四川省成都市龙泉驿区2015届高三0.5诊断数学（文）试题 Word版含

成都市龙泉驿区高2015届诊断性考试

数学（文科）试题

第Ⅰ卷 （选择题部分 共50分）

一．选择题：

1. 设全集U???1,?2,?3,0，2?，集合A???1,?2,0?,B???3,0，2?，则?CUA??B?（ ） A.?0? B.??3,2? C.??1,?3? D.?

2．某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4∶3∶2∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A．80 B．40 C．60 D．20

3．如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是

1，则阴影部分的面积是 3 A．

? B．? C．2? D．3? 311??0，则下列结论错误的是（ ） abba2A.a2?b2 B.??2 C.ab?b2 D.lga?lgab

ab4. 已知

5．某流程图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是 A．f(x)?sinx B．f(x)?cosx C．f(x)? D．f(x)?x

x6．下列命题的说法错误的是（ ） ．．

A．命题“若错误！未找到引用源。 则 x?1”的逆否命题为：“若x?1, 则错误！未找到引用源。”．

B．若p?q错误！未找到引用源。为假命题，则p，q错误！未找到引用源。均为假命题． C．“x?1”是“错误！未找到引用源。”的充分不必要条件．

D．对于命题错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 则错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

x2?y?x?7．设变量x，y满足约束条件?y?3x?6，则目标函数z?2x?y的最小值为（ ）

?x?y?2?A．9 B．3 C．4 D．2

8．若函数f?x??loga?x?b?的大致图像如下图，其中a,b为常数，则函数g?x??a?b的大致

x图像是（ ）

9．定义

n为n个正数p1,p2,?,pn的“均倒数”．若已知数列{an}的前n项的“均

p1+p2+…+pn倒数”为

a?11111，又bn?n，则=( ) ??…+2n?14b1b2b2b3b10b11191011 B． C． D．

101112 A．1110．f(x)?3sin(?x??)(??0)部分图象如图， 若AB?BC?|AB|2，?等于（ ） A．

?12 B．

??? C． D． 634第Ⅱ卷 （非选择题部分 共100分）

注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上.

2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

?1?x,11. 已知函数f?x???x?a,x?0,x?0.若f?1??f??1?，则实数a的值等于___________.

12. 已知复数z满足(3?4i)z?25，则z?____________.

13. 平面向量a?(x,-3)，b?(-2,1)，c?(1,y)，若a?(b?c)，b∥(a?c)，则b与c的夹角为 ．

14.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列 上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106m（如图），则旗杆的高度为_____________.

15．已知函数y?f(x)是定义在R上的偶函数，对于任意x?R都f(x?6)?f(x)?f(3)成立；当

x1,x2?[0,3]，且x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)?0．给出下列四个命题：

x1?x2①f(3)?0； ②直线x??6是函数y?f(x)图象的一条对称轴； ③函数y?f(x)在[?9,?6]上为增函数； ④函数y?f(x)在[0,2014]上有335个零点． 其中正确命题的是________________.

三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

某次的一次学科测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．

（1）求参加测试的总人数及分数在[80，90）之间的人数；

（2）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，恰有一份分数在[90，100）之间的概率．

17．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?2cosx?xx?3cos?sin??． 2?22?（1）设x???????，?，求f(x)的值域； 22??（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知c=1，f(C)?3?1，且△ABC

的面积为3，求边a和b的长． 2

18．（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD?面ABCD，E是PD上一点.

（1）求证：AC?BE.

（2）若PD=AD=1，且?PCE的余弦值为310，求三棱锥E-PBC的体积. 10（本小题满分12分） 19．

在数列?an?中，已知a1?1an?11,?,bn?2?3log1an?n?N*?. 4an44（1）求数列?an?的通项公式； （2）求证：数列?bn?是等差数列；

（3）设数列?cn?满足cn?an?bn，求?cn?的前n项和Sn.

（本小题满分13分） 20．

x2y2?3?已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?过点?1,?，且长轴长等于4.

ab?2?（1）求椭圆C的方程；

（2）F1，F2是椭圆C的两个焦点，圆O是以F1，F2为直径的圆，直线l:y?kx?m与圆O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若OA?OB??

