届高三数学大一轮复习 二项式定理学案 理 新人教A版

学案65 二项式定理

导学目标： 1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

自主梳理

1．二项式定理的有关概念

n0n1n－11kn－kknn*

(1)二项式定理：(a＋b)＝Cna＋Cnab＋?＋Cnab＋?＋Cnb (n∈N)，这个公式叫做______________．

n①二项展开式：右边的多项式叫做(a＋b)的二项展开式． ②项数：二项展开式中共有________项．

③二项式系数：在二项展开式中各项的系数________(k＝______________)叫做二项式系数．

④通项：在二项展开式中的________________叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝____________________.

2．二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端________的两个二项式系数相等．

(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项二项式系数________________取得最大值；当n为奇数时，中间的两项二项式系数____________、________________________相等，且同时取得最大值．

012n024偶1

(3)各二项式系数和：Cn＋Cn＋Cn＋?＋Cn＝______，Cn＋Cn＋Cn＋?＋Cn＝________，Cn35奇

＋Cn＋Cn＋?＋Cn＝________.

自我检测

52

1．(2011·福建)(1＋2x)的展开式中，x的系数等于( ) A．80 B．40 C．20 D．10

x－x6

2．(2011·陕西)(4－2)(x∈R)展开式中的常数项是( ) A．－20 B．－15 C．15 D．20

1064

3．(x－2y)的展开式中xy项的系数是( )

A．840 B．－840 C．210 D．－210

?2－1??6的展开式中的第四项是______． 4．(2010·四川)?3

x?a6

5．(2011·山东)若(x－2)展开式的常数项为60，则常数a的值为________．

x??

?

?21?n6．(2011·烟台期末)已知n为正偶数，且?x－?的展开式中第4项的二项式系数最

2x??

大，则第4项的系数是__________．(用数字作答)

探究点一 二项展开式及通项公式的应用

?31?

?n的展开式中，第6项为常数项． 例1 已知在?x－

?3?

2x??

(1)求n；(2)求含x的项的系数；

(3)求展开式中所有的有理项．

1

2

420

变式迁移1 (2010·湖北)在(x＋3y)的展开式中，系数为有理数的项共有________项．

探究点二 二项式系数的性质及其应用

123nn－1

例2 (1)求证：Cn＋2Cn＋3Cn＋?＋nCn＝n·2；

1227

(2)求S＝C27＋C27＋?＋C27除以9的余数．

242k2n变式迁移2 (2011·上海卢湾区质量调研)求C2n＋C2n＋?＋C2n＋?＋C2n的值．

探究点三 求系数最大项

322n例3 已知f(x)＝(x＋3x)展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．

2

变式迁移3 (1)在(x＋y)的展开式中，若第七项系数最大，则n的值可能等于( ) A．13,14 B．14,15 C．12,13 D．11,12,13

?1?n(2)已知?＋2x?，(ⅰ)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，

?2?

求展开式中二项式系数的最大项的系数；

(ⅱ)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．

1．二项式系数与项的系数是不同的，如(a＋bx) (a，b∈R)的展开式中，第r＋1项的

rrn－rr二项式系数是Cn，而第r＋1项的系数为Cnab.

2．通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或

rn－rr系数．在运用公式时要注意：Cnab是第r＋1项，而不是第r项．

n01nn3．在(a＋b)的展开式中，令a＝b＝1，得Cn＋Cn＋?＋Cn＝2；令a＝1，b＝－1，得0123024135n－1

Cn－Cn＋Cn－Cn＋?＝0，∴Cn＋Cn＋Cn＋?＝Cn＋Cn＋Cn＋?＝2，这种由一般到特殊的方法是“赋值法”．

4．二项式系数的性质有：(1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式

0n1n－12n－2rn－r系数相等，即Cn＝Cn，Cn＝Cn，Cn＝Cn，?，Cn＝Cn.(2)如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．

n5．二项式定理的一个重要作用是近似计算，当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)≈1＋nx.利用二项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题，证题时要注意变形的技巧．

nn

(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

?x＋1??24的展开式中，x的幂指数是整数的项共有1．(2011·山东实验中学模拟)在?3??x??

( )

A．3项 B．4项 C．5项 D．6项

n56

2．(2011·重庆)(1＋3x)(其中n∈N且n≥6)的展开式中x与x的系数相等，则n等于( )

3

A．6 C．8

B．7 D．9 ?x－1?

n3．(2011·黄山期末)在?23?的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开

??

x?

?

