑动xm时，底端向外也滑动xm.

则根据勾股定理，列方程 (8－x)2+(6+x)2＝102，整理，得2x2－4x＝0， 解这个方程，得x1＝0（舍去），x2＝2.

所以梯子顶端向下滑动2m时，底端向外也滑动2m. （4）、航海问题

例：如图5所示，我海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D恰好位于AC的中点，岛上有一补给码头；小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方向，一艘军舰从A出发，

经B到C匀速巡航．一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送往军舰.

（1）小岛D和小岛F相距多少海里？

（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（精确到0.1海里）

解（1）F位于D的正南方向，则DF⊥BC.因为AB⊥BC，D为AC的中点，所以DF＝

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图5

1

AB＝100海里，所以，小岛D与小岛F相距100海里. 2

（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE＝x海里，AB+BE＝2x海里，EF＝AB+BC－(AB+BE)－CF＝(300－2x)海里.

在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程x2＝1002+(300－2x)2，整理，得3x2－1200x+100000＝0.

解这个方程，得x1＝200

－

118.4，x2＝

200+（不合题意，舍去）. 33

所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里. （5）、几何与图表信息

例：如图6所示，正方形ABCD的边长为12，划分成12×12个小正方形格，将边长为n（n为整数，且2≤n≤11）的黑白两色正方形纸片按图中的方式，黑白相间地摆放，第一张n×n的纸片正好盖住正方形ABCD左上角的n×n个小正方形格，第二张纸片盖住第一张纸片的部分恰好为(n－1)×(n－1)个小正方形.如此摆放下去，直到纸片盖住正方形ABCD的右下角为止.

请你认真观察思考后回答下列问题：

（1）由于正方形纸片边长n的取值不同， 完成摆放时所使用正方形纸片的张数也不同，请填写下表：

图6

（2）设正方形ABCD被纸片盖住的面积（重合部分只计一次）为S1，未被盖住的面积为S2.

①当n＝2时，求S1∶S2的值；

②是否存在使得S1＝S2的n值？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由. 解（1）依题意可依次填表为：

（2）S1＝n2+(12－n)[n2－(n－1)2]＝－n2+25n－12.

①当n＝2时，S1＝－22+25×2－12＝34，S2＝12×12－34＝110. 所以S1∶S2＝34∶110＝17∶55.

注：12-n是“七字形”图形的个数，（n-1）是第二张与第一张纸片重合的部分面积，n是每一张纸片的面积， n—（n-1）是第二张纸片没有遮盖得住第一张纸片的面积（亦就是图中“七字形”图形的面积）。

②若S1＝S2，则有－n2+25n－12＝

2

2

2

2

1

×122，即n2－25n+84＝0， 2

解这个方程，得n1＝4，n2＝21（舍去）. 所以当n＝4时，S1＝S2.所以这样的n值是存在的. （6）、探索存在问题

例：将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形. （1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?

（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.

解（1）设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20－x）cm.

x 20 x 则根据题意，得 + ＝17，

44

整理得：x 20x 64 0 解得x1＝16，x2＝4，

当x＝16时，20－x＝4；当x＝4时，20－x＝16， 答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm和16cm.

（2）不能.理由是：不妨设剪成两段后其中一段为ycm，则另一段为（20－y）cm.则由

2

22

y 20 y 2

题意得 + ＝12，整理，得y－20y+104＝0，

4 4

22

20 4 1 104 16<0

2

所以此方程无解，即不能剪成两段使得面积和为12cm2. （7）、平分几何图形的周长与面积问题

例：如图7，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC＝5，AD＝4，BC＝10.点E 在下底边BC上，点F在腰AB上.

（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；

（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；

（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由.

解（1）由已知条件得，梯形周长为24，BF+BE=

AD

24

=12 2

G K http://www.77cn.com.cn

图7

过点F作FG⊥BC垂足为G，过点A作AK⊥BC垂足为K.

BK＝AK＝

1

BC AD 1 10 4 3， 22AB2 BK2 2 32 4 S梯形ABCD=

1

AD BC AK 1 4 10 4=28 22

△BGF∽△BKA得：则可得，FG＝

BFFG

BAAK

12 x

×4， ∵BF≤BA ∴12-x≤5 ∴x≥7； 5

又∵BE≤BC，∴x≤10，∴7≤x≤10 所以S△BEF＝

12224BE·FG＝－x+x（7≤x≤10） 255

2224

x+x＝14，解这个方程，得x1＝7，x2＝5（不合题意，55

（2）存在.由（1）得－舍去），

所以存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE＝7. （3）（Ⅰ）不存在.假设存在，显然有S△BEF∶S多边形AFECD ＝1∶2， 即(BE+BF)∶(AF+AD+DC)＝1∶2.

1

BE BF 24 8 BF=8—X

3

BFFGBF AK4 8 X 由△BGF∽△BKA得： ∴FG BAAKBA5

114 8 X 216

∴S BEF=BE FG X X2 X

22555

则有－

221628x+x＝， 553

整理，得3x2－24x+70＝0，此时的求根公式中的b2－4ac＝576－840=-264＜0，

2

24 16，∴FB=16-BE=16-x 3

BFFGBF AK4 16 X 由△BGF∽△BKA得： ∴FG BAAKBA5

114 16 X 2

∴S BEF=BE FG X 28

2253

（Ⅱ）若S BEF:S多边形AFECD 2:1荐在，即FB+BE=

整理得：3x 48x 70 0，∴△=（48）-4×3×70=1464=2×366

2

2

2

X=

48 236624 24 19.2

8 6.4

2 333

X1=14.4 ,X2=1.6 又∵7≤X≤10 , ∴无解

综上所述:不存在这样的实数x，即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分.

（8）、利用图形探索规律 例：在如图8中，每个正方形有边长为1 的小正方形组成：

（1）观察图形，请填写下列表格：

图8

1个数为P2，问是否存在偶数．．n，使P2＝5P1？若存在，请写出n的值；若不存在，请说明理由.

解（1）观察分析图案可知正方形的边长为1、3、5、7、…、n 时，黑色正方形的个数为1、5、9、13、2n－1（奇数）；正方形的边长为2、4、6、8、…、n 时，黑色正方形的个数为4、8、12、16、2n（偶数）.

（2）由（1）可知n为偶数时P1＝2n，所以P2＝n2－2n.根据题意，得n2－2n＝5×2n，即n2－12n＝0，解得n1＝12，n2＝0（不合题意，舍去）.所以存在偶数n＝12，使得P2＝5P1. 十二）循环赛制类应用题

[例1] 2008年某地区的超级足球联赛，赛制采取主、客场的循环比赛，如果所有比赛场次共有240场，那么2008年共有多少个队参加这个超级联赛？ 解：设参赛队为X，

X(X-1)=240方程整理得：x2—x—240=0

解之得：X1=16或X2=-15，（不合题意，舍去）。 注：双循环公式X(X-1),单循环公式

1

X(X-1)，其实也就可以理解为单循环循环赛就是2

和每个对手比赛1次（对手数量=参赛队数量-1），而每场比赛有2队参加，就得除以2。双循环比赛场次是单循环的2倍。类似于本题其它题型如：相互握手；铁路沿线有n个站点要设计多少种车票；一条线段上有n个点（含两个端点），①该线段上共有n（n-1）条有向线段，②该线段上共有

1

n（n-1）条线段。 2

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