21．（本小题满分14分） 设函数f?x?????3，求k的值. 213x?x2?(m2?1)x(x?R)，其中m?0． 3（1）当m?1时，求曲线y?f?x?在点(1,f(1))处的切线的斜率； （2）求函数f?x?的单调区间与极值；

（3）已知函数f?x?有三个互不相同的零点0,x1,x2，且x1?x2，若对任意的x?[x1,x2]，

f?x??f(1)恒成立，求实数m的取值范围．

参考答案： 一．选择题 1.【答案】B.

【解析】先利用集合的补集的定义求出集合A的补集，即CUA?{?3,2}；再利用集合的交集的定义求出(CUA)?B?{?3,2}.故应选B. 2.【答案】B. 【解析】

试题分析：由分层抽样的特征可设一、二、三、四年级的人数分别为4x,3x,2x,x，则依据抽取的样本容量为200得，4x?3x?2x?x?200，即x?20.所以应抽取三年级的学生人数为2x?20?2?40. 故应选B. 3.【答案】D

2【解析】设阴影部分的面积为S1，圆的面积S??3?9?，由几何概型的概率计算公式得

S11?，S3得S1?3?. 4.【答案】C 【解析】∵

1111a?b∴-=∴a?b?0，∴ab-b2?∴ab?b2，（a?b）b?0，??0，?0，

abbaab故选C.

考点：不等式与不等关系. 5.【答案】A

【解析】由程序框图可知，输出的函数满足f??x???f?x?为奇函数，并且存在零点，对于

f?x??sinx为奇函数，并且有零点x?k??k?Z?，f?x??cosx和f?x??x2为偶函数，而函数

f?x??xx?x?0?不存在零点，故答案为A．

6.【答案】B

【解析】因为命题“若错误！未找到引用源。 则 x?1”的逆否命题为：“若x?1, 则错误！未

2找到引用源。”．所以选项A中命题正确，不符合题意；因为由x?1可以得到x?3x?2?0成立，2反过来，由x?3x?2?0不能得到x?1，所以“x?1”是“错误！未找到引用源。”的充分不

必要条件．因此选项C中的命题正确，不符合题意； 因为由命题错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 可得错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。所以选项D中的命题正确，不符合题意； 因为由p?q错误！未找到引用源。为假命题，则p,q错误！未找到引用源。中至少一个为假命题．所以选项B符合题意．故选B． 7.【答案】B

【解析】如图所示阴影部分为不等式组表示的可行域，其中A(2,0),B(1,1),C(3,3) 当直线z?2x?y经过点B(1,1)时，zmin?2?1?1?3，故选B

8.【答案】B

【解析】由函数f(x)?loga(x?b)的图像为减函数可知，0?a?1，再由图像的平移知，

f(x)?loga(x?b)的图像由f(x)?logax向左平移可知，0?b?1，故函数g(x)?ax?b的大

致图像为B选项. 9.【答案】C

【解析】设数列{an}的前n项和为Sn，则由题意可得

n1=，Sn=n(2n?1)?2n2?n， Sn2n+1，

∴

an?Sn?Sn?1?2n2?n?[2(n?1)2?n?1]?4n?1(n?2)an?1?n， 4a1?S1?3,?an?4n?1,bn?∴

1111， ???bnbn?1n(n?1)nn?111111111110??…+=1-+-+…+-=1-=． b1b2b2b3b10b1122310111111∴

10.【答案】B

【解析】∵AB?BC?|AB|2，∴2|AB|?|AB|?cos?AB,BC??|AB|2， ∴cos?AB,BC??∴cos?ABD??1， 212?2???12???． ，?ABD?，∴AD?6，T?12，∴

23?6考点：1．平面向量的数量积；2．三角函数的图象和性质．

二．填空题 11.【答案】2

【解析】根据分段函数的解析式，由f(1)?f(?1)即可得到，a?1?(?1)?2， 12. 【答案】3?4i

【解析】∵(3?4i)z?25，∴z?2525(3?4i)??3?4i. 3?4i(3?4i)(3?4i)13.【答案】??????【解析】由a?(b?c)得a?(b?c)?0即x?y?1?0，由b∥(a?c)得x?2y?5?0，解得