式中常数项是( )

A．－7 B．7

C．－28 D．28 ?3x－1?

?n的展开式中二项式系数之和为128，则展开4．(2010·烟台高三一模)如果?3

?

?

x2?

?

1

式中3的系数是( )

xA．7 B．－7 C．21 D．－21

56783

5．在(1－x)＋(1－x)＋(1－x)＋(1－x)的展开式中，含x的项的系数是( ) A．74 B．121 C．－74 D．－121 二、填空题(每小题4分，共12分)

11815

6．(2011·湖北)(x－)的展开式中含x的项的系数为__________．(结果用数值

3x表示)

1?6?7．(2011·济南高三模拟)已知a＝?π(sin t＋cos t)dt，则?x－?的展开式中的常

?0

?ax?

数项为________．

1?10?8.?1＋x＋2?的展开式中的常数项是________．

?x?

三、解答题(共38分)

4234

9．(12分)(1)设(3x－1)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x. ①求a0＋a1＋a2＋a3＋a4； ②求a0＋a2＋a4； ③求a1＋a2＋a3＋a4；

2n＋2*

(2)求证：3－8n－9能被64整除(n∈N)．

?1?n*

10．(12分)利用二项式定理证明对一切n∈N，都有2≤?1＋?<3.

?

n?

4

2?n?*

11．(14分)(2011·泰安模拟)已知?x－2? (n∈N)的展开式中第五项的系数与第三

?x?

项的系数的比是10∶1.

(1)求展开式中各项系数的和；

(2)求展开式中含x的项；

(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．

学案65 二项式定理

自主梳理

kkn－kk1．(1)二项式定理 ②n＋1 ③Cn 0,1,2，?，n ④Cnab Cakn－kknn32b 2.(1)等距离 (2)Cn Cn

n－1

n－1

n2n+12

Cn

n-12

(3)2 2 2 自我检测

5rrrrr222

1．B [(1＋2x)的第r＋1项为Tr＋1＝C5(2x)＝2C5x，令r＝2，得x的系数为2·C5＝40.]

rxr－x6－rr2．C [设展开式的常数项是第r＋1项，则Tr＋1＝C6·(4)·(－2)，即Tr＋1＝C6·(－6－r2rxrx－6xr6－r3rx－6x241)·2·2＝C6·(－1)·2，∴3rx－6x＝0恒成立．∴r＝2，∴T3＝C6·(－1)＝15.∴选C.]

3．A

1604．－ x5．4 解析 (x－

rrax2

)展开式的通项为Tr＋1＝C6x6r6－r(－1)·(a)·xrr－2r＝C6xr6－3r(－

1)·(a).

22

令6－3r＝0，得r＝2.故C6(a)＝60，解得a＝4.

56．－ 2

5

课堂活动区

rn－rrn例1 解题导引 (1)通项Tr＋1＝Cnab是(a＋b)的展开式的第r＋1项，而不是第rr项；二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念，二项式系数是指Cn，r＝0,1,2，?，n，与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分．

(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致．

解 (1)通项公式为Tr＋1＝Cxrnn-r3?－1?rx-3 ?2???

r?1?r＝C?－?x?2?

rnn-2r3，

因为第6项为常数项，所以r＝5时，有

n－2r3

＝0，

即n＝10.

n－2r11(2)令＝2，得r＝(n－6)＝×(10－6)＝2，

322

1?2452?∴所求的系数为C10?－?＝. ?2?410－2r??3∈Z，

(3)根据通项公式，由题意得?0≤r≤10，

??r∈N.令

10－2r＝k (k∈Z)，则10－2r＝3k， 3

3

即r＝5－k，∵r∈N，∴k应为偶数．

2

∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.

所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为

1?225?1?58?1?8－22?C10?－?x，C10?－?，C10?－?x. ?2??2??2?变式迁移1 6

解析 展开式的通项Tr＋1＝C20·x＝C20·xr20－rr20－r4r·(3y)

·y·3.

rr4由0≤r≤20，∈Z得r＝0,4,8,12,16,20.

