2014年全国高考大纲版数学（理）试卷及答案

2014年普通高等学校统一考试（大纲）

理科

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设z?10i，则z的共轭复数为 3?i（ ）

A．?1?3i B．?1?3i C．1?3i D．1?3i 【答案】D．

2.设集合M?{x|x?3x?4?0}，N?{x|0?x?5}，则M（ ）

A．(0,4] B．[0,4) C．[?1,0) D．(?1,0] 【答案】B.

3.设a?sin33?,b?cos55?,c?tan35?,则 （ ）

A．a?b?c B．b?c?a C．c?b?a D．c?a?b 【答案】C．

4.若向量a,b满足：a?1,a?b?a,2a?b?b,则b? （ ）

A．2 B．2 C．1 D．【答案】B．

5.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）

A．60种 B．70种 C．75种 D．150种 【答案】C．

2N?

????2 23x2y26.已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的

3ab直线l交C于A、B两点，若?AF1B的周长为43，则C的方程为 （ ）

x2x2y2x2y2x2y22??1 B．?y?1 C．??1 D．??1 A．

332128124【答案】A． 7.曲线y?xe（ ）

A．2e B．e C．2 D．1 【答案】C．

8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A．

x?1在点（1,1）处切线的斜率等于

27?81? B．16? C．9? D．

44【答案】A．

9.已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若F1A?2F2A，则

cos?AF2F1?（ ）

A．

2211 B． C． D．

4343【答案】A．

10.等比数列{an}中，a4?2,a5?5，则数列{lgan}的前8项和等于 （ ）

A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C．

11.已知二面角??l??为60?，AB??，AB?l，A为垂足，CD??，C?l，

?ACD?135?，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为

（ ）

A．

2311 B． C． D．

4442【答案】B.

12.函数y?f(x)的图象与函数y?g(x)的图象关于直线x?y?0对称，则y?f(x)的反函数是（ ）

A．y?g(x) B．y?g(?x) C．y??g(x) D．y??g(?x) 【答案】D.

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

?xy?2213. ?的展开式中xy的系数为 .（用数字作答） ???yx???【答案】70.

8?x?y?0?14.设x,y满足约束条件?x?2y?3，则z?x?4y的最大值为 .

?x?2y?1?【答案】5.

15．直线l1和l2是圆x?y?2的两条切线，若l1与l2的交点为?1,3?，则l1与l2的夹角的

22正切值等于 . 【答案】

4． 316.若函数f(x)?cos2x?asinx在区间(【答案】???,2?．

??,)是减函数，则a的取值范围是 . 62三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

1?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acosC?2ccosA，tanA?，

3求B.

解：由题设和正弦定理得

3sinAcosC=2sinCcosA,\\3tanAcosC=2sinC.tanA=1,\\cosC=2sinC, 3\\tanC=0?1tanA+tanC,\\tanB=tan轾180?A+C=-tanA+C==-1,又()()臌2tanAtanC-1135?．

B<180癨,?B18. （本小题满分12分）

等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1?10，a2为整数，且Sn?S4. （I）求{an}的通项公式； （II）设bn?1，求数列{bn}的前n项和Tn. anan?1解：（I）由a1?10，a2为整数知，等差数列{an}的公差d为整数．又Sn?S4，故

a4?0,a5?0,于是10?3d?0,10?4d?0，解得-数列{an}的通项公式为an=13-3n．（II）

10＃d3-5，因此d=-3，故2bn?1?11?????，于是

?13?3n??10?3n?3?10?3n13?3n?1??11??11??bn??????????3??710??47?1??1?11?n?1???????????10?3n13?3n??3?10?3n10?10?10?3n?1Tn?b1?b2?．

19. （本小题满分12分）

?ACB?90，如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，BC?1,AC?CC1?2.

（I）证明：AC1?A1B；

（II）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1?AB?C的大小.

0C1A1B1DACB

解：解法一：（I）A1D^平面ABC，A1Dì平面AAC11C^平面ABC．又11C，故平面AACBC^AC，

，∵侧面AAC，由三垂线定理得\\BC^平面AAC11C．连结AC111C为菱形，故AC1^AC1（II）BC^平面AACAC1^A1B；11C^平面BCC1B11C,BCì平面BCC1B1，故平面AAC1．作则A1E^平面BCC1B1．又直线AA1∥平面BCC1B1，因而A1E为直线AA1A1E^CC1,E为垂足，

与平面BCC1B1的距离，A1E=3．∵AC为DACC1的角平分线，故A1D=A1E=13．作

为二面角A1?AB?CDF^AB,F为垂足，连结A1F，由三垂线定理得A1F^AB，故DAFD1的

DF=平面角．由

AD=AA12-A1D2=1得D为AC的中点，

1AC′BC?2AB5,tan?A1FD5A1D=15,∴二面角A1DF?AB?C的大小为arctan15．

zC1A1EB1C1B1A1CCDAFBByDxA

解法二：以C为坐标原点，射线CA为x轴的正半轴，以CB长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz．由题设知A1D与z轴平行，z轴在平面AAC11C内． （

I

）

设

A1(,a0),，c由题设有a￡2,(A2),(0B),0则,0,1,AB=(-2,1,0),AC=(-2,0,0),AA1=(a-2,0,c),AC1=AC+AA1=(a-4,0,c),BA1=(a,-1,c).由

AA1=2得(a-2)+c2=22，即a2-4a+c2=0（①）．于是

AC1?BA1a2-4a+c2=0,\\AC1^A1B．

（II）设平面BCC1B1的法向量m=(,xm?CB0,m?BB10．CB=(0,1,0),

,y)z,则m^CB,m^BB1,即

BB1=AA1=(a-2,0,c),z=2-a,故y=0，且

A

(a-2)x+cz=0平

面

．令

的

x=c，则离

为

(m=sm,c0),-，2a点到

BCC1B1距

C?cAoC×Am2c,C=A=22mc+(2-a)cA到平面BCC1B1的距离为．又依题设，点

3,\\c=3．代入①解得a=3（舍去）或a=1．于是AA1=-1,0,3．设平面ABA1的

0,n?AB0,\\-p+3r=0，故且

()法向量n=(p,q,r)，则n^AA1,n^AB，即n?AA1-2p+q=0．令p=3，则q=23,r=1,n??3,23,1?．又p??0,0,1?为平面ABC的

法向量，故cosn,p?n?pn?p?11，∴二面角A1?AB?C的大小为arccos．

4420. （本小题满分12分）

设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.