??b?c??x?1,y?2，所以c?(1,2)，向量b与c的夹角的余弦cos?????0，因此夹角为．

2b?c

14.【答案】30 m

【解析】由图知?ABC?300?150?450，?ACB?1800?150?600?1050，

? 2?BAC?1800?450?1050?300，由正弦定理得

BCAC?sin?BACsin?CBA，得

BCsin450AC??203 0sin30在直角三角形ACD中，AD?203sin60?30，

15.【答案】①②

【解析】令x??3，得f(3)?f(?3)?f(3)，又y?f(x)是偶函数，故f(3)?0，①正确；因为

0f(x?6)?f(x)，所以y?f(x)是周期为6的周期函数，因为x?0是一条对称轴，故x??6是函数y?f(x)图象的一条对称轴，②正确；函数y?f(x)在[?9,?6]上的单调性与[?3,0]的单调性相同，

因为函数在[0,3]单调递增，故在[?3,0]单调递减，③错误；y?f(x)在每个周期内有一个零点，区间[0,6),[6,12)

[2004,2010)分别有一个零点，共有335个周期，在区间[2010,2014]内有一个零点为2013，故零

点共有336个，④错误，综上所述，正确的命题为①②．

三．解答题

16.【答案】（1）25，4；（2）P?M??8 15【解析】（1）成绩在[50，60）内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，成绩在[90，100]内同样有2人．由

，解得n=25．成绩在[80，90）之间的人数为25﹣（2+7+10+2）=4人

∴参加测试人数n=25，分数在[80，90）的人数为4；

（2）设“在[80，100]内的学生中任选两人，恰有一人分数在[90，100]内”为事件M，

将[80，90）内的4人编号为a，b，c，d；[90，100]内的2人编号为A，B,在[80，100]内的任取两人的基本事件为：ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15个．其

中，恰有一人成绩在[90，100]内的基本事件有 aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB共8个． ∴所求的概率得P?M??

17.【答案】（1）??1?8． 15??a?2，??a?3，3,2?3；（2）?或?． ??b?3??b?2.?π??【解析】（1）f(x)?23cos2x?2sinxcosx=3(1?cosx)?sinx=2cos?x???3．

222??x??????2，??2???x??6??????3,2??3??，则值域为??1?3,2?3?．

（2）因为C?(0，π)，由（1）知C?π6． 因为△ABC的面积为32，所以32?12absinπ6，于是ab?23． ① 在△ABC中，设内角A、B的对边分别是a，b．

由余弦定理得1?a2?b2?2abcosπ6?a2?b2?6，所以a2?b2?7． ② 由①②可得，???a?2或??a?3，??b?3??b?2. ?

18.【答案】（1）证明见解析；（2）112. 【解析】（1）连接BD，因为ABCD是正方形，所以AC?BD， 又PD?面ABCD，得AC?PD， 又BD?面PBD，PD?面PBD，BDPD?D，所以AC?面PBD，因为BE?面PBD，故AC?BE得证； （2）设PE?x，则CE?DE2?CD2?(1?x)2?1 又PC?2 6? cos?PCE?13 ??PCE中，由余弦定理求得：x?，即E为PD中点，所以

2101VE?PBC?VP?BCD 21111VP?BCD??PD?S?BCD??1?1?1?? 33261所以VE?PBC? 121n19.【答案】（1）an?()(n?N*)； （2）见解析； （3）

43n2?n111n???(). Sn?2334【解析】（1）?an?1111?,∴数列{an}是首项为，公比为的an44414n等比数列，∴an?()(n?N*).

n（2）因为bn?3log1an?2，所以bn?3log1()?2?3n?2.因为b1?1，公差d?3，所以

4414数列{bn}是首项b1?1，公差d?3的等差数列.

nn（3）由（1）知，an?(),bn?3n?2, 所以cn?(3n?2)?(), 1414所以Sn?1?11111?4?()2?7?()3???(3n?5)??)n?1?(3n?2)?()n, 4444411111?[1?4?7???(3n?5)?(3n?2)]?[?()2?()3?????)n?1?()n] 4444411[1?()n]n(1?3n?2)43n2?n111n4??????(). 1223341?4x2y22??1；20.【答案】（1）（2）?. 432【解析】（1）由题意，椭圆的长轴长2a?4，得a?2， 因为点?1,?在椭圆上，所以?3??2?19?2?1得b2?3， 44bx2y2??1. 所以椭圆的方程为43（2）由直线l与圆O相切，得m1?k2?1，即m2?1?k2，

