山东2022新高考数学一轮复习第五章数列5.1数列的概念与简单表示

第五章数列

第一节数列的概念与简单表示法

课标要求考情分析

1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列

表、图象、通项公式)．

2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函

数．

1.本节在高考中主要考查简单数列的通项公

式的求解、数列的前n项和S n

与通项a n的关

系以及简单的递推数列等问题．

2．命题形式多种多样，三种题型都有可能出

现，试题难度中等.

知识点一数列的概念

1．数列的定义：按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．

2．数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．

3．数列的表示法：列表法、图象法和通项公式法．

知识点二数列的分类

知识点三 数列的通项公式

1．通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

数列通项公式的注意点

(1)并不是所有的数列都有通项公式；

(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一；

(3)对于一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它的变化规律，是不能确定这个数列的．

2．递推公式：如果已知数列{

a

n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

1．思考辨析

判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( × )

(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( √ )

(3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( × )

(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( × )

(5)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对?n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( √ )

2．小题热身

(1)已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n (n ＋1)

，…，下列各数中是此数列中的项的是( B ) A.135 B.142 C.148 D.154

(2)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋1a n －1

(n ≥2)，则a 4＝( B )

A.

3

2 B.

5

3

C.

7

4 D.

8

5

(3)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n＝5n－4.

(4)设数列{a n}的前n项和S n＝n2，则a7＋a8的值为28.

(5)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝a2n－2a n＋1(n∈N*)，则a2 018＝0.

解析：(2)由题意知，a

1

＝1，a2＝2，a3＝

3

2，a4＝

5

3.

(3)由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…，归纳a n＝5n－4.

(4)a7＋a8＝S8－S6＝82－62＝28.

(5)∵a1＝1，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{a n}是以2为周期的数列，∴a2 018＝a2＝0.

考点一由数列的前几项

归纳数列的通项公式【例1】(1)数列1，－4,9，－16,25，…的一个通项公式是() A．a n＝n2B．a n＝(－1)n n2

C．a n＝(－1)n＋1n2D．a n＝(－1)n(n＋1)2

(2)把1,3,6,10,15，…，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的圆点可以排成一个正三角形(如图所示)．

则第7个三角形数是()

A．27B．28 C．29D．30

【解析】(1)解法1：该数列中第n项的绝对值是n2，正负交替的符号是(－1)n＋1，故选C.

解法2：将n＝2代入各选项，排除A，B，D，故选C.

(2)观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项多的点数正好是该项的序号，即a n＝a n－1＋n(n≥2)．所以根据这个规律计算可知，第7个三角形数是a7＝a6＋7＝a5＋6＋7＝15＋6＋7＝28.故选B.

【答案】(1)C(2)B

方法技巧

由数列的前几项归纳数列通项公式的常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、

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