（I）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；

（II）X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望.

解：记Ai表示事件：同一工作日乙、丙恰有i人需使用设备，i?0,1,2；B表示事件：甲需使用设备；C表示事件：丁需使用设备；D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备． （I）D?A1?B?C?A2?B?A2?B?C，又

iP?B??0.6,P?C??0.4,P?Ai??C2?0.52,i?0,1,2.?P?D??

P?A1?B?C?A2?B?A2?B?C??P?A1?B?C??P?A2?B??P?A2?B?C??P?A1?P?B?P?C??P?A2?P?B??P?A2?P?B?P?C??0.31.（II）X的可能取值为0，1，2，3，4．

P?X?0??PB?A0?C?PBP?A0?PC??1?0.6??0.52??1?0.4??0.06，

P?X?1??PB?A0?C?B?A0?C?B?A1?C?P?B?P?A0?PC?PBP?A0?P?C??PBP?A1?PC?0.6?0.52??????????????????1?0.4???1?0.6??0.52?0.4??1?0.6??2?0.52??1?0.4??0.25,P?X?4??P?A2?B?C??P?A2?P?B?P?C??0.52?0.6?0.4?0.06,P?X?3??P?D??P?X?4??0.25,P?X?2??1?P?X?0?P?X?1??P?X?3??P?X?4??1?0.06?0.25?0.25?0.06?0.38.

∴数学期望

EX=0?P(X0)+1?P(X1)+2?P(X2)+3?P(X3)+4?P(X4)=0.25+2?0.383?0.254?0.062.

21. （本小题满分12分）

已知抛物线C：y?2px(p?0)的焦点为F，直线y?4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|?（I）求C的方程；

（II）过F的直线l与C相交于A，B两点，若AB的垂直平分线l?与C相较于M，N两点，且A，M，B，N四点在同一圆上，求l的方程. 解：（I）设Q(x0,4)，代入y2=2px，得x0=设得

88pp8,\\PQ=,QF=+x0=+.．由题pp22p25|PQ|. 4p858（II）由题设知+=?，解得p=-2（舍去）或p=2，∴C的方程为y2=4x；

2p4p故可设l的方程为x=my+1(m?0)，代入y2=4x得y2-4my-4=0．设l与坐标轴不垂直，

A(x1,y1),Bx(2y,2,)则y1+y2=4m,

y1y2=-4．故AB的中点为D(2m2+1,2m),AB=m2+1y1-y2=4(m2+1)．又l￠的斜率

为-m,\\l￠的方程为x=-y2+1y+2m2+3．将上式代入y2=4x，并整理得m44x3y,3Bx,y设M(y-4(2m2+3)=0．)(,4m桫mmm,)则y3+y4=-4,y3y4=-4(2m2+3)．故MNm4(m2+1)2m2+122÷12?的中点为E骣． +2m+3,-÷?2÷,MN=1+2y3-y4=?2m由于MN垂直平分线AB，故A,M,B,N四点在同一圆上等价于AE=BE=1MN，从而

2224(m2+1)(2m2+1)骣骣2222m+鼢+2=即4(m+1)+珑，化简得鼢+珑珑桫m鼢桫m2m42211222AB+DE=MN,44m2-1=0，解得m=1或m=-1．所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0．

22. （本小题满分12分）

函数f?x??ln?x?1??ax?a?1?. x?a（I）讨论f?x?的单调性；

23. ?an?n+2n?22x?x?a?2a?????．

解：（I）f?x?的定义域为??1,???,f??x??2?x?1??x?a?（II）设a1?1,an?1?ln(an?1)，证明：

（i）当1?a?2时，若x??1,a2?2a，则f??x??0,f?x?在?1,a2?2a上是增函

2数；若x?a?2a,0则,f??x??0,f?x?在

???????a2?2a,0?上是减函数；若

x??0,??,f??x??0,f?x?在?0,???上是增函数． ?则

（ii）当a=2时,fⅱ(x)?0,f(x)0成立当且仅当x=0,f(x)在(-1,+?)上是增函数．

（iii）当a>2时，若x?(1,0)，则f??x??0,f?x?在是(-1,0)上是增函数；若则f??x??0,f?x?在?0,a2?2a?上是减函数；若x??a2?2a,???，x??0,a2?2a?，

则f??x??0,f?x?在a2?2a,??上是增函数．

??（II）由（I）知，当a=2时，f(x)在(-1,+?)是增函数．当x?(0,即ln(x+1)>2x(x>0)．又由（I）知，当a=3时，fx+2?)时，f(x)>f(0)=0，

?x?在[0,3)上是减函数；当x?(0,3)时，f(x)x+32（i）当n=1时，由已知

3（ii）假设当n=k时结论成立，即

23．当n=k+1时，ln珑+1>(k)鼢珑k+1珑桫桫k+2鼢2+2k+3k+2k+2，即当n=k+1时有成立．

23，结论成立．根据（i）、（ii）知对任何n?N*结论都

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