?x2y2?1,??设A?x1,y1?,B?x2,y2?，由?4消去y，整理得3?4k2x2?8kmx?4m2?12?0, 3?y?kx?m,???8km4m2?12,x1?x2?由题意可知圆O在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，所以x1?x2??.

3?4k23?4k2y1?y2??kx1?m??kx2?m??k2x1?x2?km?x1?x2??m24m2?123m2?12k2?8km?2?k??km???m?.22?23?4k3?4k?3?4k?2 4m2?123m2?12k27m2?12k2?12所以x1?x2?y1y2???, 3?4k23?4k23?4k2?5?5k2因为m?1?k，所以x1?x2?y1y2?. 23?4k223?5?5k23122??又因为OA?OB??，所以，，得k的值为. k??23?4k222221.【答案】（1）1;（2）f?x?在???,1?m?,?1?m,???上是减函数，在?1?m,1?m?上是增函数，于是函数f?x?在x?1?m处取得极小值f?1?m???231m?m2?；在x?1?m处取得极大值33f?1?m???13?231? m?m2?；（3）?,??33?22?13x?x2，f??x???x2?2x，故f??1??1 3【解析】（1）当m?1时，f?x???即曲线y?f?x?在点?1,f?1??处的切线斜率为1。

（2）f??x???x2?2x?m2?1???x?(1?m)??x??1?m??，令f??x??0，得

x1?1?m,x2?1?m，故1?m?1?m

当x变化时，f??x?,f?x?的变化情况如下表：

x f??x? f?x?

???,x1? ? x1 ?x1,x2? ? 单调递增 x2 ?x2,??? ? 0 极小值 0 极大值 单调递减 单调递减 所以f?x?在???,1?m?,?1?m,???上是减函数，在?1?m,1?m?上是增函数，于是函数

21f?x?在x?1?m处取得极小值f?1?m???m3?m2?；在x?1?m处取得极大值

3321f?1?m??m3?m2? 33（3）由题设知f?x???x?1?12?x?x?m2?1???x?x?x1??x?x2?，所以方程

3?3?12x?x?m2?1?0有两个相异的非零实根x1,x2 34211故由韦达定理得x1?x2?3且??1?m?1?0，解得m?或m??（舍去）

3223因为x1?x2，所以2x2?x1?x2?3?x2??1 21若x1?1?x2，则f?1????1?x1??1?x2??0，而f?x1??0，不合题意

3??若1?x1?x2，则对?x??x1,x2?，有x?0,x?x1?0,x?x2?0，所以

1f?x???x?x?x1??x?x2??0又f?x1??0，故f?x?在?x1,x2?上的最小值为0

32于是对?x??x1,x2?,f?x??0的充要条件是f(1)?m?133 ?0???m?333综上，实数m的取值范围是??13???2,3? ??

21f?x?在x?1?m处取得极小值f?1?m???m3?m2?；在x?1?m处取得极大值

3321f?1?m??m3?m2? 33（3）由题设知f?x???x?1?12?x?x?m2?1???x?x?x1??x?x2?，所以方程

3?3?12x?x?m2?1?0有两个相异的非零实根x1,x2 34211故由韦达定理得x1?x2?3且??1?m?1?0，解得m?或m??（舍去）

3223因为x1?x2，所以2x2?x1?x2?3?x2??1 21若x1?1?x2，则f?1????1?x1??1?x2??0，而f?x1??0，不合题意

3??若1?x1?x2，则对?x??x1,x2?，有x?0,x?x1?0,x?x2?0，所以

1f?x???x?x?x1??x?x2??0又f?x1??0，故f?x?在?x1,x2?上的最小值为0

32于是对?x??x1,x2?,f?x??0的充要条件是f(1)?m?133 ?0???m?333综上，实数m的取值范围是??13???2,3? ??

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