4

所以系数为有理数的项共有6项．

0nn＋1k例2 解题导引 (1)在有关组合数的求和问题中，经常用到形如Cn＝Cn＝Cn＋1，Cn＝n－kkk－1

Cn，kCn＝nCn－1等式子的变形技巧；

(2)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式．求余数问题时，应明确被除式f(x)、除式g(x)[g(x)≠0]、商式q(x)与余式的关系及余式的范围．

123n－1n(1)证明 方法一 设S＝Cn＋2Cn＋3Cn＋?＋(n－1)·Cn＋nCn，①

nn－1n－221

∴S＝nCn＋(n－1)Cn＋(n－2)Cn＋?＋2Cn＋Cn

012n－2n－1

＝nCn＋(n－1)Cn＋(n－2)Cn＋?＋2Cn＋Cn，②

012n－1nn①＋②得2S＝n(Cn＋Cn＋Cn＋?＋Cn＋Cn)＝n·2.

n－1

∴S＝n·2.原式得证．

r 6

kkkn！

nnk！n－k！n－1！k－1

＝＝Cn－1， k－1！n－k！kk－1

∴kCn＝nCn－1.

01n－1

∴左边＝nCn－1＋nCn－1＋?＋nCn－1

01n－1n－1

＝n(Cn－1＋Cn－1＋?＋Cn－1)＝n·2＝右边．

122727

(2)解 S＝C27＋C27＋?＋C27＝2－1

方法二 ∵Cn＝·＝8－1＝(9－1)－1 091889

＝C9×9－C9×9＋?＋C9×9－C9－1

08178

＝9(C9×9－C9×9＋?＋C9)－2

08178

＝9(C9×9－C9×9＋?＋C9－1)＋7， 显然上式括号内的数是正整数． 故S被9除的余数为7.

2n0122332n2n变式迁移2 解 (1＋x)＝C2n＋C2nx＋C2nx＋C2nx＋?＋C2nx.

012n－12n2n令x＝1得C2n＋C2n＋?＋C2n＋C2n＝2；

012rr2n－12n再令x＝－1得C2n－C2n＋C2n－?＋(－1)C2n＋?－C2n＋C2n＝0.

0

两式相加，再用C2n＝1，

2n2242n2n－1

得C2n＋C2n＋?＋C2n＝－1＝2－1.

2

9

9

??例3 解题导引 (1)求二项式系数最大的项：如果n是偶数，则中间一项[第?＋1?项]?2?

n＋1?n＋1＋1?项]的二项式系数

的二项式系数最大；如果n是奇数，则中间两项[第项与第??2?2?相等且最大；

n(2)求展开式系数最大的项：如求(a＋bx)(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A1，A2，?，An＋1，且第r＋1项系数最大，应用

??Ar≥Ar－1?

?Ar≥Ar＋1?

n

解出r来，即得系数最大的项．

解 (1)令x＝1，则二项式各项系数的和为

f(1)＝(1＋3)n＝4n，

n又展开式中各项的二项式系数之和为2.

nn由题意知，4－2＝992.

n2nnn∴(2)－2－992＝0，∴(2＋31)(2－32)＝0， nn∴2＝－31(舍)，或2＝32，∴n＝5.

由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是

骣23xT3＝C琪琪桫骣23

x3T4＝C5琪琪桫25

3

(3x)＝90x， (3x)＝270x.

23

226

2

223(2)展开式的通项公式为Tr＋1＝C53·x．

rrr－1r－1?C53≥C5·3，?

假设Tr＋1项系数最大，则有?rrr＋1r＋1

?C3≥C·3，5?5

rr2(5+2r)3

7

??∴???5！5！

×3≥，

5－r！r！6－r！r－1！5！5！

≥×3.5－r！r！4－r！r＋1！

31≥??r6－r，∴?13

≥??5－rr＋1.

79

∴≤r≤，∵r∈N，∴r＝4. 22

变式迁移3 (1)D [(1)分三种情况：①若仅T7系数最大，则共有13项，n＝12；②若

T7与T6系数相等且最大，则共有12项，n＝11；③若T7与T8系数相等且最大，则共有14项，n＝13，所以n的值可能等于11,12,13，故选D.]

4652

(2)解 (ⅰ)∵Cn＋Cn＝2Cn，∴n－21n＋98＝0.

∵n＝7或n＝14，当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.

353?1?43

∴T4的系数为C7??2＝，

2?2?

?1?34

T5的系数为C47??2＝70，

?2?

当n＝14时，展开式中二项式系数的最大的项是T8.

7?1?77

∴T8的系数为C14??2＝3 432.

?2?

0122

(ⅱ)∵Cn＋Cn＋Cn＝79，∴n＋n－156＝0. ∴n＝12或n＝－13(舍去)． 设Tk＋1项的系数最大， ?1?12?1?1212

∵?＋2x?＝??(1＋4x)， ?2??2?

??C124≥C124，∴?kkk＋1k＋1

??C124≥C124.

kkk－1k－1

∴9.4≤k≤10.4.

∴k＝10.∴展开式中系数最大的项为T11， ?1?410x10＝16 896x10. T11＝??12C1012

?2?课后练习区 1．C

n5555556666

2．B [(1＋3x)的展开式中x的项为Cn(3x)＝Cn3x，展开式中含x的项为Cn3x，由

5566

两项的系数相等得Cn·3＝Cn·3，解得n＝7.]

3．B 4.C 5.D 6．17

解析 二项展开式的通项为Tr＋1＝C18x15，解得r＝2.

152122

∴含x的项的系数为(－1)()C18＝17.

3

57．－ 28．4 351

1?10?1?10?解析 ?1＋x＋2?＝?1＋x＋2?

r18－r1rr18-(－)＝(－1)()C18x33xrr1

3r2.令18－

3r＝2

?x??x?

8

＝C10(1＋x)＋C10(1＋x)从第五项C10(1＋x)

1

2

2

4

34

6

01019

1

x281371461＋C(1＋x)＋C(1＋x)＋C(1＋x)1010102468＋?，

xxx1

8

x起，后面各项不再出现常数项，前四项的常数项分别是C10×C10，

00

C10×C9，C10×C8，C10×C7.

故原三项展开式中常数项为 00122436

C10C10＋C10C9＋C10C8＋C10C7＝4 351. 9．(1)解 ①令x＝1，

4

得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)＝16.(2分) ②令x＝－1得，

a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－3－1)4＝256，

4

而由(1)知a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)＝16， 两式相加，得a0＋a2＋a4＝136.(4分)

4

③令x＝0得a0＝(0－1)＝1，

得a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0 ＝16－1＝15.(6分)

2n＋222n(2)证明 ∵3－8n－9＝3·3－8n－9

nn＝9·9－8n－9＝9(8＋1)－8n－9

0n1n－1n－1n＝9(Cn8＋Cn8＋?＋Cn·8＋Cn·1)－8n－9 (8分)

n1n－1n－22

＝9(8＋Cn8＋?＋Cn8)＋9·8n＋9－8n－9

2n－21n－3n－2

＝9×8×(8＋Cn·8＋?＋Cn)＋64n

n－21n－3n－2

＝64[9(8＋Cn8＋?＋Cn)＋n]， 显然括号内是正整数，

∴原式能被64整除．(12分)

?1?n10．证明 因为?1＋?

6

?n?

1?21?31?nn－1?1?n－1?1????3n＝Cn＋Cn·＋Cn·??＋Cn·??＋?＋Cn·??＝1＋1＋·??＋·??n2！?n?3！?n??n??n??n??n－2?＋?＋1·?n－1??n－2???1?.(4分) ?n???????n！?n??n??n???

?1?n所以2≤?1＋?

?n?

0

1

1

2

111

<2＋＋＋?＋(6分)

2！3！n！111<2＋＋＋?＋ 1·22·3n－1n?1??11??1－1? ＝2＋?1－?＋?－?＋?＋???2??23??n－1n?1

＝3－<3，(9分)

n?1?n仅当n＝1时，?1＋?＝2；

?n??1?n当n≥2时，2

?n?

?1?n*

故对一切n∈N，都有2≤?1＋?<3.(12分)

?n?

11．解 由题意知，第五项系数为Cn·(－2)，第三项的系数为Cn·(－2)，则有44Cn·－210

， 22＝Cn·－21

9

4

4

2

2

化简得n－5n－24＝0，

解得n＝8或n＝－3(舍去)．(2分)

8

(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)＝1.(4分)

?2?rr8－r(2)通项公式Tr＋1＝C8·(x)·?－2?

2

?x?

＝C8·(－2)·x32rr8-r28－r3

－2r，令－2r＝，则r＝1.

22

32故展开式中含x的项为T2＝－16x.(8分)

r－1r－1rr(3)设展开式中的第r项，第r＋1项，第r＋2项的系数绝对值分别为C8·2，C8·2，Cr＋1·2r＋1

8，若第r＋1项的系数绝对值最大，

r－1r－1rr则???C8·2≤C8·2，??

Cr＋1r＋1rr 解得5≤r≤6.(12分) 8·2≤C8·2，

又T－11

6的系数为负，∴系数最大的项为T7＝1 792x.

由n＝8知第5项二项式系数最大．

此时T－6

5＝1 120x.(14分)

10

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